試論高中數(shù)學作業(yè)的設計策略

摘" 要" 作業(yè)是課堂教學的延續(xù)，是學科課程實施的重要組成部分。要解決當前高中數(shù)學作業(yè)的“繁重”與“低效”問題，教師應結合學生的實際情況，設計個性化作業(yè)，積極嘗試探究性作業(yè)、實踐性作業(yè)，訓練學生的解題能力，鍛煉學生的動手能力。

關鍵詞" 高中數(shù)學；作業(yè)；課堂教學；課程改革

中圖分類號" G633.6

文獻標識碼" A

文章編號" 2095-5995（2023）10-0060-03

作業(yè)是學科課程實施的重要組成部分，隨著“雙減”政策的落地實施，作業(yè)設計與管理成為基礎教育課程改革的重要領域。在高中教育階段，作業(yè)時間占據(jù)了學生學習生活的“半壁江山”，如何改革作業(yè)的“繁重”與“低效”問題，已經成為高中教師不得不面對和解決的難題。本文以高中數(shù)學為例，探討個性化作業(yè)的設計策略，以更好地吸引學生高效完成作業(yè)，理解和掌握所學的數(shù)學知識。

一、結合學生實際情況，設計個性化作業(yè)

（一）合理設計趣味作業(yè)，吸引學生主動完成

興趣作為力求認知、探究某一事物的心理傾向，也是人們對待客觀事物的一種內在選擇性與趨向性。[1]在高中數(shù)學教學中，為實現(xiàn)個性化作業(yè)的有效設計，教師需要圍繞具體教學內容合理設計一些趣味性的數(shù)學作業(yè)，轉變以往枯燥、乏味的作業(yè)內容與形式，引發(fā)學生在課后繼續(xù)學習數(shù)學的興趣，從而主動完成數(shù)學作業(yè)，促進思維能力的發(fā)展。

例如，在實施“二項式定理”教學時，教師可以先布置這樣一道題目：

證明：C1n＋2C2n＋3C3n＋……＋nCnn＝n2n-1.

這道題目能夠考查學生對公式kCkn＝nCk-1n-1的理解和運用情況。也就是說，學生運用該公式完成作業(yè)的過程能反映出他們對數(shù)學歸納法的掌握情況。當學生了解這一題目的本質以后，教師在后續(xù)作業(yè)設計環(huán)節(jié)應當圍繞相關的解題方法進行適當?shù)耐卣梗瑸樽鳂I(yè)增添一些趣味性。例如，（1）2C1n+3C2n+4C3n+……+（n+1）Cnn的值；

（2）已知等差數(shù)列{an}，請求出a1C1n＋a2C2n＋a3C3n＋……＋anCnn的值。

教師要鼓勵學生結合所學知識解析題目，吸引他們主動完成。如此，教師通過對現(xiàn)有知識內容的適當升級與作業(yè)設計的有效延伸，為學生提供了廣闊的自主思考空間，使其切實體會到在不同題目中運用同一解題方法完成數(shù)學作業(yè)的樂趣，感受到數(shù)學學習的趣味性。

（二）科學設計梯度作業(yè)，兼顧整體教學對象

從高中數(shù)學作業(yè)設計與實施的效果來看，有效設計的個性化作業(yè)，不僅可以滿足不同學生的實際學習需求，提升學習效率，還有助于學生對所知識的深入理解、掌握與運用。針對目前高中多采取以行政班為基本單位的教學組織方式，教師應科學設計梯度性作業(yè)，即將作業(yè)分為基礎型、發(fā)展型與挑戰(zhàn)性三個層次，讓學生能夠根據(jù)個人能力找到適合自己的作業(yè)，以此兼顧整體教學對象的發(fā)展需求。

例如，在開展“橢圓”教學時，教師可按照班內學生實際學習情況與認知水平的差異設計梯度性作業(yè)。具體來說，基礎型作業(yè)主要要求學生理解與記憶橢圓的基本性質，能運用橢圓的表達式來計算短半軸與長半軸的長度；發(fā)展型作業(yè)要提升難度層次，除考查基礎知識以外，還需重點考查學生對橢圓基本形式的運用情況，如橢圓的弦同橢圓的一個焦點構成的三角形的周長，已知直線和橢圓之間的交點坐標，求出相應的橢圓方程等；挑戰(zhàn)型作業(yè)考查學生對橢圓特征的綜合應用情況，如求直線和橢圓相交情況下，焦點同交點所構成的三角形面積，判斷橢圓和直線的位置關系等。這樣的作業(yè)設計能確保各個層次的學生找到同自身實際相契合的作業(yè)，有助于學生在知識與能力方面均獲得一定程度的提升。

（三）注重知識鞏固延伸，適當豐富作業(yè)內容

在設計個性化作業(yè)過程中，高中數(shù)學教師應關注知識的鞏固效果以及難度延伸，適當?shù)赝卣棺鳂I(yè)范圍，豐富作業(yè)內容，設計一些開放性的作業(yè)，鼓勵學生積極完成這些作業(yè)，幫助他們深入理解與掌握數(shù)學知識。[2]例如，

在“直線與圓、圓與圓的位置”教學實踐中，教師在布置作業(yè)時可以通過分類的方式設計不同類型的題目。

題型（1）：直線和圓的位置關系。已知點M（a，b）在圓O：x2＋y2＝1的外面，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是（" ）

A.相切" B.相交" C.相離" D.不確定

題型（2）：圓和圓的位置關系。已知圓O：（x＋2）2＋y2＝4，同圓O′：（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置關系是（" ）

A.內切" B.相交" C.外切" D.不確定

題型（3）：直線與圓的綜合問題。直線x－y＋3＝0同圓心為（3，4）的圓C相交，截得的弦長是2，求圓C的方程；設Q點的坐標為（2，3），且動點M到圓C的切線長與丨MQ丨的比值為常數(shù)k（k＞0），假設動點M的軌跡為一條直線，請確定k的值，且求出該直線的方程.

這樣的作業(yè)設計豐富了作業(yè)內容，能幫助學生鞏固所學知識，鍛煉他們的思維能力。

二、設計探究性作業(yè)，訓練學生解題能力

（一）設計獨立完成作業(yè)，發(fā)展學生自主學習與探究能力

高中數(shù)學新課程標準特別關注對學生探究能力的培養(yǎng)。在以往的高中數(shù)學教學中，無論是作業(yè)內容、還是形式都較為單一，在一定程度上影響學生完成作業(yè)的積極性，不利于學生自主學習能力與探究能力的發(fā)展。為此，高中數(shù)學教師在具體的作業(yè)設計環(huán)節(jié)中，應當結合教學實際設計一系列具有探究性的作業(yè)，鼓勵學生獨立完成這些作業(yè)，從而提高學生探究數(shù)學奧秘的熱情，促進數(shù)學思維及自學能力的發(fā)展。

以“立體圖形的直觀圖”教學為例，本節(jié)課主要學習一些平面圖形圖空間幾何體的直觀圖畫圖，這是學習好立體幾何知識的關鍵條件。通常，教師在課堂上主要介紹最常用的、直觀性好的斜二測畫法。此外，教材中也給出一些常見幾何圖形的直觀圖畫法。在作業(yè)設計環(huán)節(jié)，教師可以要求學生從家庭或者教室中尋找一些適當?shù)膸缀误w，研究這些幾何體主要是由哪些基礎幾何體構成的，并自主畫出幾何體的直觀圖。有的學生會選擇冰激凌筒這一圓錐圖形繪制直觀圖，具體步驟如下：

利用斜二測畫法畫圓錐的底面，如圖1所示；畫z′軸（z′軸過O′點，且與∠x′O′y′的平分線的夾角為90°），并畫高（與原長相等），連線成圖，如圖2所示；擦去輔助線，將被遮住的線畫成虛線，如圖3所示。當學生自主完成畫圖作業(yè)以后，教師可以組織學生相互批改，找出對方所畫直觀圖的優(yōu)點與不足之處，使其牢固掌握斜二測畫法。

（二）設計小組合作作業(yè)，提高學生協(xié)作意識

在高中數(shù)學教學中，對于個性化作業(yè)的設計，教師除布置一些由學生獨立完成的作業(yè)外，還要關注學生之間的交流與互動，通過設計合作型作業(yè)，幫助學生更為深入地理解數(shù)學知識。這就要求高中數(shù)學教師在平常教學中根據(jù)所授內容設計相應的合作型作業(yè)，引導學生通過小組合作完成探究作業(yè)。在此過程中，學生之間一起討論、交流與互動，提出各自的看法與見解，在互幫互助中高效地完成作業(yè)，培養(yǎng)了協(xié)作意識，通過團隊力量實現(xiàn)個人能力的發(fā)展。

例如，在“集合”教學中，當學生學習完集合的概念、集合間的基本關系與集合的基本運算等知識以后，教師可以布置一些有關集合的合作型作業(yè)，如“本班學生的書包中鉛筆是否能夠構成一個集合？”從而引導學生結合所學知識展開小組合作學習。學生發(fā)現(xiàn)每個人書包中的鉛筆具有確定性，即為本班同學的書包中的鉛筆，并非其他班級同學書包中的鉛筆；而互異性則體現(xiàn)在本班每位同學書包中的鉛筆，是相互獨立存在的，都是不同的鉛筆；如果按照順序排列，無論哪位同學先拿出或者后拿出自己書包中的鉛筆，雖然順序不同，但是元素一樣，即本班所有同學書包中的鉛筆組成的一個集合。隨后，教師可以要求學生完成班級內學生身高、體育運動愛好、生日月份的集合設計，使其通過合作交流，一起完成這些作業(yè)，培養(yǎng)學生的團隊精神。

三、設計實踐性作業(yè)，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力

（一）精心設計調查作業(yè)，提升學生的數(shù)學知識運用能力

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出要“豐富作業(yè)的形式，提高作業(yè)的質量，提升學生完成作業(yè)的自主性、有效性”[3]。教師應擺脫以往課內作業(yè)與書面作業(yè)等形式的束縛，敢于突破原有作業(yè)時間與空間的限制，布置調查類課外實踐性作業(yè)，要求學生根據(jù)所學知識調查一些生活中的數(shù)學現(xiàn)象，通過記錄、分析和研究，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理，從而強化數(shù)學理論知識與實際生活之間的聯(lián)系，鍛煉學生解決實際問題的能力。

比如，在進行“等式性質與不等式性質”教學時，為讓學生準確運用不等式或者不等式組表示實際問題中的不等關系，使其進一步感受現(xiàn)實世界與日常生活中存在的不等關系，教師可以設計調查作業(yè)，要求他們調查一些身邊或者生活中的不等關系，且用不等式或不等式組進行表示。學生會根據(jù)作業(yè)要求積極調查現(xiàn)實生活中存在的不等關系，如：（1）某路段限速60 km/h；（2）某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5％，蛋白質的含量p應不少于2.3％；（3）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；（5）夏季某天氣溫高于37攝氏度，十分炎熱；（6）某座橋可以通過車輛的重量小于等于50 t；（7）某家餐館晚上每天最多可預約50個座位……學生通過對具體情景的描述，寫出相應的不等式，有助于進一步了解數(shù)學建模思想，增強數(shù)學應用能力。

（二）善于結合日常生活，突出作業(yè)實用價值

數(shù)學知識本身就與現(xiàn)實生活有著十分緊密的聯(lián)系，如數(shù)學教材中蘊涵著不少生活化元素，而生活中的數(shù)學現(xiàn)象及問題更是廣泛存在。在高中數(shù)學教學中，作業(yè)是不可或缺的一個重要環(huán)節(jié)，教師設計作業(yè)時同樣要注重結合日常生活。具體來說，高中數(shù)學教師需要把握教學內容與生活之間的聯(lián)系，并以此為切入點，有效設計個性化的生活性作業(yè)，要求學生在深入生活實踐中完成作業(yè)，使其體會到數(shù)學知識的實用價值，促使學生真正做到學以致用。

例如，“頻率與概率”一課的教學是在古典概型的基礎上，引導學生研究與歸納頻率和概率的關系，學習利用隨機模擬來產生隨機數(shù)，繼而利用頻率來估計概率。教師可以結合日常生活中某些事件發(fā)生的頻率與概率，設計相應的作業(yè)內容，輔助學生進一步學習隨機事件發(fā)生的頻率與概率問題，增強他們的數(shù)學認知能力與思維水平。教師可以設計這樣一道作業(yè)題目：

小明和小剛玩一個游戲，他們同時擲兩個骰子，若兩個骰子上的點數(shù)之和為7，則小明獲勝；否則，小剛獲勝。在10次游戲中，小明獲勝的概率是多少？

解析：根據(jù)骰子的性質，擲兩個骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和的可能性有36種，其中，點數(shù)之和為7的情況有6種，分別是（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）。因此，在10次游戲中，小明獲勝的情況有6種，總共有36次擲骰子的機會，故小明獲勝的概率為6/36＝1/6 ≈ 0.1667，所以說在10次游戲中小明獲勝的概率約為0.1667。

教師結合實際生活中的擲骰子游戲設計實踐性作業(yè)，能有效激發(fā)學生做作業(yè)的興趣，使其在完成作業(yè)過程中了解概率計算的方法，深化理解頻率與概率的關系。

總之，對作業(yè)進行合理化設計是基礎教育“減負提質”的必然要求，也是滿足學生個性化學習需求、促進學生全面發(fā)展的有效途徑之一。作為高中數(shù)學教師，應根據(jù)教學內容，為學生設計多元化的作業(yè)，釋放學生的學習潛能，培養(yǎng)他們的思維能力，不斷提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。

（占金金，安徽省無為第一中學，安徽" 蕪湖" 238399）

參考文獻：

[1] 劉李霞.探討“雙減”背景下初中數(shù)學課后作業(yè)的創(chuàng)新設計[J].求知導刊，2022（29）：29-31.

[2] 吳小明.高考評價體系下基于核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學作業(yè)設計策略[J].高考，2023（1）：42-44.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2022：83.

責任編輯：謝先成

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