基于改進(jìn)灰色Markov模型的建筑物沉降量預(yù)測(cè)

王洪德,李騫

(1.大連交通大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院,遼寧 大連 116028;2.遼寧省隧道工程與災(zāi)害防控專業(yè)技術(shù)創(chuàng)新中心,遼寧 大連 116028)

地鐵車(chē)站深基坑施工過(guò)程會(huì)對(duì)周?chē)貙赢a(chǎn)生擾動(dòng),從而對(duì)周?chē)ㄖ镌斐沙两祷騼A斜,影響建筑物的安全和正常使用。因此,必須采取有效措施對(duì)施工引起的地面沉降進(jìn)行監(jiān)測(cè)和預(yù)警[1-4]。采用準(zhǔn)確、有效的科學(xué)手段對(duì)深基坑周邊建筑物的沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè),不僅能夠減輕甚至規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法的研究具有重要的推動(dòng)作用[5-8]。

目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)深基坑開(kāi)挖引起周邊建筑物沉降的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了很多嘗試。Miliziano等[9]采用一個(gè)簡(jiǎn)單的理想彈塑性本構(gòu)模型,利用數(shù)值分析的方法獲得沉降預(yù)測(cè)值;Khosrojerdi等[10]利用參數(shù)研究的結(jié)果進(jìn)行回歸分析,建立RSF最大沉降量的預(yù)測(cè)方程;馬征等[11]結(jié)合多智能體粒子尋求最小二乘法支持向量機(jī),對(duì)昆明市某基坑開(kāi)挖過(guò)程中周?chē)ㄖ锏某两颠M(jìn)行預(yù)測(cè);沈簡(jiǎn)等[12]采用雙曲線法、指數(shù)曲線法和灰色理論等方法對(duì)基坑周邊坡頂?shù)慕ㄖ锍两颠M(jìn)行了預(yù)測(cè);章紅兵等[13]結(jié)合土體變形空間分布規(guī)律,通過(guò)經(jīng)驗(yàn)系數(shù)將土層性質(zhì)、周邊施工情況納入考量,提出了考慮基坑開(kāi)挖空間效應(yīng)的鄰近建筑物沉降預(yù)測(cè)方法。以上這些預(yù)測(cè)方法,在不同程度上對(duì)深基坑施工引起周邊建筑物沉降的防范提供了技術(shù)支撐。然而,通過(guò)深基坑開(kāi)挖的工程實(shí)踐并結(jié)合國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)的分析發(fā)現(xiàn),對(duì)于小樣本的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)量,已有的預(yù)測(cè)方法在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中,經(jīng)常出現(xiàn)預(yù)測(cè)精度和偏差過(guò)大的情況,如灰色預(yù)測(cè)模型在中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)應(yīng)用中出現(xiàn)的偏差越來(lái)越大。

鑒于此,本文結(jié)合某地鐵車(chē)站深基坑工程實(shí)際,以灰色模型為基礎(chǔ),先對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),然后通過(guò)Markov誤差修正,建立改進(jìn)的灰色Markov模型,實(shí)現(xiàn)對(duì)深基坑施工引起周邊建筑物累積沉降的預(yù)測(cè)研究,以期確保工程施工安全可靠。

1 建筑物沉降量預(yù)測(cè)模型的建立

1.1 改進(jìn)灰色模型的建立

灰色模型是對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行累加,對(duì)于諸如建筑物沉降這種小樣本數(shù)據(jù)集的分析,存在較大的精度誤差。為提高中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性,在灰色模型的基礎(chǔ)上,通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)指數(shù)化處理,給出具體數(shù)據(jù)處理方法:

x(0)(k)=Aeu(k-1),k=1, 2, …,n

(1)

式中:x(0)(k)為指數(shù)化處理后的初始累積沉降數(shù)據(jù)序列;u為指數(shù)化處理后的發(fā)展系數(shù);A為指數(shù)化處理后的灰色作用量;k為指數(shù)化處理后的初始累積沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序號(hào)。

一次累加后:

(2)

式中:x(1)(k)為初始累積沉降數(shù)據(jù)序列一次累加生成的序列。

以此為基礎(chǔ),建立微分方程,用最小二乘法進(jìn)行估計(jì),得出u,A的估計(jì)值:

(3)

式中:a為灰色模型的發(fā)展系數(shù);b為灰色模型的灰色作用量。

基于此,建立初始數(shù)據(jù)序列模型:

(4)

1.2 相對(duì)誤差狀態(tài)劃分

改進(jìn)灰色Markov模型的重要一步在于轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算,只有得到轉(zhuǎn)移概率矩陣,才能知道預(yù)測(cè)值的修正方向,從而進(jìn)行Markov誤差修正,使預(yù)測(cè)值更加貼近真實(shí)值。為了得到轉(zhuǎn)移概率矩陣,首先需要進(jìn)行預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間相對(duì)誤差的狀態(tài)劃分。

通過(guò)改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型求取各觀測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值,將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差作為Markov修正的初始數(shù)據(jù)序列,以此進(jìn)行狀態(tài)劃分。具體方法是以該數(shù)列中心點(diǎn)為基準(zhǔn)線,分別向上和向下做累積m條橫線,從而將初始數(shù)列劃分成m+1個(gè)狀態(tài)區(qū)間[14]。

1.3 轉(zhuǎn)移概率矩陣

通過(guò)轉(zhuǎn)移概率矩陣可以看到相對(duì)誤差的每一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的概率,從而確定預(yù)測(cè)值修正的方向。

第一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中,若發(fā)現(xiàn)第i行的轉(zhuǎn)移概率相等,則可用更多步的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。由狀態(tài)區(qū)間Ej經(jīng)過(guò)k(k=1,2,…,n)步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)區(qū)間Ei的初始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為Mij(k),處于Ei的初始沉降數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為Mi,則經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為:

(5)

式中:pij(k) 為由狀態(tài)區(qū)間Ej經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移到區(qū)間Ei的概率;Mij(k) 為由狀態(tài)區(qū)間Ej經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移到區(qū)間Ei的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù);Mi為處于狀態(tài)區(qū)間Ei的初始沉降量數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

經(jīng)過(guò)k步的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

(6)

1.4 誤差修正

觀察狀態(tài)區(qū)間的轉(zhuǎn)移方向,進(jìn)行Markov誤差修正得出最終的累積沉降量預(yù)測(cè)值。Markov誤差修正為:

(7)

1.5 模型的檢驗(yàn)指標(biāo)

針對(duì)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的聯(lián)系與評(píng)價(jià),相對(duì)誤差可以表示預(yù)測(cè)結(jié)果偏離真實(shí)值的實(shí)際大小,而且更能反映預(yù)測(cè)的可信程度。由于預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)不止是一組,所以選擇相對(duì)誤差作為指標(biāo)之一:

(8)

灰色模型的檢驗(yàn)方法可以采用后驗(yàn)差檢驗(yàn),后驗(yàn)差檢驗(yàn)包含后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P′[15],這是對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律檢驗(yàn)。首先要求出建筑物累積沉降量數(shù)據(jù)序列與預(yù)測(cè)值的殘差和相對(duì)誤差,相對(duì)誤差的計(jì)算見(jiàn)式(8),殘差的具體計(jì)算為:

(9)

式中:E(0)(k)為第k個(gè)數(shù)據(jù)的殘差;n為初始數(shù)據(jù)的組數(shù)。

得出殘差之后,求出初始數(shù)據(jù)的均值和殘差均值為:

(10)

(11)

結(jié)合式(10)、式(11),可求其方差和殘差方差:

(12)

(13)

將后驗(yàn)差比值、小誤差概率、相對(duì)誤差作為模型檢驗(yàn)指標(biāo):

(14)

式中:C為模型的后驗(yàn)差比值。

(15)

式中:P′為模型的小誤差概率。

對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)指標(biāo)的精度等級(jí)評(píng)定見(jiàn)表1。

表1 精度檢驗(yàn)表

結(jié)合表1,后驗(yàn)差比值C越小,表示預(yù)測(cè)出來(lái)的建筑物累積沉降量越精確。小誤差概率P′越大,表示模型預(yù)測(cè)出來(lái)的建筑物累積沉降量分布越均勻。

2 模型應(yīng)用

記錄某地鐵車(chē)站周邊建筑物在基坑開(kāi)挖過(guò)程中累積沉降量的數(shù)據(jù)。地鐵車(chē)站位于市內(nèi)繁華地段,地下為多套地層力學(xué)性質(zhì)差異較大的復(fù)雜場(chǎng)地,并存在微承壓水,地層結(jié)構(gòu)對(duì)地下工程有較大影響。選取建筑物上靠近基坑一側(cè)的角點(diǎn)JCJ06,給出5月25日～7月2日的30組(日期不連續(xù)是因?yàn)楫?dāng)日沒(méi)有監(jiān)測(cè),并不影響試驗(yàn)研究)建筑物累積沉降量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),見(jiàn)表2。

表2 建筑物累積沉降量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

由表2可以得出,建筑物累積沉降量的平均值為-40.16 mm,沉降最多時(shí)發(fā)生在6月22日,向下沉降了2.24 mm。

2.1 改進(jìn)灰色模型的擬合

基于表2所列的建筑物累積沉降量實(shí)測(cè)數(shù)值,運(yùn)用改進(jìn)的灰色模型進(jìn)行數(shù)值模擬,擬合效果見(jiàn)表3。

表3 模型擬合效果

由表3可以得出,改進(jìn)的灰色模型模擬數(shù)值的平均值為-38.04 mm,與真實(shí)數(shù)值相差2.12 mm,沉降最多時(shí)發(fā)生在5月26日,比起上一期向下沉降了0.81 mm。

2.2 狀態(tài)區(qū)間劃分

原則上,狀態(tài)區(qū)間劃分越詳細(xì)越好。結(jié)合工程實(shí)際,經(jīng)多次試驗(yàn),同時(shí)考慮到狀態(tài)區(qū)間范圍更加均勻和相對(duì)誤差的分散范圍,確定將相對(duì)誤差劃分為4個(gè)狀態(tài)區(qū)間,見(jiàn)表4。

表4 誤差狀態(tài)區(qū)間表

2.3 轉(zhuǎn)移概率矩陣

為了得到轉(zhuǎn)移概率矩陣,需對(duì)不同狀態(tài)區(qū)間的個(gè)數(shù)和轉(zhuǎn)移趨勢(shì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和觀察。結(jié)合表3和表4可以看出,相對(duì)誤差處于狀態(tài)E1的個(gè)數(shù)為3個(gè),處于狀態(tài)E2的個(gè)數(shù)為7個(gè),處于狀態(tài)E3的個(gè)數(shù)為12個(gè),處于狀態(tài)E4的個(gè)數(shù)為3個(gè)。通過(guò)觀察狀態(tài)區(qū)間的轉(zhuǎn)移趨勢(shì)可知,處于狀態(tài)E1的相對(duì)誤差下一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個(gè)數(shù)分別為2,1,0,0。處于E2狀態(tài)的相對(duì)誤差下一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個(gè)數(shù)分別為1,4,1,1。處于E3狀態(tài)的相對(duì)誤差下一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個(gè)數(shù)分別為0,1,10,1,。處于E4狀態(tài)的相對(duì)誤差下一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)E1,E2,E3,E4的個(gè)數(shù)分別為0,0,1,2。

根據(jù)式(5)和式(6),得出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣:

2.4 Markov修正

6月27日沉降量的相對(duì)誤差處于E4狀態(tài),根據(jù)求出的轉(zhuǎn)移概率矩陣,可以看出,6月28日的沉降量將轉(zhuǎn)移到E4狀態(tài)。根據(jù)誤差修正公式,可以求出6月28日的累積沉降量的預(yù)測(cè)值為-48.56 mm,比實(shí)測(cè)的6月27日的沉降量增加了0.31 mm。將6月28日的預(yù)測(cè)值作為原始數(shù)據(jù)代入改進(jìn)的灰色模型進(jìn)行預(yù)測(cè),可以得出6月29日的預(yù)測(cè)值,重復(fù)上面步驟,根據(jù)相對(duì)誤差進(jìn)行狀態(tài)劃分并做出轉(zhuǎn)移概率矩陣,并再一次進(jìn)行Markov誤差修正。以此類推,預(yù)測(cè)出后5天的沉降量,模型預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 模型預(yù)測(cè)結(jié)果

由圖1可知,改進(jìn)的灰色Markov模型的預(yù)測(cè)值平均值為-49.97 mm,改進(jìn)的灰色模型的預(yù)測(cè)值平均值為-48.89 mm,而原始值的平均值為-51.04 mm,表明改進(jìn)的灰色Markov模型的預(yù)測(cè)值明顯更貼近實(shí)測(cè)值。

3 模型精度評(píng)價(jià)

按照前文所述模型檢驗(yàn)方法,采用相對(duì)誤差作為檢驗(yàn)指標(biāo)。在改進(jìn)的灰色Markov模型中,由于每一次預(yù)測(cè)都需要重新進(jìn)行狀態(tài)劃分和誤差修正,所以每一次只能預(yù)測(cè)一個(gè)值。將5次預(yù)測(cè)出來(lái)的結(jié)果與用改進(jìn)的灰色模型得出的結(jié)果進(jìn)行相對(duì)誤差的比較,并求取5次相對(duì)誤差的平均值,模型精度對(duì)比見(jiàn)表5。

表5 模型精度對(duì)比

從表5的計(jì)算結(jié)果可以看出,每一次預(yù)測(cè)出來(lái)的精度都得以提高,改進(jìn)的灰色Markov模型的平均相對(duì)誤差為2.1%,而改進(jìn)的灰色模型的平均相對(duì)誤差為4.2%,表明修正之后的模型在相對(duì)誤差上精度提高了2.1%。修正之后模型的后驗(yàn)差比值逐漸減小,說(shuō)明修正后的模型在后期預(yù)測(cè)的數(shù)值與實(shí)際值離散程度相對(duì)較小,從而進(jìn)一步驗(yàn)證了修正后的Markov模型在中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)當(dāng)中比改進(jìn)灰色模型更加精確可靠。

4 結(jié)論

針對(duì)改進(jìn)的灰色Markov模型,對(duì)地鐵車(chē)站深基坑施工引起周邊建筑物累積沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè),得出結(jié)論如下:

(1)通過(guò)對(duì)灰色模型的改進(jìn)(指數(shù)化處理傳統(tǒng)模型中的發(fā)展系數(shù)為u、灰色作用量為A),優(yōu)化預(yù)測(cè)序列的總體誤差,建立了改進(jìn)后的灰色模型。

(2)轉(zhuǎn)移概率矩陣的建立是改進(jìn)灰色Markov模型的重要一步,通過(guò)轉(zhuǎn)移概率矩陣可以看到相對(duì)誤差的每一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的概率,確定預(yù)測(cè)值修正的方向,最后運(yùn)用Markov誤差修正得到最終預(yù)測(cè)值。

(3)改進(jìn)的灰色Markov預(yù)測(cè)模型可用于小數(shù)值樣本數(shù)據(jù)集仿真分析,其預(yù)測(cè)相對(duì)誤差對(duì)比原改進(jìn)灰色模型由原來(lái)4.2%下降到2.1%,從而使得深基坑施工引起周邊建筑物累積沉降的預(yù)測(cè)更加貼近實(shí)際。