基于H∞回路成形的變循環發動機多變量控制

劉露楊 ，郭迎清 ，楊聞浩 ，劉嚴嚴

（1.西北工業大學動力與能源學院，西安 710129；2.中國航發沈陽發動機研究所，沈陽 110015）

0 引言

變循環發動機屬于復雜、強非線性、多變量、時變的系統，可以根據不同任務需求改變當前發動機工作模態以提升發動機性能；然而發動機性能的提升是以增加控制變量為代價來實現的，隨著變量的增多，系統的耦合性更加明顯，對于具有眾多可調變量的發動機系統，各變量間只有相互協調配合才能使發動機發揮出整體的優勢。目前的發動機多變量控制主要采用比例積分（Proportional Integral,PI）控制，還不能完全解決回路間的耦合，因此采用先進的多變量控制方法對于提升變循環發動機性能具有重要意義。

針對發動機多變量控制，國內外已經開展了大量研究。比較成功的多變量控制方法主要有線性二次型（Linear Quadratic Regulator, LQR）控制、H∞控制、μ綜合以及自適應控制等[1-2]。Szuch等[3]早在20世紀70年代初就對F100發動機開展了LQR多變量控制技術研究，為了保證控制精度和發動機的最佳性能，共選擇了5 個控制量用于發動機閉環控制；Shutler 等[4]針對F120 變循環發動機使用了3 個閉環控制量、5 個開環控制量用于多變量魯棒控制技術研究，閉環控制量中還包括了可變的涵道比；王海泉等[5]針對航空發動機多變量魯棒控制器設計問題，深入研究了混合靈敏度H∞方法、H∞回路成形法等，并進行了半物理仿真試驗；何鳳林等[6]采用基于改進的非支配序自組織遷移（Non-dominant Sorting Self-organizing Migration Algorithm,NS-SOMA）多目標優化算法實現了3 變量變循環發動機的解耦控制。

為了進一步提升變循環發動機的性能，需對其多變量控制技術做進一步研究。本文利用3輸入3輸出變循環發動機線性化數學模型[7]，采用相對增益矩陣（Relative Gain Array，RGA）方法[8]分析了發動機內部的耦合性，設計了基于目標回路的2自由度H∞回路成形的多變量控制系統，并與傳統的基于PI 的單變量控制方法進行了對比。

1 變循環發動機簡介

1.1 3涵道變循環發動機基本原理

本研究采用了典型的帶核心機驅動風扇級（Core Driven Fan Stage, CDFS）的變循環發動機，其基本原理如圖1 所示。該發動機共有9 個可調變量，分別為燃油流量Wf、尾噴管喉部面積A8、3 個可變涵道引射器面積AVABI1～AVABI3、風扇可調靜子角度α1、CDFS 可調靜子角度α2、高壓壓氣機可調靜子角度α3和低壓渦輪可調靜子角度α4。發動機的具體原理詳見文獻[9～10]。

圖1 3涵道變循環發動機基本原理

該發動機共有2 種工作模態：在亞聲速巡航等低功率狀態下以雙外涵模式工作，AVABI1～AVABI2均開到最大，發動機具有較大的涵道比B和較低的單位燃油消耗率f；在超聲速巡航等高功率狀態下以單外涵模式工作，AVABI1關閉、AVABI2關小，更多的氣流進入核心機，同時α2、α3開大以適應增加的氣流，α4也開大，使高壓渦輪的功率相應提高，此時發動機具有較小的B和較大的推力FN。

1.2 發動機變量的選擇及線性化

以雙外涵模態下的變循環發動機模型為例分析多變量控制的優勢，其中控制規律選擇為使用Wf、A8和AVABI3來控制低壓轉子轉速n1、發動機壓比πe和混合室入口內外涵氣流壓比πm，即

定義狀態變量分別為n1、高壓轉子轉速n2、渦輪前總溫Tt4和渦輪入口總壓Pt4。采用線性擬合法，在高度H= 0、馬赫數Ma= 0 的飛行條件下實施線性化，得到設計點的歸一化線性模型

并將式（2）記為G(s)。歸一化后的輸入、狀態、輸出變量分別為

1.3 發動機耦合性分析

在發動機控制過程中，若采用多個單變量控制器獨立工作的方式，則系統會不可避免地受到發動機內部耦合作用的影響，例如：單獨調節Wf時，3個被控變量都會受到影響；此外，對任意1 個被控變量，例如n1，3個控制變量對其均有一定的控制作用。因此，在評估單變量控制是否可行時，應當首先分析發動機的耦合性。使用以頻率為自變量的RGA 矩陣可以衡量多變量系統各回路的耦合作用，RGA矩陣的定義為

式中：“×”表示元素間的乘積（Schur乘積）。

RGA 矩陣中所有的行和列之和均為1，且第i行第j列元素λij表示的是第j個控制量對第i個被控量的交互作用。RGA 矩陣越接近單位陣，則系統的耦合性越弱。為了方便衡量RGA 矩陣與單位陣的接近程度，定義RGA數

RGA數越接近0，耦合性越弱。

針對G(s)，在對數坐標下繪制RGA 數的變化曲線，如圖2 所示。從圖中可見，RGA 數始終大于0，且隨著頻率提高有不斷加大的趨勢，表明系統內存在耦合且隨著頻率提高不斷加強。

圖2 RGA數的變化曲線

以控制量AVABI3為例分析3個被控量間的耦合性，在對數坐標下繪制RGA 矩陣第1 列元素幅值隨頻率變化的曲線，如圖3 所示。圖中λ13、λ23、λ33分別為AVABI3對n1、πe、πm交互作用的相對大小。在單變量控制過程中，AVABI3控制πm，且該通道的帶寬為ωb=1.72 (rad/s)。從圖中可見，在ω＜ωb的范圍內，AVABI3僅對πm具有較大影響，耦合性較弱；在ω≥ωb的范圍內，AVABI3對另外2 個被控量的影響越來越大，耦合性較強，因此需要采用多變量控制。

圖3 AVABI3通道的RGA矩陣元素隨頻率變化的幅值

2 2自由度H∞多變量控制器設計

2.1 H∞回路成形的基本原理

采用H∞回路成形法可以讓系統的穩定性和性能都維持在良好的水平，該方法包含了3 個過程：根據性能要求設置前置或后置補償器，使開環回路的奇異值σ曲線具有期望的形狀；利用H∞優化技術，針對互質因子不確定性，對成形后的對象進行魯棒鎮定；合成單自由度控制器[11-12]。

（1）開環回路成形。回路成形的過程可通過在被控對象兩端加入補償環節實現，如圖4所示。

圖4 開環回路成形

成形后的對象用Gs(s)表示，且

為使閉環系統具有良好的性能，應合理配置補償函數，使Gs(s)的奇異值曲線σ[Gs(jω)]滿足如下性能要求：（1）低頻段，為減小跟蹤誤差，需滿足-σ[Gs(jω)]?1，一般取20 dB；（2）中頻段，為保持閉環穩定性，衰減率約為-20 dB/10倍頻程；（3）高頻段，為提高噪聲抑制能力，需滿足σˉ[Gs(jω)]?1，一般取-20 dB；（4）為縮短調節時間，提高響應速度，穿越頻率ωc應該足夠大。

（2）H∞魯棒鎮定。為了提高系統的魯棒穩定性，還需要利用H∞優化技術將攝動后的系統鎮定化。將成形后的系統改寫為標準的左互質分解形式，得到攝動后的對象模型為

式中：ΔM(s)和ΔN(s)為穩定但未知的函數，表示Gs(s)的不確定性。

魯棒鎮定過程如圖5所示。

根據小增益定理，圖5中攝動反饋系統魯棒穩定的條件為：標稱反饋系統內部穩定，且

圖5 魯棒鎮定過程

式中：τ為?到[uT yT]T的H∞范數；ε為ΔM(s)和ΔN(s)的最大奇異值。

對應的魯棒鎮定控制器K∞(s)可利用Mcfarlane與Glover[13]提出的“中心”控制器，具體步驟參見文獻[13]。

（3）合成單自由度控制器。單自由度控制器如圖6所示，其結構為

圖6 單自由度控制器

2.2 通過目標函數來設計補償函數

在回路成形過程中，補償函數的設計沒有固定的方法，通常需要大量試湊，其過程復雜。為簡化設計過程，采用如下方法：（1）根據第2.1 節的性能要求給定目標開環回路傳遞函數矩陣Gd(s)，并令W2(s)=I；（2）采用GCD 公式法[14]反向求解W1(s)，使得在給定頻率范圍內

該過程利用MATLAB 魯棒控制工具箱中的loopsyn函數求解，調用格式為

2.3 2自由度方案

若僅采用指令與反饋信號之間的誤差來驅動控制器，則構成了常見的單自由度控制器；但是在對輸出響應有嚴格時域指標要求的情況下，單自由度方法需要大量的試湊。為了將時域指標納入到控制器的設計過程，考慮在參考指令端串聯1 個前置濾波器，得到2 自由度控制器，2 自由度回路成形控制系統如圖7 所示。以強制閉環系統奇異值曲線擬合到指定的參考模型傳遞函數矩陣Tref(s)。

圖7 2自由度回路成形控制系統

圖中，K1D(s)（式（7））用于滿足魯棒穩定性和擾動抑制的需求，K2D(s)用于滿足時域性能指標要求，其設計步驟為：

（1）閉環回路成形。采用與第2.2 節中求解補償函數相同的方法求解濾波器W3(s)；

（2）穩態增益匹配。對參考指令r進行尺度變換，使閉環控制系統傳遞函數矩陣T(s)與Tref(s)的輸出在穩態精確匹配，即滿足目標

3 控制系統綜合驗證

3.1 開環回路成形設計

針對式（2）中的線性模型，采用基于目標回路的方法設計補償函數，給定目標開環回路奇異值曲線低頻段增益為40 dB、高頻段增益為-40 dB、穿越頻率為3 rad/s且穿越頻率處斜率為-20 dB/10倍頻程，優化范圍為10-2～102rad/s，得到從誤差到被控量的開環回路奇異值曲線如圖8所示。

圖8 開環回路奇異值曲線

從圖中可見，成形后及魯棒鎮定后的開環回路奇異值曲線滿足第2.1節中的指標要求，保證了閉環系統的魯棒穩定性及擾動抑制能力。

3.2 閉環系統綜合仿真驗證

2 自由度H∞方法可直接給定閉環參考模型以設計控制器。例如：給定3 個閉環參考模型的階數均為2、期望調節時間ts= 1.5 s、期望相位裕度PM= 80°（ωc=2.2 rad/s）、開環穩態增益為80 dB，得到參考模型

為了作對比，同時設計了基于PI 的多回路單變量控制器，同樣給定ωc= 2.2 rad/s 處相位裕度PM=80°；隨后在非線性模型中進行驗證。

3.2.1 擾動抑制能力驗證

使發動機在設計點處平穩運行，在t=5、10、15、20 s的時刻分別對發動機的4個狀態量施加一定幅度的沖擊擾動，得到發動機的狀態恢復效果如圖9 所示（以n1為例進行展示）。

圖9 發動機狀態恢復效果

從圖中可見，在同等的擾動輸入條件下，2 種方法均能使發動機狀態恢復到初始值，且2 條曲線幾乎重合，說明采用2 種方法設計的控制系統均具有良好的擾動抑制能力。

3.2.2 跟蹤性及解耦性能驗證

在驗證多變量控制系統的跟蹤性及解耦性能時，每次僅單獨對其中1 個參考指令施加階躍變化量，其他指令不變。例如：在驗證n1的跟蹤效果時，僅給定n1參考指令1000 r/min 的階躍上升量，閉環階躍響應仿真結果如圖10 所示。n1階躍響應、πe回路、πm回路的性能指標分別見表1～3。

圖10 閉環階躍響應

表1 n1階躍響應性能指標

表3 πm回路性能指標

從圖10（a）和表1 中可見，在同等頻域指標要求下，采用多變量方法設計的系統在n1回路的階躍響應過程中擁有更小的超調量和更短的調節時間，其中超調量從9.58%減小到0.45%，減小了95.3%，調節時間從2.99 s 縮短為1.45 s，調節速度加快了51.5%，表明多變量方法性能更優；從圖10（b）和表2 中可見，在n1回路階躍跟蹤的過程中，πe回路也會因系統耦合作用產生波動，且采用多變量方法時這種波動更小，πe的最大偏移量從0.0708% 減小到0.0073%，減小了89.69%，調節時間從1.64 s 縮短為1.19 s，調節速度加快了27.4%，表明多變量方法的解耦效果更好。同理，對于πm回路，采用多變量方法時波動更小，解耦效果也更好。

表2 πe回路性能指標

（3）模態轉換功能驗證。變循環發動機通過調節α1～α4和AVABI1～AVABI2等可變幾何參數來實現模態轉換[15]。在2 種模態下發動機具有不同的涵道比B，表明發動機工作于不同的熱力循環。

以低功率狀態下（式（2））雙外涵到單外涵的過程為例驗證模態轉換，在轉換過程中，可變幾何參數按表4 中給定的數值以開環控制的方式線性變化，如圖11 右圖所示；同時，多變量主控制器以閉環控制的方式調節3 個控制量Wf、A8和AVABI3，使主要被控變量不變，實現模態的平穩轉換。

表4 2種模態下VCE的可變幾何參數

在仿真過程中，使發動機穩定于雙外涵模態運行5 s，使可變幾何參數在5 s內線性地變化到給定值，繼續仿真直到被控變量回到穩態值，仿真結果如圖11～12所示。

圖11 發動機的性能參數和可變幾何參數

從圖11 中可見，發動機成功實現了模態轉換，B從0.7008 減小到0.3049；f從0.077 kg/（N·h）提高到0.086 kg/（N·h），提高了11.99%；FN從37.64 kN 減小到36.78 kN，減小了2.28%。結果表明，在低功率狀態下發動機以雙外涵模態工作更優。

圖12 主要被控變量和閉環控制量

在轉換過程中，被控變量雖有小范圍的波動，但在多變量閉環控制器的作用下，均能快速地恢復到初始值，即采用2自由度H∞回路成形法確保了模態轉換過程的順利實現。

4 結論

（1）對于變量眾多的變循環發動機，采用多變量控制方法和單變量控制方法設計的控制系統均具有良好的擾動抑制能力，且能很好地實現模態轉換控制；但在跟蹤控制過程中，采用多變量控制方法可以使超調量更小、調節時間更短、波動更小，因此多變量控制方法相對更優。

（2）在回路成形控制器的設計過程中，采用基于目標回路的方法可以極大地簡化補償函數的設計過程；采用2 自由度的方案，可以針對具體的時域指標直接設計多變量控制器而無需試湊。