有限傾角電機新型復合磁極陣列拓撲設計與解析建模

王天乙,黃 建,閆 昕,王 貫,宋志翌

（1.北京自動化控制設備研究所,北京 100074;2.北京機電工程總體設計部,北京 100039）

0 引言

慣性導航系統與作動系統是飛行器實現精準飛行姿態控制的核心傳感與伺服作動單元,其性能直接決定了飛行器綜合效能[1]。在慣性系統與伺服系統中,普遍應用了高精度力矩電機作為核心執行器件,特別是在極端空間約束條件下,采用有限傾角電機進行高精度位置伺服控制是目前研究的熱點方向[2]。隨著飛行器綜合性能的不斷提升,電機性能中的轉矩密度、動態特性成為決定系統綜合性能的關鍵性能指標,其核心在于優化電機內部磁路走勢,實現高磁密、低慣量轉子系統兼容性設計。

磁鐵在電機中扮演了重要的角色,是產生空載磁場的重要元件。如何進行多個充磁方向不同磁鐵的有序排列使輸出性能最好,是磁極陣列設計的主要目標。軸向充磁陣列是最簡單的磁極陣列之一,是通過多個軸向充磁磁鐵正反交替沿軸向排列而成。每兩塊磁鐵之間夾有導磁體,起到固定磁鐵和增強磁密的作用。英國謝菲爾德大學的Wang 等[3-4]對該構型的磁極陣列進行了深入分析,但仍存在固有的齒槽力大、漏磁嚴重等問題。徑向充磁磁極陣列同樣是一種廣泛使用的磁極陣列,由于該陣列直接提供徑向磁場,具有磁路簡單、邊緣漏磁少等優點。但由于理想的徑向充磁很難實現,且充磁價格較貴,通常以瓦片狀平行充磁磁鐵來代替。Kim 等[5]和Yan 等[6]基于該徑向陣列開發了系列化伺服電機,但由于該陣列對背鐵的極度依賴,轉子難以實現輕量化設計。為了進一步提高氣隙磁密、減小背鐵厚度,哈爾巴赫磁極陣列越來越多地應用在電機中。其結構是徑向、軸向磁鐵沿軸向交替排列,產生單側增強、另一側減弱的磁場效果,有利于提高線圈側徑向磁場、減弱背鐵側磁場,從而減輕背鐵質量,代表性的如英國謝菲爾德大學研制的哈爾巴赫電機、Liang 開發的多級哈爾巴赫電機、Yan 設計的雙層哈爾巴赫音圈電機等[7-9]。但由于理想的哈爾巴赫充磁方式難以實現,通常采用近似哈爾巴赫陣列進行替代,導致背鐵側磁場沒有徹底削弱,仍需要適當厚度的背鐵進行磁路引導,轉子輕量化設計仍有進一步優化的空間。

有限元法的基本思想是：假定接觸狀態，求出接觸力，檢驗接觸條件，若與假定的接觸狀態不符，則重新假定接觸狀態，直至迭代計算得到的接觸狀態與假定狀態一致為止。具體做法是：

針對轉子系統高轉矩密度、低慣量性能需求,本文提出了一種新型復合磁極陣列轉子構型,通過采用哈爾巴赫陣列與軸向陣列復合拓撲結構提升輸出側聚磁效果、增強非輸出側屏蔽效應,以期平衡轉矩密度提升與輕量化轉子的設計矛盾。此外,針對該新構型開展復雜邊界條件下高精度解析建模研究,以期形成復合磁極通用化建模方法,為開展精細化電磁優化與迭代設計提供高效的理論工具。

1 復合磁極陣列構型設計

永磁電機轉子一般采用永磁體和導磁體相組合的形式進行設計,通過二者構型排布與磁場作用產生空載磁場,進而與通電繞組產生電磁作用力,驅動電機產生旋轉運動,其構型排布直接決定了永磁電機的轉矩輸出能力與動態特性。傳統的排布構型主要包括徑向交替、軸向交替、哈爾巴赫三類,如圖1所示。圖1（a）、圖1（b）所示為徑向、軸向交替陣列,其結構特點為永磁體充磁方向沿徑向或軸向,且相鄰磁鐵充磁方向相反。這兩類磁極陣列往往需要較厚的導磁體來引導磁路減少漏磁,因此整個轉子質量較大。圖1（c）所示為哈爾巴赫陣列,其采用徑向、軸向磁鐵按一定順序交替排列的方式組合而成,具有單側磁場增強、另一側磁場削弱的特殊效應,因此在磁場削弱側導磁體厚度可以減小,從而降低了轉子質量。但由于哈爾巴赫陣列的自屏蔽效應無法完全實現削弱側磁場的抵消,因此導磁體是不可以完全去掉的,否則仍會有磁漏產生,影響電機的輸出轉矩密度。因此,轉子磁路構型面臨著轉矩密度與轉子質量的設計矛盾,即如何在保證輸出力的同時降低動子質量是亟需解決的重點問題。

圖1 傳統轉子磁極陣列排布方式Fig.1 Layouts of conventional rotor magnet array

針對這一特殊需求,本文提出了一種新型復合哈爾巴赫陣列的磁路構型,在保證輸出轉矩的同時通過完全去除導磁體層來降低轉子質量,從而提高電機的動態特性。該磁極構型如圖2所示,分為內外兩層: 外層為傳統的哈爾巴赫陣列,內層為軸向交替陣列,且在相鄰的軸向永磁體之間布置有導磁塊用來引導磁路。在軸向位置的對應關系上,外層哈爾巴赫陣列的徑向磁鐵與內層軸向陣列的導磁體相對,外層哈爾巴赫陣列的軸向磁鐵與內層軸向陣列的軸向磁鐵相對。從該結構圖中可以看出,磁路中不存在任何的背鐵層,完全由永磁體和導磁塊構成,實現了轉子質量的輕量化設計。

圖2 新型復合磁極陣列Fig.2 Diagram of novel compound magnet array

從該陣列的磁感線走勢可以分析得到,由于陣列內部形成了完整的閉合磁路,對外漏磁較少、自屏蔽效果更強,因此具備轉矩密度與轉子輕量化兼容性設計的條件。以外層哈爾巴赫陣列一個徑向朝外充磁磁鐵作為起始點,磁感線由磁鐵出發經過空氣進入相鄰的徑向朝內充磁磁鐵,隨后進入導磁體并分成兩路,分別經過導磁體兩側的軸向磁鐵,最終回到外層徑向磁鐵的內側,形成完整閉合回路,如圖3所示。

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業績波動和應計盈余管理需要進行計算的指標選取2011～2016年的數據；真實盈余管理計算選取2010～2016年數據，其余指標均選擇2012～2016年我國A股上市公司數據。本文對數據進行了以下處理：（1）剔除金融行業樣本；（2）在計算業績波動指標時，剔除了連續3年ROA有缺失的樣本；（3）對所有連續變量進行上下1%Winsorize處理，并將部分變量取自然對數，以滿足正態分布回歸條件。本文數據均來源于CSMAR數據庫與WIND數據庫。

圖3 復合磁極陣列磁感線走勢Fig.3 Trend of flux lines for compound magnet array

結合定轉子電磁作用關系,可以得到應用復合磁極陣列的有限傾角電機工作原理,如圖4所示。由于定子繞組單相供電,相鄰槽內繞組通電方向相反,在定子齒內產生電樞磁通。該磁通與轉子永磁體產生的磁通相互作用,根據磁阻最小原理驅動轉子沿磁阻變小的方向運動,從而產生了輸出轉矩。圖4（a）所示為轉子在中位時正向通電產生的輸出轉矩情況,當通電方向變化后,電樞磁通方向相應改變,依照圖4（b） 所示新的磁路產生相反方向的轉矩。

圖4 定轉子電磁作用工作原理Fig.4 Diagram of electromagnetic torque generation and working principle

2 復合磁極陣列解析建模

磁場是分析電機電磁特性的基本要素,是推導電機輸出特性以及結構優化的理論基礎。磁場解析模型是描述電機內部磁場分布的理論模型,建立精確的解析模型對于分析內部磁場分布規律、參數影響分析以及基于模型的電磁結構優化具有重要意義。本節針對新型復合磁極陣列構型進行磁場解析模型建模工作,利用諧波函數法對轉子磁場分布開展詳細推導,重點解決復合多層次邊界問題,得到完整電機內部磁場的解析規律描述。

2.1 條件假設與求解區域劃分

首先,如圖5所示,為方便求解需對模型做出如下假設:

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圖5 理想化求解模型Fig.5 Idealization assumptions of solving model

1）忽略定子繞組電樞磁場的影響,只關注轉子永磁體磁場的變化趨勢;

2）電機磁路關于z軸對稱;

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3）不考慮定轉子中導磁材料的飽和效應;

4）磁路單元看做無窮個單元軸向串聯,相鄰單元間隔足夠大,有助于進行傅里葉展開。

又由于任意向量旋度的散度恒為零,可將磁通密度表示為磁矢量勢的旋度,這樣式（2）中第一條便自然滿足,可進一步表示為

式（1） 中,為磁通密度,為磁場強度,為永磁體剩磁密度,為永磁體磁化強度。求解區域劃分如圖6所示。

圖6 復合磁極陣列求解區域劃分Fig.6 Solving region divisions of compound magnet array

2.2 控制方程建立

首先對空載磁場模型進行驗證,取三個極為例,在有限元軟件Maxwell Ansoft 中建立二維模型,如圖10所示。圖10（a） 為建模及材料分配情況,圖10（b）為磁力線走勢,從中可以看出磁力線基本在磁極陣列內部形成閉合回路,驗證了磁極陣列設計思路的正確性。

③數據同步：配置了數據庫服務器和應用服務器，實現車載數據與省指揮中心數據同步，提供裝備大型應用系統的軟硬件環境，極大地提高了應急指揮所指揮決策能力。

這樣,根據磁導率不同,將電機內部磁場求解區域劃分為兩類: 一類為永磁體區域,另一類為繞組及空氣區域。在不同的求解區域中,磁通密度表達式可以表示為

又由于任意函數梯度的旋度恒為零,可以為增加一個自由度,即

根據前述假設,由于磁場關于z軸對稱,所以Br、Bz都應與θ無關,且Bθ=0。因此,式（13）中和項系數均為零,整個式子只保留了項,即式（13）簡化為

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因此,引入磁矢量勢后,只要求得的解析表達,磁通密度的解析式也唯一確定。將式（1）代入式（6）中的第二條,消去磁通密度,可以得到只關于磁矢量勢的表達,根據求解區域不同表達為

進一步結合麥克斯韋方程的微分表達,得到了求解區域的磁矢量勢最終解析表達式,稱為控制方程。其中,繞組及空氣區域的公式叫做拉普拉斯方程,永磁體區域的公式叫做泊松方程。這樣,通過求解兩個區域的控制方程就可以得到各區域內磁矢量勢的解析表達,從而為推導磁通密度的解析表達提供了基礎。

2.3 控制方程求解

根據求解模型關于z軸對稱的假設,將磁矢量勢在圓柱坐標系內展開,得到

此時,將式（3）～式（5）代入式（2）中,得到了關于磁通密度的完整描述為

代入式（8）,得到左半部分表達為

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將式（10）中各項分量拉普拉斯算子展開化簡,得到

同時,令磁通密度=[BrBθBz],則根據旋度計算公式得到

此時代入到式（3）中,可以得到對應磁通密度的一組磁矢量勢。為了進一步確定矢量勢,需根據庫倫規范給定矢量勢的散度,滿足

對比各項內容,并令Δ×=[NrNθNz],可以得到

由此,得到了控制方程的新表達形式

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至此,控制方程可寫為只關于磁矢量勢分量的顯式表達方程組,結合永磁體陣列的磁化強度分量即可求出磁矢量勢的解析解,進而可得到磁通密度的解析表達為

在實際求解過程中,由于永磁體層為復合結構包含雙層磁極且內層磁極還由導磁體間隔開來,不僅給磁化強度表達帶來了困難,其復雜的不連續邊界條件也對求解提出了挑戰。對此,本文提出了一種引入虛擬層求解新思路,通過在內外兩層磁鐵之間人為加入一個虛擬的空氣層,將兩層磁鐵分割開來分別求解,簡化了磁化強度表達與邊界條件,極大地方便了求解過程。求解結束后,再令該虛擬層厚度趨近于零即可得到復合磁極陣列的精確磁場分布。

針對上節所給出的磁極陣列解析模型,本節將應用有限元工具進行仿真模型的驗證,并對解析模型求解精度影響因素進行分析。

圖7 求解區域的重新分配Fig.7 Reassignment of solving regions

2.4 復合陣列內外層磁化強度展開

取新型復合哈爾巴赫陣列的一個極對單元為例,軸向方向為z軸,中間軸向磁鐵對稱軸為r軸,并假設該單元沿軸向無限延伸擁有無窮多個周期,進行永磁體磁化強度的求解。根據圖8,永磁體區域①為傳統的哈爾巴赫陣列,其徑向和軸向磁化強度分布如圖8（b）所示;根據圖9,永磁體區域②為傳統的軸向交替陣列,由于沒有徑向磁鐵故徑向磁化強度為零,軸向磁化強度如圖9（b）所示。

圖8 外層磁鐵磁化強度分布Fig.8 Magnetization distribution of outer magnet

圖9 內層磁鐵磁化強度分布Fig.9 Magnetization distribution of inner magnet

分別對圖8、圖9中磁化強度分量進行傅里葉級數展開,代入如下的控制方程

考點“古希臘和古羅馬”由三大知識點構成：一是古希臘的民主制度，二是古希臘的人文精神，三是古羅馬的法律。在備課中，教師應當充分挖掘課外信息，可以通過學術期刊、網絡、書籍等多種方式搜集資料，補充相關知識。

式（20）中,an、bn為待求系數,I1、K1分別為第一類和第二類修正貝塞爾函數,L1為修正斯特魯夫函數。

2.5 邊界條件應用

根據圖7（b）中的虛擬層求解區域劃分,得到各區域內邊界條件表達為

代入控制方程,即可求解得到轉子永磁體產生的磁場在空間內部分布情況。

3 有限元仿真驗證

由此方法,新磁極陣列的實際求解區域如圖7所示,共包括五個求解區域,即: 空氣①、永磁體①、空氣②、永磁體②和空氣③。其中,永磁體②區域不連續,被導磁體分割開來,需進行邊界條件離散處理,可寫出五個區域的控制方程如下

3.1 有限元模型建立

求解各個區域的磁場分布實際上就是求解磁通密度在各個空間位置的解析解。為了方便求解,這里引入磁矢量勢來輔助求解。由于磁場是有源有勢場,所以滿足

圖10 有限元模型建立Fig.10 Establishment of FEM

3.2 傅里葉級數對解析模型精度的影響

如上節磁場解析模型推導所示,磁場分量的解析表達為多個傅里葉級數的相加,隨著級數的增加求解精度隨之提升,但所需計算時間以及因求解矩陣病態所帶來的發散問題也愈發明顯,因此需要探討如何在保證工程求解精度基礎上選取合適求解級數。

認知隱喻理論主要研究的是一般的、常規的概念模式，對于一些新創隱喻、新造詞語等內涵更豐富的、非常規性隱喻則無法提供充分的理論支撐。美國語言學家Fauconnier與Turner提出了“多空間”模型，并在此基礎上創造出概念整合理論，探討了多空間模型和意義構建的動態性，為分析復雜而新鮮的隱喻表達開創了一條更加深刻的道路。

解析模型中共有n和j兩個級數需要確定,當二者由小至大變化時,徑向和軸向磁通密度分布情況如圖11所示。

圖11 求解級數對精度的影響Fig.11 Solving series effects on definition

在級數增加到6 的過程中,磁場分布結果逐漸反映出磁極結構特征,相應求解時間也增大。當級數大于7 之后,求解矩陣由于病態嚴重極易出現發散的情況,已不適用于解析求解。

因此,在解析模型實際使用過程中,應結合需求建模精度合理選取求解級數,在保證模型求解時間、求解精度滿足需求的條件下,優先選擇較低級數的求解方案。

3.3 解析模型與有限元模型精度對比

為了驗證所提建模方法的有效性與求解精度,將解析計算結果與有限元仿真結果進行對比,取氣隙中磁密為求解目標,分別在高精度模型與有限元軟件中進行求解。

磁鐵中段位置在有限元模型中的示意如圖12（a） 所示,與解析模型對比如圖12（b） 所示。從中可以看出,解析模型與有限元模型的氣隙磁通密度結果吻合度很高,誤差小于5%,驗證了解析模型的正確性。

圖12 中段模型精度對比Fig.12 Comparison of mid-segment definition

對于磁鐵邊緣處,由于邊緣效應的存在,磁通密度形式與中間段存在差別。通過上節所述調整單元間隔的方法得到邊緣處解析模型,并與有限元結果進行對比驗證,如圖13所示。從中可以看出,解析解與有限元解基本吻合。

圖13 邊緣模型精度對比Fig.13 Comparison of edge-segment definition

4 試驗驗證

為驗證所提復合磁極陣列高精度建模方法的準確性和有效性,采用試驗方式進行驗證。加工制造由復合磁極陣列單元組成的永磁體組合體,利用磁場測量設備對永磁體表面的磁密分布進行測量,并將實測結果與相應位置的建模計算結果進行對比,驗證方法的有效性。

在試驗中,采用磁場高斯計與高斯探頭對典型磁極陣列外側磁場變化規律進行記錄,以1mm 為記錄步長,記錄信息分為徑向磁密與軸向磁密兩部分。

優化目標是將性能成本函數Lp最小化,Lp與液壓系統的能耗有關,而機械臂末端執行器主要是跟蹤一個與時間有關的平面路徑r(t),可表示為

同時,利用所提解析模型對相應位置徑向、軸向磁密進行求解,并與實測結果對比,如圖14所示。從中可以看出,試驗結果與仿真結果趨勢一致,僅在磁密跳變處吻合特性略有下降,精度滿足95%以上要求,可以滿足工程實際應用需求。

香港的肉和菜基本上都是依靠內地來供應，在這方面，國家質檢總局、廣東省都做了很多工作，現在供港食品的安全率達到了99.999%，這在全世界都是很難得的。如果這方面能應用到國家的內銷方面，也可以對內地的食品安全問題有所幫助。

圖14 實測結果與仿真對比Fig.14 Comparison between test and simulation

5 結論

針對有限傾角電機輕質化轉子、高轉矩密度輸出特性需求,本文提出了新型復合磁極陣列轉子構型,將傳統單層磁極拓展為雙層結構,利用其更好的自屏蔽與聚磁效果實現轉矩密度與動態特性的兼容性設計。在此基礎上,提出了針對雙層陣列的高精度解析建模方法,巧妙利用虛擬層解決雙層磁極復雜邊界條件問題。通過仿真與試驗驗證,提出的解析建模方法精度優于95%,滿足工程實用需求,為基于該特征的電機系統優化設計提供了理論工具。