高中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何畫板的應(yīng)用

鐘豐收

“幾何畫板”屬于新課程改革背景下的新型教學(xué)手段之一，其具備較為強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)演示效果，通過幾何畫板可以巧妙地將教師的“引導(dǎo)教學(xué)”與學(xué)生的“自主學(xué)習(xí)”有機(jī)結(jié)合，促使學(xué)生可以在較為活躍的課堂教學(xué)中進(jìn)行學(xué)習(xí)，充分突出學(xué)生是學(xué)習(xí)過程中的主人公身份。幾何畫板還可以幫助學(xué)生更為直觀且形象地理解和學(xué)習(xí)抽象知識(shí)形成的過程，同時(shí)還可以通過動(dòng)畫演示等形式幫助學(xué)生深入理解所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。另外，幾何畫板可以幫助學(xué)生提升自身發(fā)現(xiàn)問題——分析問題——解決問題的能力，提升學(xué)生的空間想象力，進(jìn)而促使學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合的方式有效解決數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生強(qiáng)化自身的數(shù)學(xué)思維。本文結(jié)合幾何畫板的特點(diǎn)，探究分析如何將幾何畫板滲透至實(shí)際教學(xué)過程中的教學(xué)策略。

高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科具備一定的抽象性質(zhì)和邏輯性質(zhì)，從自身數(shù)學(xué)思維邏輯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和發(fā)展來分析，形象思維是思維系統(tǒng)最先出現(xiàn)的思維模式，并對(duì)人類研究數(shù)學(xué)的過程中起到?jīng)Q定性作用。若學(xué)生不具備數(shù)學(xué)思維體系中的想象能力，那么是無(wú)法高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。曾有學(xué)者表示，研究數(shù)學(xué)的學(xué)者盡所有可能地將所研究的問題從幾何方面加以視覺化進(jìn)行分析。因此，新課程改革背景下信息技術(shù)作為教學(xué)輔助工具，已經(jīng)能夠有效改善學(xué)生的認(rèn)知環(huán)境。何為“幾何畫板”？即一塊可動(dòng)態(tài)化的黑板。幾何畫板可以幫助學(xué)生直觀地從圖形之間的變化過程中掌握幾何規(guī)律，這是傳統(tǒng)教學(xué)手段所不能達(dá)到的教學(xué)效果。幾何畫板結(jié)合信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，利用其所具備的動(dòng)態(tài)性質(zhì)和具象化性質(zhì)，幫助學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)可以進(jìn)行實(shí)操的幾何學(xué)習(xí)環(huán)境。學(xué)生可以在幾何畫板上根據(jù)自己的想法隨意擺弄圖形，并進(jìn)行仔細(xì)觀察、猜測(cè)以及驗(yàn)證。在觀察和實(shí)際操作的過程中可以深化學(xué)生對(duì)于幾何圖形的認(rèn)知，進(jìn)而對(duì)幾何圖形的學(xué)習(xí)形成豐富的體系背景，為后期的證明和理解打下基礎(chǔ)。由此可見，幾何畫板通過幫助學(xué)生創(chuàng)設(shè)可以實(shí)操的學(xué)習(xí)環(huán)境，充分體現(xiàn)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)過程中的主體地位，突出現(xiàn)代化教學(xué)的思想。

另外，幾何畫板還是具備個(gè)性化的學(xué)科工具平臺(tái)，不僅幫助教師在實(shí)際教學(xué)中利用信息技術(shù)解決教學(xué)難題，同時(shí)還可以幫助學(xué)生更好地把握幾何知識(shí)的根本性質(zhì)，鍛煉學(xué)生的空間思維能力、觀察事物的能力以及解決問題的能力，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入幾何畫板的可行性

首先，幾何畫板對(duì)于硬件設(shè)置的要求并不高。因此，即便在老式計(jì)算機(jī)上也可以進(jìn)行運(yùn)行和操作，同時(shí)軟件容量較小，不需要其他輔助工具支撐便可以獨(dú)立運(yùn)行操作，對(duì)于計(jì)算機(jī)配置不需太高。

其次，幾何畫板的操作性并不復(fù)雜，操作相對(duì)簡(jiǎn)單，容易上手同時(shí)功能性強(qiáng)大。教師學(xué)習(xí)幾何畫板只需要具備操作鼠標(biāo)和鍵盤的能力即可。這樣教師不需要花費(fèi)更多備課時(shí)間去深究該軟件的運(yùn)行。幾何畫板所制作出來的教學(xué)課件極為形象與直觀，有利于教師直接應(yīng)用在實(shí)際教學(xué)過程中。最后，在幾何畫板上對(duì)課件進(jìn)行修改也極為容易，只需要在課堂上直接進(jìn)行修改和調(diào)整即可。

二、幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用策略

1. 巧妙利用幾何畫板講解抽象知識(shí)

高中階段的數(shù)學(xué)具備一定程度的抽象性質(zhì)，相較于初中數(shù)學(xué)知識(shí)而言更加晦澀難懂。但是幾何畫板可以將教材中較為晦澀難懂的抽象概念轉(zhuǎn)化成直觀圖形，甚至是動(dòng)畫以及視頻的形式，降低學(xué)生對(duì)于抽象類知識(shí)的抵觸心理，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于課堂學(xué)習(xí)的自主性和積極性。代數(shù)知識(shí)、平面幾何知識(shí)以及空間幾何知識(shí)都是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的重難點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，由于學(xué)生的理解能力具有差異性，部分學(xué)生對(duì)于這些知識(shí)并不能充分理解，學(xué)習(xí)過程中缺乏直觀感受。幾何畫板便可以有效解決以上問題，促使學(xué)生能夠更好地理解抽象知識(shí)，根據(jù)幾何畫板繪制出的空間圖形可以直觀幫助學(xué)生理解問題中所傳遞的信息。

例如，人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一中“圓”的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)屬于整個(gè)高中階段較為重要的知識(shí)點(diǎn)之一，需要學(xué)生全面理解和學(xué)習(xí)才能為后期的幾何學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但部分學(xué)生對(duì)于圓以及橢圓的概念知識(shí)點(diǎn)掌握得并不扎實(shí)，因此后期學(xué)習(xí)起來感覺較為困難。這時(shí)，教師可以利用幾何面板解決學(xué)生感覺學(xué)習(xí)困難的地方。例如，在講解坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，假設(shè)三角形外接圓的圓心為點(diǎn)O，設(shè)一個(gè)點(diǎn)H存在圓上，證明圓O是否真實(shí)存在？這種具備動(dòng)態(tài)化的幾何問題難以通過觀察看出答案，需要通過觀察和計(jì)算得出問題答案。如果直接進(jìn)行講解，過程較為繁瑣，若學(xué)生在教師講解的過程中沒有集中注意力，或者理解能力稍差的學(xué)生都無(wú)法找到正確答案。這時(shí)，教師可以巧妙地利用幾何畫板演示解題過程。利用幾何畫板繪制兩條相互垂直的直線代表橫縱坐標(biāo)軸，再在畫板上繪制一個(gè)圓形，相互垂直的直線MN是固定的直線，那么所求的點(diǎn)則是圓與之相交的交點(diǎn)。作為外接圓，在幾何畫板中將圓從小到大進(jìn)行變化，當(dāng)外接圓與直線MN存在3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，便可以證明圓真實(shí)存在。利用幾何畫板的教學(xué)手段，可以有效觀察圓在變化過程中的動(dòng)點(diǎn)H的變化，幫助學(xué)生更加直觀地觀察解題過程，進(jìn)而深化學(xué)生的理解。

2. 巧妙借助幾何畫板開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，學(xué)生在課堂教學(xué)過程中更多學(xué)到的是理論知識(shí)和概念公式，鮮少能夠與實(shí)際生活相互聯(lián)系。幾何畫板可以將高中數(shù)學(xué)知識(shí)與生活場(chǎng)景相互結(jié)合，真實(shí)地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，再加上幾何面板操作并不復(fù)雜，教師與學(xué)生都可以在極短的時(shí)間內(nèi)了解幾何畫板的操作方法。學(xué)生可以將幾何畫板作為課堂學(xué)習(xí)中的輔助工具，可以通過親身實(shí)踐探索教學(xué)知識(shí)的真諦。同時(shí)，學(xué)生還可以通過幾何畫板實(shí)現(xiàn)與教師之間的高效互動(dòng)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。新課程改革教育背景下，要求教師自我重視課堂實(shí)踐的滲透，將數(shù)學(xué)知識(shí)從書本中抽離出來，融入至實(shí)際生活中，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

例如，在執(zhí)教高中數(shù)學(xué)課程《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》的相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)對(duì)于學(xué)生而言還是具備一定的學(xué)習(xí)難度，這時(shí)教師便可以結(jié)合幾何畫板幫助學(xué)生有效理解。教師可以先繪制出正弦函數(shù)y=sinx函數(shù)圖象的推導(dǎo)過程：先在直角坐標(biāo)系上繪制一個(gè)單位圓，再在單位圓中繪制正弦線，最后用光滑的曲線將所有正弦線的終點(diǎn)相連便是y=sinx的函數(shù)圖象了。最后再結(jié)合正弦函數(shù)圖象逐漸推導(dǎo)出余弦函數(shù)y=cosx的函數(shù)圖象。最后，教師還可以利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生找出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)中的重要關(guān)鍵點(diǎn)所在，并引導(dǎo)學(xué)生熟知：只要找到正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)，函數(shù)圖象便可以基本確定形狀。由此可見，幾何畫板具備較強(qiáng)的操作性，可以幫助學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，同時(shí)還可以促使學(xué)生學(xué)習(xí)概念知識(shí)的形成過程，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師還可以結(jié)合幾何畫板融入其他教學(xué)表現(xiàn)形式，如背景音樂、圖文解釋等，吸引學(xué)生的課堂注意力。

3. 充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)”與“形”之間的依存關(guān)系充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中所存在的辯證唯物思想，所以教師需要貫徹?cái)?shù)形結(jié)合的思想開展課堂教學(xué)。幾何畫板可以幫助教師在實(shí)際教學(xué)過程中簡(jiǎn)單快捷地繪制出所需要講解的圖形，哪怕是空間幾何圖形也可以輕松繪制出來，其中所具備的測(cè)算功能還能快速計(jì)算出幾何圖象的所有數(shù)值信息，還可以實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜運(yùn)算。幾何畫板可以結(jié)合幾何圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡以及已有數(shù)據(jù)，計(jì)算出所需要的數(shù)值，充分地將圖形與數(shù)值有機(jī)結(jié)合在一起，突出幾何畫板在數(shù)形結(jié)合方向上的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，這是傳統(tǒng)教學(xué)模式所無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。

例如，教師在執(zhí)教老高中數(shù)學(xué)課程《極坐標(biāo)系》的相關(guān)教學(xué)時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)特性可以得知“玫瑰線”是具備周期性變化且形狀為圓弧的曲線，其幾何結(jié)構(gòu)的展示取決于方程中參數(shù)的取值，其中參數(shù)a可以控制玫瑰線葉子的長(zhǎng)度、參數(shù)n則可以控制葉子的個(gè)數(shù)、大小以及所呈現(xiàn)的周期長(zhǎng)短。當(dāng)n為奇數(shù)且是整數(shù)時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)玫瑰線的葉子數(shù)量規(guī)律是n;當(dāng)n為偶數(shù)且是整數(shù)時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)玫瑰線的葉子數(shù)量規(guī)律是2n。教師可以結(jié)合幾何畫板，將n為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的玫瑰線的變化與形狀展現(xiàn)給學(xué)生觀察。幾何畫板將抽象的幾何概念通過具象化的形式展現(xiàn)出來，其中所呈現(xiàn)出來的美感可以培養(yǎng)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)審美觀念以及數(shù)學(xué)抽象思維，突出數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)。

4. 幾何畫板可以展示數(shù)學(xué)概念的形成過程

幾何畫板可以幫助學(xué)生更加近距離地理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，通過具象化地展現(xiàn)出新數(shù)學(xué)學(xué)科中較為抽象與難以理解的概念知識(shí)，多方面幫助學(xué)生進(jìn)行直觀理解和學(xué)習(xí)。高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備一定的開放性和發(fā)散性思維，由于學(xué)生群體之間存在差異性，因此部分學(xué)生難以在腦海中構(gòu)建立體幾何圖形。并且，一些較難構(gòu)建的函數(shù)模型也不是可以簡(jiǎn)單通過想象便可以得出的。

基于此，幾何畫板便可以將學(xué)生潛意識(shí)中所具備的立體感知與抽象思維融入至所繪制的圖像中，幫助學(xué)生建立抽象數(shù)學(xué)體系，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和探究性。另外，還從一定程度上強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于課堂學(xué)習(xí)的探究欲望。教師需要不斷拓展幾何畫板在實(shí)際教學(xué)過程中的運(yùn)用場(chǎng)景，將提升學(xué)生抽象思維與空間幾何理解能力為教學(xué)目標(biāo)，幫助學(xué)生建立屬于自己的抽象知識(shí)體系。幾何畫板通過展示數(shù)學(xué)概念知識(shí)的形成過程，為學(xué)生提供了充足的自主探討空間和學(xué)習(xí)環(huán)境。學(xué)生在觀察抽象概念知識(shí)的形成過程時(shí)，可以通過自己的理解將抽象概念知識(shí)進(jìn)行分解，在每個(gè)被分解的模塊中逐一突破，最終融入到自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教師需要將幾何畫板融入至實(shí)際教學(xué)過程中。幾何畫板將抽象知識(shí)形象演繹的過程可以有效提升學(xué)生對(duì)于知識(shí)的立體理解以及抽象思維，為學(xué)生后期學(xué)習(xí)幾何、函數(shù)等知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。同時(shí)，具象化的呈現(xiàn)形式還可以從一定程度上深化學(xué)生對(duì)于抽象知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的抽象分析能力。傳統(tǒng)教學(xué)背景下，教師即便是教學(xué)過程中再認(rèn)真，學(xué)生理解不了也不能提升教學(xué)效率。但幾何畫板將傳統(tǒng)教學(xué)過程中的單一板書內(nèi)容轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)分析圖形或者視頻，幫助學(xué)生更加直觀地理解其中的表象知識(shí)，同時(shí)提升學(xué)生解決問題的綜合能力。由此可見，幾何畫板屬于新課程改革背景下教學(xué)工具的改革內(nèi)容，可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。