利用折紙活動提高初中生幾何思維水平的教學策略

余興梅

(新沂市實驗學校,江蘇 新沂 221400)

折紙活動一直備受數學教師和中考命題者的青睞.筆者結合自己的教學實踐,談談利用折紙活動提高初中生幾何思維水平的一些感受.

1 折紙活動在初中幾何教學中的優勢

數學學習的過程是一個合作探究交流、不斷生成的過程.在師生互動、生生互動這樣一個有趣的互動合作的過程中學習,學生在做中學,在操作中學,在交流中學,不但可以培養學生的動手操作能力,還能培養學生的合作學習能力以及語言表述能力.特別是在折紙活動中,讓每位學生都積極地參與,真正通過自我參與、動手操作來感受獲取新知的成就感,進一步提升在探究新知過程中對幾何思維能力的培養,形成教學模型以夯實教學而提升學生的數學素養[1].

初中數學學習中的折紙不僅僅是一種單純的手工制作,更重要的是借助折紙培養學生幾何思維的一個創新活動.在學生獨立動手操作與小組合作互動學習活動中有效地培養學生的創造性思維,開拓學生創新的綜合思維能力.在折紙后會出現許多精彩的問題,在解決這些問題的過程中讓學生經歷如何將實際問題轉化成數學問題,經歷從猜想、再到求解驗證的數學學習過程,培養學生對數學知識的綜合應用的能力,提高學生的幾何思維水平.

2 折紙活動在初中幾何教學中的有效策略

2.1 借助折紙活動得到幾何概念,幫助學生理解概念

如圖1,在《等腰三角形》的教學過程中,我們采用如下的折紙過程:讓學生拿出一張長方形紙片,按照如圖的要求進行折紙,然后用剪刀裁去下面的一部分,再把裁剪后的直角三角形展開．所得到的三角形是什么形狀的三角形呢?

圖1 紙片折剪圖

通過紙片的折剪的過程,學生很容易得到△ABC是等腰三角形——此時學生對于等腰三角形的概念——有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,理解得就非常透徹,從而對等腰三角形的判定也有了初步方法.

2.2 借助折紙活動探究幾何定理,幫助學生理清思路

如圖2,在探究《等腰三角形的性質》的教學過程中,我們采用如下的“折紙”過程:

圖2 等腰△ABC對折圖

將等腰△ABC對折,請大家思考:

題1 等腰△ABC是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?

通過剛才的折紙,你能用文字語言將你們的發現概括出來嗎(小組交流派代表發言)?

最后教師引導學生進行歸納總結:(1)等腰三角形是軸對稱圖形,頂角平分線所在的直線是它的對稱軸;(2)等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”);(3)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線相互重合(簡寫成“三線合一”).

剛才通過折紙我們只是停留在幾何直觀和操作層面,數學學習更要重視結論的準確性的證明,借助于剛才的折紙提供的思路,你能證明等腰三角形的兩個底角相等嗎?

題2 已知:如圖3,△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C

圖3 △ABC

解法一作頂角的平分線AD(利用SAS證明△ABD≌△ACD)除了可以得到∠B=∠C,從而說明“等邊對等角”,同時也可以得到BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC,從而說明“三線合一”.

解法二作底邊的中線AD(利用SSS證明△ABD≌△ACD),除了可以得到∠B=∠C從而說明“等邊對等角”,同時也可以得到∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°即AD⊥BC,從而說明“三線合一”.

解法三作底邊的高線AD(利用HL證明△ABD≌△ACD),除了可以得到∠B=∠C,從而說明“等邊對等角”,同時也可以得到∠BAD=∠CAD、BD=CD,從而說明“三線合一”.

如果沒有上面的折紙過程,學生很難想到本題中輔助線的添加,但是通過上面折紙給學生提供了本題的解題思路——學生很容易想到添加輔助線,將要證明的兩個角等轉化在兩個三角形中,借助于三角形全等來解決問題,在證明結論(2)的同時也將結論(3)證明出來,這就培養了學生通過動手操作和轉化的能力,采用一題多證的方法解決問題,更好地提高了學生的幾何思維水平.

2.3 借助折紙活動進行探究,啟迪學生發散思維.

問題:請同學們拿出一張三角形的紙片,你能通過折紙得到一個等腰三角形嗎?談談你的折法.

學生1:如圖4,折疊紙片使得點B與點C重合,得折痕MN交邊AB與點D,連接CD,則△BCD就是等腰三角形.理由是折痕MN是邊BC的垂直平分線,所BD=CD,所以△BCD是等腰三角形.

圖4 三角形紙片折疊圖① 圖5 三角形紙片折疊圖② 圖6 圖5變式圖1

學生2:如圖5,折疊紙片使得邊AC與BC重合,得折痕CD交邊AB與點D,再過點D畫DE∥BC交邊AC與點E,則△DCE就是等腰三角形.理由是因為折疊紙片使得邊AC與BC重合,得折痕CD,則∠BCD=∠ACD,又因為DE∥BC,所以∠BCD=∠EDC,從而得∠ACD=∠EDC,所以DE=CE,所以△DCE是等腰三角形.

變式(1):請同學們拿出一張平行四邊形的紙片,你能通過折紙得到一個等腰三角形嗎?談談你的折法.

學生3:如圖6,折疊紙片使得邊AD與CD重合,得折痕DE交邊BC與點E,則△DCE就是等腰三角形.理由是因為折疊紙片使得邊AD與CD重合,得折痕CD,則∠ADE=∠CDE,又因為AD∥BC,所以∠ADE=∠DEC,從而得∠CDE=∠DEC,所以DC=CE,所以△DCE是等腰三角形.

變式(2):請同學們拿出一張長方形的紙片,你能通過折紙得到一個等腰三角形嗎?

談談你的折法.

學生4:如圖7,沿對角線BD折疊紙片,點A落在點E處,

圖7 圖5變式圖2 圖8 圖5變式圖3 圖9 學生6折疊圖

則重疊部分△DBF就是等腰三角形.

理由是:因為折疊紙片△ADB與△EDB重合,則∠ADB=∠EDB,又因為AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC,從而得∠EDB=∠DBC,所以DF=BF,所以△DBF是等腰三角形.

變式(3):請同學們拿出一張長方形的紙片,你能通過折紙得到一個等邊三角形嗎?談談你的折法.

學生5:如圖8對折紙片得折痕EF,再折疊紙片使得點A落在折痕EF上點N處,則△ABN就是等邊三角形.理由是因為對折紙片得折痕EF,則EF是邊AB的垂直平分線,所以AN=BN,又因為折疊紙片使得點A落在折痕EF上點N處,所以AB=BN,從而得AN=BN=AB,所以△ABN是等邊三角形.

變式(4):請同學們拿出一張長方形的紙片,你能通過折紙得到一個菱形嗎?談談你的折法.

學生6:如圖9折疊紙片使得點B與點D重合得折痕MN,分別交邊AD與BC于點M、N,連接BM和DN,則四邊形BMDN就是菱形.理由是因為折疊紙片使得點B與點D重合得折痕MN,則MN是BD的垂直平分線,所以MN⊥BD,OB=OD,又因為AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC,且∠DOM=∠BON,所以△DOM≌△BON,可得OM=ON,所以四邊形BMDN就是菱形.

通過本題的折紙活動,多次變換紙片的形狀同時也變換所得到的幾何圖形的形狀,在變換的過程中,感受基本圖形的構成,逐漸提煉出數學的本質,積累數學活動過程中的經驗,提升了學生的幾何探究能力和發散創新思維能力.

3 折紙活動教學中幾點建議

3.1 利用幾何畫板輔助教學

利用幾何畫板教學時,可以將幾何圖形的折疊過程清晰地演示出來,讓學生更直觀地觀察到變化過程,深入地理解變化過程中哪些量在變化,哪些量不變化,充分理解折疊前后的變化過程,從單純的抽象直觀的概念思維逐漸轉化成更具體更加形象豐富的幾何思維.

3.2 加強小組合作交流探究

在平時的課堂教學中,有很多老師不太注重學生動手操作能力的培養,習慣于“滿堂灌”,更不會組織學生進行小組合作交流探究,讓學生充分感受數學結論的發現過程以及思維的培養.所以在平時的教學中,我們要選取和折紙相關的教學內容,提倡學生在實踐中先學會動手折紙操作,交流實踐經驗,總結實踐方法,以點帶面,讓折紙真正成為初中幾何實踐教學的一項重要活動.