從運算意義出發有效開展“有余數的除法”單元復習教學的方法分析

作者簡介：陳昆（1985～），男，漢族，貴州畢節人，貴州省畢節市金沙縣安底鎮花雞小學，研究方向：小學數學教育。

摘 要：數學是一門兼具抽象性和邏輯性的課程，且處處體現著運算的意義。運算作為一種數學性行為，其意義體現于對各種數據的處理和對問題的應用解決上。其是數學學科知識計算最基礎的法則，其包含加法、減法、乘法以及除法的計算法則，其中“有余數的除法”是四則運算中的重要知識點。在單元復習中，為了給學生在“有余數的除法”單元中查缺補漏，需要重新回顧“有余數的除法”的概念，再次探尋除法的推算記錄過程，從而把除法與加法、減法、乘法聯結為一個運算整體，以提高學生的數學核心素養。

關鍵詞：運算意義；有余數的除法；單元復習；四則運算

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2023）10-0069-04

數學學科是學生個體進入學校系統教育的核心學科之一，從義務教育階段開始，就成為許多家長和學生心中的重難點。學生和家長會首先把數學視為畏懼的對象，珍視、慎重，主要原因在于數學學科是具有嚴密的邏輯和抽象的思維模式的學科。義務教育階段的學生心理認知還處于由直觀感知向抽象感知過渡的階段，這相當于把未能感知的事物提前放在眼前，對學生來說無異于攀陡坡，這需要教師和家長細心的引導才能使學生有效地掌握數學知識。運算法則和運算意義是數學學科中需要學生具體掌握的知識板塊之一，同時也是發展學生數學核心素養的重要組成部分。在運算法則的整個內容中，學生從加法、減法再到乘法最后對除法的運算逐步掌握，稱得上是完成了四則運算的整個算法整體學習?！坝杏鄶档某ā眴卧鳛樗膭t運算知識點的最后部分，要承擔起總結歸納的責任，聯結其他三種運算法則，形成數學學科基礎的運算邏輯。在這個理念上，從運算意義出發，以精準的數學問題拋磚引玉，引出同學們對“有余數的除法”的原理回顧，引導學生一步步記錄除法推演過程，最后聯系加法、減法以及除法的運算，體會預算的意義。由此，才能進入習題組的練習，培養熟練的運算技能。另外，要激發學生的思維，拓展學生的眼界，以運算法則為基礎，展開更多的數學應用實踐。

一、 原理回顧，運算意義與有余數的除法

世界著名的心理學家皮亞杰曾明確地表示，小學生的年齡大多處于6～12歲，正是對世界充滿新鮮感的年齡，有趣的事物會成為學生的關注點。在這個基礎上，學生的探索心理很強，但是探索的能力有限，需要數學教師細心地引導，去幫助學生理解數學的重點、難點以及抽象的知識原理。對數學科目來說，課堂中的實踐教學具有緊密聯系性是比較關鍵的，教師的教學活動要環環相扣，才能順利引導學生由淺入深、循序漸進地掌握知識結構，單元復習課也是如此。單元復習并不是機械地把之前上過的知識簡單復述，這是無意義的，而是要有歸納、有總結并且還要有思考的一系列學習行為，與初次接受式的學習相比，多了很多學生主動性地參與，才能確認學生對知識的掌握程度，那么復習的第一步首先是回顧運算原理，體會運算的意義?？梢园堰@個部分分為以下步驟：一是考驗學生對問題和原理的反應能力；二是了解除法推演過程；三是補全運算意義的整體概念，引導學生完整地把握數學運算板塊。

（一）拋出典型問題，回顧算式原理

教書育人是教師的天職，培育學生的學習情感、促進學生對數學知識的理性精神的全面掌握是教師的基本責任，學生會畏懼數學，把數學視為學習大敵，原因是沒有在推算過程中體會到數學帶來的樂趣，所以，教師要在教學活動開展中注重對數學原理或者公式推演過程的引導，化險為夷，化繁為簡。數學本就是有趣的學科，教師要引導學生在推演過程中，感受數學的魅力，自然愛上數學，數學就會變為簡單的學科。經過老師的引導和趣味潤滑，枯燥的運算學習可以給學生帶來不一般的體驗?！坝杏鄶档某ā笔侨私贪鏀祵W二年級下冊的知識，對它的相關思考在一年級的“百以內數的認識”“一百以內的加法和減法”里面已出現，教師可以通過一個包含多種計算方法的題目讓學生討論。比如：有31顆草莓，10顆一盤，可以裝幾盤呢？讓學生討論有幾種計算方法。當學生集思廣益，一盤盤減出來，以及用除法除下來的兩種算法。然后教師根據學生的描述以課件或者板書的形式，畫出被分裝的過程、數字符號依次相減的過程，在這個過程中引出“合并”與“去掉”兩個基礎的數量關系，以這兩個數量關系概念延伸出乘法和除法的計算形式，也就是“相同加數連加”和“相同減數連減”的概念表達，由這個部分，鼓勵學生復習一年級的加法和減法的含義，從而以連減的方式去展開有余數除法的運算復習。

（二）探索除法過程

學生具體掌握公式原理的推算過程和推理原則很重要，這意味著學生全面了解了數學公式的形成原因，而不是死記硬背去記住原理法則，死記硬背對學生來說，只會形成學習障礙，積累學習盲區，最后徹底厭棄對數學科目的學習。在上一個部分，教師引導學生利用連續相減同樣的數量，理解除法視角，在連續相減的過程中，體現了減法運算法則的展演過程，那么同理所得，有余數除法是否也可以采用類似方法記錄運算的過程呢？教師即在上一部分的相同數字符號連續相減的推算過程下面，繼續記錄除法運算過程，以除法運算規則體現數量關系從相同減數連續去掉的“平均分”的概念本質。這樣一來，從第一部分的畫圖平分，到數字符號的相同減數連續相減，最后是除法的平均概念，循序漸進，使學生體會除法并非是憑空出現，而是概念的疊加。

（三）穿針引線，理解運算意義

數學課程安排數學加法、減法、乘法以及除法的運算是從一年級開始逐漸加深的，目的在于使學生能理解數量關系和運算意義，也就是運用相應的數學法則處理現有的數據，是一種應用原理的實踐過程。前面兩個部分所展現的是運算法則的螺旋上升式的結構，使學生能夠以更加直觀的視角去自主地把減法和除法有機地聯系在一起。數學本身并非深奧難懂的學科，生活處處都是數學文化和數學原理，但是為了使數學成為一門系統的學科供人類學習，編訂者和數學專家們會把數學原理合理地、科學地建構成一個體系，這是一個數學抽象化的過程，教師的存在就是把數學化了的抽象概念直觀化或者具體化。這一環節需要教師引導學生在上述兩個部分所留下的推演記錄中，圈畫出每個數據所表達的意義，向學生展示四則運算的直觀化的過程，引導學生理解運算法則處理現實數據的運算意義。

把這三個部分合成一個板塊，可以稱之為歷史原理的回顧，這是單元復習教學不可缺少的部分，是整個教學過程的切入部分，只有在所有學生對有余數除法的運算法則具有共同理解的程度上，才能進行下一步的習題練習，完成學生對除法運算的教學目標。任何知識的學習都是建立在理解和認知的層面上，死記硬背是無法真正培養一個有數學思維的人才的。

二、 以習題熟能生巧，夯實有余數除法的運算基礎

在義務教育階段的數學教學中，基礎原理概念教學是基礎性的也是非常重要的部分，學生的認知還在發展過程中，同時也缺乏知識歸納的經驗和能力。教師在每一次教學開始時，要做到承上啟下，回顧相應的知識概念，確保在場學習的學生對過去的知識有共同的認知，在相同的知識理念上達成標準的共識，這樣使學生在后續的學習活動中能夠跟得上節奏，與此同時，對基本的概念原理內容的深入理解，大多需要習題的輔助，數學教師一般可以通過典型例題考查學生的原理法則的掌握程度。在有余數除法的單元學習中，學生對習題的處理和計算，能體現出學生對該單元內容的掌握和理解情況。這一板塊，需要通過包含了加法、減法、乘法以及除法四種算法的題組，強化學生對四則運算的整體結構概念的理解，這一板塊主要從例題計算、感悟運算意義以及實際運用三個方面來練習除法運算，從而去發現不同算法之間的不同和聯系。

（一）運用有規律的習題題組，提升學生除法運算的熟練度

這一環節是熟能生巧部分，主要是運用相同的數字以不同的運算方式組成一個有規律的題組，讓學生更具計算法則，去感受同一個題組內，相同的數字經過不同的算術符號的連接產生不同的結果。這個習題題組的布置也要具有典型性和科學性，由淺入深，要求學生根據題目的可行性，進行相應的算術推演。

第一組算式：

（1）9+2=（2）9-2=

（3）9×2=（4）9÷2=

第二組算式：

（1）90+5=（2）90-5=

（3）90×5=（4）9×9+9=

給學生留下時間去計算這兩組算術題，并且核對結果，要求學生仔細比對第一組的（1）和（2）習題之間的相同和不同。由此可以得出，四道題目是用相同的數字以不同的算術符號方式組成的習題組合，其中，最容易模糊的點就是減法符號“-”和除法符號“÷”之間容易被粗心大意的學生混淆，然后產生錯誤的判斷和計算。接著，教師引導學生以觀察第一組（1）和（2）兩個習題的經驗去觀察同一個組里面，尋找（3）和（4）之間的關系，由此得知，可以總結出比較清晰的關系式：“被除數÷除數=商……余數”“除數×商+余數=被除數”，在此過程中，教師要明確說明每個部分的含義，加深學生對有余數除法的運算理解和記憶。這一過程是為學生把現有的知識搭建數學邏輯思維體系的過程，避免學生孤立地掌握知識點，培養學生知識之間相輔相成相互聯系的數學觀念。

（二）自主列式計算，感悟數量運算意義

現實例題并非是以簡單的數字符號展現給學生供學生去計算，題目設計者通常會以文字含義的多元性去描述數學問題，增加數學題目的計算難度，所以，在四則運算這一部分中，列式計算也是一項重要的學習目標，列式計算是對四則運算進行的文字描述，這里面涉及考查學生是否理解運算符號的內涵以及運算部分之間的聯系，以上個部分的習題組為例，轉化成列式計算的題目：

第一組：（1）9和2相加的結果是多少？（2）在 9中去掉2的結果是多少？（3）9個2總共是多少？（4）9里面總共有多少個2？

第二組：（1）把90平均分成5分，每份里面是多少？還余下多少呢？（2）90里面可以分成幾個5？還能余下幾個（3）被除數是90，除數是5，商是多少？余下多少呢？（4）9個9總共是多少？與90相比還差多少？

給學生計算的時間，在核對答案之后，要求學生思考第二組習題之間的關系，發現第二組里面（2）和（3）的表達方式雖然不同，但是列式是相同的。由此可以歸納總結出，一個算式可以有不同的文字表達出來，在此，提醒學生端正做題態度，觀察每一個字詞的含義，把握好句子的整體意義。因為列式計算可以培養學生的數學符號與文字符號之間的轉化思維，使學生解決應用題時，出現了“倍數”“比”等詞匯，多考量算式和題目的含義與多義性，比較不同列式之間決定性詞匯是哪些，這些詞匯可能會出現在什么位置。這個可以通過讓學生對同一個算式編寫列式，鍛煉學生對列式計算的熟練度，培養學生的數學思維。

（三）解決現實問題，理解運算關系

數學課程的設置意義在于，使學生能形成數學思維，去解決生活中的實際問題。上面已提到列式計算是對四則運算的文字描述，其實換句話來說，列式計算是實際問題的簡化形式，第一組例題是9和2的數量關系，但是在現實生活中，被標示9數量單位會有各種不同，不會像書本習題那樣簡單的關系，所以在教學活動開展到這個階段，教師要結合更多的實際問題，去勾連簡化了的習題。比如，教師可以根據學生熟悉的生活場景，為題目增添一些真實性，從而使學生更加具體輕松地理解運算關系。教師可以先做一個示范，把第一組的習題（1）改編成實際問題：“一個碗里有9個草莓，2個小朋友如何平分呢？”然后邀請學生把關系式寫出來，并且鼓勵學生把剩下的題目都改編成實際應用題，提示每個數量單位的統一和合理性，并挑選出改編得好的題目板書在黑板上，供全班同學參考。

數學課程可以培養學生的數學思維，以理性的思維去參照生活實際，教師應該注重培養學生舉一反三、觸類旁通的能力，在“有余數的除法”單元復習中，教師對習題的設置和篩選可以為學生理解運算意義提供保障，典型例題可以為學生提供合適的參照，但是同時側面要求學生達到“以此類推”的能力，才能真正達到數學課程中分析問題、解決問題的教學目標。

三、 引導建構除法運算模型，拓展數學視野

在新課改背景下，要求教師在教學活動中注重學生的數學核心素養的培養，在掌握基本的數學知識概念基礎之上，持續培養學生的數學文化和塑造應有的數學思維，提升學生的數學素養。關于“有余數的除法”單元復習教學中，除了對學生在這一部分的知識點上查缺補漏之外，還需要塑造應有的數學思維，能夠理性地觀察這個世界，用學到的數學知識解決現實問題，教師可以通過引導學生初步建立簡單的數學模型，鼓勵學生解決實際問題。與此同時，對數學繪本的續寫可以鍛煉學生的數學創新思維，拓展學生的數學思維和視野。

（一）引導學生建立簡單的數學模型，培養建模思維

義務教育階段要求學生初步形成基礎的建模思維，在“有余數的除法”單元中，要掌握的不僅僅是除法運算，還有余數的知識部分，是將“除法”“余數”看作四則運算有機結構中的一部分。培養學生的數學模型意識，首先，要讓學生對數學模型有初步的感知。將有余數除法算式視為數學模型中的一種，其中，未知被除數在余數和除數不變的情況下，會因為商的變化而受到影響，這是“有余數的除法”蘊含的本質和數學魅力，也是數學世界的趣味所在。教師可以先提供一個簡單的、具有典型性的“有余數的除法”算式模型，推動學生數學模型思維的形成，從而去形成理性的解決問題的方式手段，這是建模的初級階段——感知。其次，教師可以通過兩個以上的簡單數學模型，促使學生發現有余數除法的規律，比如通過增加未知數來提升模型例題中被除數的求解難度，從而使學生去感知模型思維，理解基本的數量關系的變化。

（二）應用創新，續寫繪本故事，拓展數學視野

“有余數的除法”單元復習教學的最后階段，教學的內容應該是從基礎的概念回顧、習題的計算，到思維發散的階段，關于本單元的知識點復習已接近收尾的階段，這個時候，教學活動設計應該有效利用課后作業的板塊，要求學生以創新思維去續寫數學繪本故事，這種實際運用不再是按照老師的思路去回答范圍內的答案，而是自己創造數學問題故事，要求續寫的繪本故事要從運算意義出發，含有符合數學規范的“余數問題”。

數學教學不是簡單地對教學內容的照本宣科，基礎知識的教授，遠沒有達到可以隨意應用于生活實際的程度。教育安排數學教學，并不僅僅要求學生掌握死知識，而是期望培育出具有數學思維的人才，所以建模思維和創新思維是需要教師加以重視和引導的教學內容。

四、 結語

在數學教學活動中，“有余數的除法”作為運算法則的一種，含有趣味的運算意義，同時也是數學學習中重要且基礎的數學結構。單元復習過程中，要體現出學生的梳理、總結、歸納等主動性的參與，把新學的知識內容與已有的知識搭建成自己的知識體系框架，與此同時，形成一個有機的結構體，呈現出隨時接納吸收新知識的開放狀態，從而更好地體會數學知識的意義和內涵。

參考文獻：

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