線段圖在小學行程應用題教學中的應用

周建中

【摘要】行程應用題是小學數學的重點與難點，學生在求解這類問題時往往會不知如何入手.一來行程問題本身涉及了時間、速度與路程三個量，二來行進的過程本身可能比較復雜，比如追及問題等，學生如果沒有理清其中的關系，就無法列式進行計算.文章首先分析了線段圖在行程應用題教學中的作用，然后列舉了常見的行程應用題，旨在通過線段圖來分析行程問題，把復雜的問題簡單化與直觀化，提高學生解題效率.

【關鍵詞】線段圖；行程問題；解題應用

引 言

行程應用題是小學高年級數學的學習難點，問題種類比較多，有一般的相遇、追及問題，還有流水行船問題，等等.不少學生都依賴于公式來求解，如果情況一旦變得復雜，或者問題的背景不那么直觀，學生就很難理清題目中各個量之間的關系，無法正確求解.下面筆者借助線段圖來分析行程問題，通過線段圖把行程問題所涉及的時間、速度與路程三個量形象化、直觀化，理清在問題的各個階段中三者之間的關系，從而求解問題.

一、線段圖在小學行程應用題教學中的作用

（一）幫助學生理解題意

在解決行程問題時，學生常常會遇到文字描述較為抽象、信息量大且關系復雜的情況，這使得他們難以快速理清題意.而線段圖作為一種直觀的教學工具，能夠通過圖形的方式展示題目中的信息，將抽象的文字描述變得生動具體，幫助學生更好地理解題意.例如，在相遇問題中，學生常常需要理解兩個物體在某一時間段內的相對位置和運動關系.如果僅僅通過文字描述，學生可能會感到困惑，難以清晰地想象出物體的運動軌跡和相對位置.而通過繪制線段圖，學生可以將題目中的信息以圖形的方式呈現出來，更加直觀地了解物體的起始位置、運動方向和速度等關鍵信息.這樣一來，學生就能夠更好地理解題目的本質，清晰地看出數量關系，從而快速找到解題方法.

（二）簡化復雜問題

在解決復雜的行程問題時，學生常常會面臨大量的文字信息和復雜的數量關系.這些信息如果僅通過文字描述或口頭講解，學生可能會感到困惑，難以把握問題的核心.而線段圖能夠清晰地表示出數量關系，將復雜的文字描述簡化為簡單的圖形表示.通過繪制線段圖，學生可以對題目中的各種信息進行整合和簡化，將復雜的文字描述轉化為直觀的圖形.這樣，學生可以更加清晰地看到各個量之間的關系，避免出現在大量文字中迷失方向的情況.同時，線段圖的使用也降低了學生的認知負荷，使得問題變得更加容易解決.

（三）培養學生的邏輯思維和空間想象能力

在解決行程問題時，學生需要具備一定的邏輯思維和空間想象能力來理解物體的運動軌跡和相對位置.通過繪制線段圖，學生需要將文字描述轉化為圖形，并從中找出數量關系.這一過程需要學生具備一定的邏輯思維，對問題進行有條理的分析和推理.首先，學生需要根據題目的描述，將文字信息轉化為圖形元素.這需要學生具備一定的空間想象能力，能夠準確地想象出物體的運動軌跡和相對位置.通過繪制線段圖，學生能夠更加直觀地看到各個量之間的關系，從而更好地理解題目的本質.其次，在解決行程問題時，學生還需要具備一定的邏輯思維.他們需要根據線段圖中的信息，分析各個量之間的關系，找出解題的關鍵.這需要學生具備對問題的分析和推理能力，能夠從線段圖中提取關鍵信息，并進行邏輯推理.通過訓練，學生可以逐漸提高自己的邏輯思維和空間想象能力.他們可以更加熟練地繪制線段圖，更加準確地分析各個量之間的關系，從而更加高效地解決行程問題.

二、常見行程應用題舉例

行程應用題是小學階段數學應用題的重要類型之一，對于培養學生的邏輯思維和問題解決能力具有重要意義.然而，由于行程應用題涉及的概念和關系較為復雜，許多學生在解決這類問題時感到困難.線段圖作為一種直觀的圖形表示方法，能夠幫助學生更好地理解題意，找出數量關系，從而提高解決行程應用題的能力.下面用具體的例子來展示線段圖在解決行程應用題中的重要作用.

（一）相遇、追及問題

例1 A，B兩地之間的路程為726千米，甲、乙兩車分別從兩地同時開出，勻速相向而行，甲車平均每小時行駛22千米，乙車速度比甲車速度快11千米，行駛多久兩車之間還相距121千米？

思路分析 行程問題涉及的基本量為速度、時間與距離，為此需要把題目所給的條件作適當的轉化.先算出乙車的速度為22+11=33（千米/時）；整個行程可以用圖1表示.顯然該問題是對常規的相遇問題做了一定改變，但從線段圖上看，還是具有相遇問題的特點：兩車相向而行，經過多長時間兩車距離為121千米.

解題分析 從圖1中可以發現，此問題就是一個普通的相遇問題，只要把兩地的距離修改為726-121=605（千米），用兩地距離除以兩車行進速度和即可得到最終答案.此時兩車相遇所用的時間為：605÷（22+33）=11（小時），即兩車經過11小時后相距121千米.利用線段圖可以很容易地表示出甲、乙兩車的距離，并且這里借助箭頭表示出甲、乙兩車的行駛方向，也可以表示速度的大小.這樣就可以把行程問題的兩個因素在同一張圖中表示出來，這樣不僅可以把復雜、抽象的行程問題通過線段直觀地表示出來，而且可以簡化問題的條件，把條件集中到一起，這樣更加有利于對問題的分析與求解.

例2 公交車每天都從始發站發車，假設每次發車的時間間隔均相同，每輛車都以固定的速度勻速行駛在公路上，忽略停車、上人需要的時間.路人甲勻速走在行車路線旁邊的人行道上，他發現一個規律，就是公交車迎面和背面駛來的時間間隔是6分鐘和12分鐘，求始發站每隔多少分鐘發一趟車.

思路分析 問題的背景學生都很熟悉，只是增加了一些理想化的條件，所以讓學生理解本題是沒有問題的.只是題目所給的條件太少，在路程、速度與時間三個要素中，只是給出了時間一個要素，并且整個行程也比較復雜，常識告訴我們會有多輛公交車在線路上運行，整個公交運行線路的長度未知，運行速度也未知，不僅如此人的行走速度也未知.總之，題目所給條件太少，且行程較復雜.

解題分析 對于這類條件明顯較少問題的求解，通常的一個思路就是，在題目所給條件沒有出錯的情況下，所求的結論與未給的條件之間是不存在關系的.就如本題而言，公交車的發車間隔、公交車的運行速度、人的行走速度，與公交運行線路的距離之間是沒有依賴關系的，這點會使大部分學生感到意外.所以，求解此類問題的關鍵在于仔細分析整個行程過程，不能忽略每一個細節.而分析問題的根據就在于行程問題的基本關系式：路程=速度×時間.為了分析問題方便，用v1，v2分別表示公交車與人的速度.根據題意，公交車在始發站是等間隔發車，并且不考慮在各個站點的停留時間，所以在整個公交車的運行線路上，前后兩輛公交車之間的距離總是定值，這里不妨將其設為L.這個距離對于本題的求解至關重要.

本題的求解帶有明顯的代數思維方式，在這里也可以把相鄰兩輛公交車之間的距離作為單位“1”進行求解，如下所示.

將兩種求解方法進行對比可以發現，后一種解法更加具體一點、小學生更加容易接受一點.只是把兩車的距離設置為單位“1”時，會有學生弄不明白.在這一點上第一種解法更好理解一點.第一種解法對學生有著更高的要求，需要學生具備一定的邏輯推理能力及代數式的恒等變形能力.

（二）流水行船問題

另一種常見且復雜的行程問題則是流水行船問題，問題的背景都是日常生活中經常遇到的情況，顯然船在順水中行駛，其速度要比在靜水中快；反之在逆水中行駛，速度要比在靜水中慢，而這增加的速度或者減少的速度，正是水流的速度.這正是流水行船問題的基本原理.

例3 一艘小船從甲地開往乙地，此時小船是順水而行，小船的速度是28千米/時，小船到達乙地后逆水駛回甲地，小船再次回到甲地時，發現回來比去時多行駛了2個小時，已知水流速度是每小時4千米.甲、乙兩地相距多少千米？

思路分析 流水行船問題涉及的量相對較多，首先要確定兩個基本量，一個是水流速度，這里題目已經給出是4千米/時；另一個為小船在靜水中的速度：28-4=24（千米/時），從而可以得到船在逆水中行駛的速度：24-4=20（千米/時）.從圖6中可以發現回程時多行駛的2小時，正是由去程與返程時的速度差28-20=8（千米/時）造成的.

解題分析 小船在靜水中的速度為28-4=24（千米/時），小船逆水行駛的速度為24-4=20（千米/時），返程多用的2小時行駛的路程為2×20=40（千米），而這40千米正是由往返時的速度差即：28-20=8千米/時所造成的.所以去的時候總共所用時間為40÷8=5小時（即小船從甲地到乙地所用時間為5小時），故兩地距離為28×5=140（千米）.

結 語

綜上所述，線段圖作為一種直觀的圖形表示方法，能夠將抽象的文字描述轉化為具體的圖形表示，幫助學生更好地理解題意.同時，通過線段圖的繪制和應用，學生能夠逐漸掌握解決行程應用題的思路和方法，提高問題解決能力.在實際教學中，教師需要注意根據學生的實際情況和個體差異進行有針對性的指導，以幫助學生掌握解決行程應用題的思路和方法.

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