航天器碰撞規避單脈沖切向控制最優策略

蔡立鋒 吳凌九 張國云 李 智 李冰冰 孫振江

中國西安衛星測控中心,航天器在軌故障診斷與維修重點實驗室,西安 710043

0 引言

隨著低軌航天器日益增多,尤其是我國低軌互聯網星座計劃實施以后,在軌航天器的碰撞規避事件將快速增長[1-2]。這就要求地面衛星操控中心快速確定規避控制最優策略。由于衛星控制系統設計、載荷應用、測站可見性等約束,絕大多數規避控制均是實施一次單脈沖切向控制。單脈沖切向控制規避策略需要確定碰撞交會前的控制時刻和控制量兩個變量,實現控后兩星最近距離大于某一安全距離;其中控制時刻是由測控條件、衛星載荷應用需求、衛星平臺工作狀況、地面工作規劃等諸多條件約束,控制量要求盡可能小,以減少燃料消耗,盡量少偏離衛星工作軌道。本文研究單脈沖切向碰撞規避最小控制量確定方法。

碰撞規避方式按照交會目標軌道測量手段分為近距離自主測量和地面測量兩種。文獻[3]研究了在地面預警的基礎上,通過星上自主測量設備在交會前十幾秒開始測量兩星相對運動參數,通過機動改變交會時刻視線轉率的方式規避碰撞風險,雖然近距離自主測量精度較高,但是軌道機動后軌道位置演化的時間太短,目前仍需要消耗更多的燃料,且會增加星上負擔。所以目前碰撞規避仍是依賴地面測量數據提前較長時間進行規避機動的方式。

地面提前規避有高度規避方法和沿跡規避方法。文獻[4-7]研究了受威脅衛星機動后自身在高度或沿跡方向上的變化,未考慮受威脅衛星不機動軌道、機動軌道、威脅目標三者在空間的位置關系,以及機動控制量與規避距離的單調性問題。文獻[8]基于相對位置速度的線性方程研究了提前幾軌點火機動的優化問題,但是對衛星的機動能力和燃料消耗要求較高。

規避策略的確定還涉及到碰撞風險評估方法問題,碰撞風險評估方法分為Box區域方法(Box Method)和碰撞概率兩種方法。碰撞概率方法計算兩目標碰撞的概率,需要獲知兩目標在交會時刻的位置誤差協方差矩陣,通過減少碰撞概率進行規避策略的確定,理論上已有很多研究[9-13]。在實際工程應用中,仍主要采用Box區域方法作為規避控制安全門限。由于對空間目標的確定和預報均存在一定的誤差,Box區域方法就是設定危險目標的接近范圍,當最小接近距離小于該范圍,就提前實施控制,使得最小接近距離大于該范圍。本文推導了小偏心率軌道衛星切向控制后的軌道相對原軌道的相對運動方程,分析空間接近幾何關系,給出Box區域方法限定的空間接近距離和交垂線方向距離約束情況下控制時刻對應的最小控制量的計算方法和函數曲線,證明控制量與規避距離的單調性關系,并討論控制時刻對控制效果的敏感性。

1 控后相對運動方程

假設t0時刻獲知某衛星A與空間飛行物體B有碰撞風險,在交會時刻ts最小接近距離為d,或者兩星速度交垂線方向(兩星交會時刻速度的叉乘方向)最小距離為h,小于對應的允許門限值d0或者h0,需要提前在tc時刻對A星實施單脈沖切向控制,以實現在交會點d≥d0或者h≥h0。設a、e、w和f分別為衛星軌道半長軸、偏心率、近地點輻角和真近點角,e1=ecosw,e2=esinw,衛星距升交點的角距為θ=w+f。假設在tc時刻,實施了切向脈沖控制,半長軸控制量為δa,則同時對軌道半長軸a和偏心率e的改變效果為[14]:

(1)

式中:θc為控制時刻的θ。定義衛星軌道坐標系oXYZ,Z軸由衛星質心指向地心,X軸在軌道平面內與Z軸垂直,指向衛星運動的方向,Y軸與Z、X軸成右手螺旋關系。設實施控制后的衛星為A1星,設A1相對于A星在A星軌道坐標系中相對位置為ρ=[xyz]T,則[15]:

(2)

式中:r是衛星徑向距離,r0是A星徑向距離。設小偏心率情況下,e和地球帶諧項J2同一量級,則式(2)θ展開式為:

θ=λ+2esinM+o(e2)=λ+
2e1sinλ-2e2cosλ+o(e2)

(3)

式中:λ=w+M,M為平近點角。一階近似情況下,可以將式(2)中δθ和δr表示如下:

(4)

式中:a0是A星平半長軸。一般控制量δa為1km量級,一階近似下δλ可以表示為:

(5)

(6)

當t=ts,式(6)即為交會時刻ts時,A1與A星的相對位置。設θs為控交會時刻的θ值,u=θs-θc為從控制時刻tc到交會時刻ts衛星轉過的角度,以下稱相位差。將式(1)代入式(6),并利用近似關系n(ts-tc)=u,可得:

(7)

在A星軌道坐標系中觀察,A星不動,飛行物體B與A星接近。對于絕大多數碰撞規避事件,相互接近的A、B兩星星軌道面相差并不很小,在相互接近的短暫時間內,兩星相對速度較大,可以視為在相互接近的幾秒鐘時間內,B在A星軌道坐標系中進行直線運動,則接近最小距離即為A星與該直線的最近距離。現在定義接近坐標系。設在互相接近的短暫時間內,A星的速度矢量為vA,B星的速度矢量為vB,定義接近坐標系oXjYjZj的Zj軸為vA×vB所確定的方向,Xj軸為vA確定的方向。接近坐標系是A星軌道坐標系繞Y軸轉過一個角度β,使得新的X軸與vA重合,再繞新的Y軸旋轉α角得到。設軌道坐標系到接近坐標系的轉換矩陣為Loj,則:

(8)

實際上β即為衛星沿軌道飛行的飛行角,可由開普勒根數表示為[14]:

(9)

可見,在小偏心率情況下,cosβ≈1,sinβ=o(e)。角α可以由接近坐標系定義的方向余弦及式(9)確定的角β得到。

由式(7)可知,接近坐標系下,A1星相對于A星的位置向量PA1為:

(10)

式中:S為:

(11)

問題變為求解A1星相對于A星空間橢圓軌跡,與B星在接近坐標系中運動直線之間的最小距離的問題。

2 最優策略確定方法

2.1 最近距離約束情況下的最小控制量確定

B星相對于A的速度在慣性坐標系表示為vBi-vAi;設交會時刻A、B星在慣性系中的位置為分別為PAi、PBi,則B星相對于A星速度和位置轉換到接近坐標系為:

(12)

(13)

以下將d(u,δa)稱為接近距離。允許的接近距離為d0,求解方程d-d0=0的根,即可求得對應的半長軸控制量δa和相位差u,相位差u對應著唯一的控制時刻tc。現固定某控制時刻,討論對應的控制量與接近距離的關系。此時有:

(14)

定義函數撇號上標表示對δa求導,由式(10)可知R′=S,v隨δa的變化與β角有關,由式(9)可知,小偏心率情況且δa為km量級情況下,可以近似認為v′=0,對式(14)的δa求導可得:

(15)

先對交會前一段時間的控制時刻進行遍歷,通過式(14)和(15),使用牛頓迭代法可以很快計算得到滿足d-d0=0的條件的每個控制時刻tc對應的控制量δau。

下面證明解的單調性。令式(15)的d′=0,對應的控制量為:

(16)

可見,極值δam是唯一的。設δam對應的接近距離為dm。由(dd′)′=d′d′+d″d可得在δam處,有:

(17)

式(17)說明d(δa)在δam處為最小值,僅當d>dm才有解δau,且一個d對應的解δau必然是成對出現的。規避控制的目標必然要求d≥d0>d(δau=0)≥dm。因此當控制量δa的絕對值|δa|大于|δau|時,其對應的接近距離d(δa)一定大于允許的接近距離d0,|δau|即是tc時刻控制且滿足接近距離大于允許接近距離d0的最小控制量。

2.2 最近交垂線約束情況下的最小控制量確定

上面討論了通過接近距離隔離,下面討論通過交垂線距離隔離。空間交會接近的兩顆衛星,在速度方向上誤差傳播較快,且誤差較大;而與兩顆衛星速度都垂直的方向上誤差較小,因此交垂線方向隔離允許的最小距離較小。交垂線的方向即為接近坐標系中的Zj軸方向,設式(12)中PB的Zj分量為PBz,而A1星相對于A星在Zj方向的分量為式(10)的Zj分量,則A1星相對于B星在Zj方向的距離為:

(18)

3 算例校驗及控制時刻的敏感性分析

現在以一個算例來說明單批次切向脈沖最優規避策略的計算方法。設ts時刻A、B兩星相對距離最近,A、B兩星均為近圓軌道,軌道高度為500km附近。設B星在A星的接近坐標系中的相對位置和速度分別為PB=[PBxPByPBz]T,vB=[vBxvByvBz]T,如表1所示。

表1 兩星碰撞預警信息

在接近坐標系中,A1星、A星和B星在交會點的空間幾何關系如圖1表示。圖中A點表示A星的位置,B點表示B星的位置,波動曲線由式(10)確定,表示A1星在不同控制時刻tc對應的時間間隔ts-tc的位置變化,圖中的A1點表示在交會時刻前24小時實施了半長軸增加0.05km的切向單脈沖控制后,A1星運行至交會點時刻的位置。在交會點附近,B星相對A星作直線運動,BC為B星的直線運動軌跡,AB⊥BC,是不控情況下,A、B兩星的最近距離;CA1⊥BC,是提前24h時刻進行切向脈沖控制,半長軸增加0.05km情況下,A1、B兩星的接近距離;A1點的坐標是(-7.08,0,-0.001)。由于BC與A星的切向運動方向夾角較小,所以雖然單脈沖控制情況下在切向方向改變了7.08km,但是接近距離僅為2.55km。如果兩星相對運動方向夾角更小,會出現控制量已經很大,且很早實施了控制,仍不能在接近距離上規避碰撞風險的情況。有時候,可能更適合考慮在Zj方向即雙星速度矢量的交垂線方向進行規避控制。

圖1 接近場景示意圖

首先,假設允許接近距離d0=2km。由式(13)和(14),用牛頓迭代法計算不同控制時刻對應的最小控制量的δa-t函數曲線(圖2)。圖2繪制了d0=1.8km、2km和2.2km三個允許接近距離對應的δa-t曲線。其次,假設允許的最小交垂線距離h0=100m,由式(18)計算不同控制時刻和控制量的函數曲線(圖3)。圖3繪制了h0=90m、100m和110m三個允許最小交垂線距離對應的δa-t曲線。可以看到曲線分為左右兩支,同一控制時刻,對應正負2個控制量。

圖2 最小接近距離約束δa-t曲線

圖3 最小交垂線距離約束δa-t曲線

為便于分析,將圖2和3合并繪制如圖4。圖4中實線即表示每一控制時刻,分別由距離約束和交垂線約束確定的控制量中的較小值。據圖4,可以確定滿足規避約束條件的最小控制策略。首先確定控制時刻。考慮載荷應用、測控條件、衛星狀況的諸多工程約束條件的限制,結合圖4給出的δa-t曲線,確定控制時刻。其次確定控制時刻對應的最優控制量。半長軸機動方向受衛星推力器的安裝位置和衛星姿控設計約束,為了節省燃料及盡量少偏離衛星工作軌道,半長軸控制量一般越小越好。圖4中標出了A、a、B、b四個點,A、a縱坐標為交會前21小時的控制時刻,B、b縱坐標為交會前12小時的控制時刻。橫坐標分別為對應時刻實施控制的最優控制量。在交會前21小時實施控制,會有A、a兩個控制點,控制量分別為-39.3m和46.0m。從節省燃料和盡量少偏離衛星工作軌道的角度選擇A點為最優控制點,即降低半長軸39.3m。如果因為衛星推力器設計不便于降低半長軸控制,可以采取抬高半長軸46.0m的策略;此時主要采取距離隔離的方式進行規避。在交會前12小時實施控制,會有B、b兩個控制點,控制量分別為27.2m和-69.1m。從節省燃料和盡量少偏離衛星工作軌道的角度選擇B點為最優控制點,即抬高半長軸27.2m;此時主要采取交垂線方向隔離的方式進行規避。將以上A、a、B、b四個點的控制策略采用高精度軌道控制及預報模型進行驗證,滿足距離隔離和交垂線隔離的要求,且是對應的最小控制量。

圖4 接近安全約束下δa-t曲線

圖5 控制時刻與接近距離函數曲線

對于交垂線隔離的情況,由式(18)可見,當相位差uk=(2k+1)π時,交垂線隔離距離需要的控制量最小。圖4中B點確定的控制量為27.2m,在該控制量情況下,控制時刻與交垂線距離的關系如圖6,圖中星號表示的相位差是uk=(2k+1)π對應的控制時刻。

圖6 控制時刻與交垂線距離函數曲線

4 結論

針對低軌航天器碰撞規避單脈沖切向最小控制量確定問題,采用相對軌道動力學理論方法,推導單脈沖切向控制情況下控后軌道與不控軌道的相對運動方程。定義了接近坐標系,在該坐標系中分析了碰撞預警交會點附近的相對幾何關系,討論了在最小接近距離約束、最小交垂線距離約束兩種情況下,指定控制時刻對應的最小單脈沖切向規避控制量的確定方法,證明了控制量與規避距離的單調性關系。最后,通過算例給出了工程上可以應用的最小控制量確定流程,并討論了控制時刻對控制效果的敏感性問題。分析表明,僅考慮對距離約束影響效果情況下選擇控制時刻,在實施接近距離約束控制時,當控制點相位在交會點相位前后20分鐘內,對接近距離的敏感性較小;當實施交垂線距離約束控制時,在距離交會點相位差180°位置控制,交垂線距離拉開效果最好;在控制時刻確定的情況下,前述兩種距離約束確定的最小控制量是唯一的。大于該控制量的控制,均會使接近距離或者交垂線距離更大,滿足預警解除的要求。以上單脈沖切向碰撞規避最小控制量的確定方法,可以適用于未來大數量在軌衛星對于日益增多的碰撞規避控制策略的需求,即僅需要交會點的空間接近信息和主星的空間速度信息,就可快速確定單脈沖切向規避最優控制量。