妙用幾何直觀,巧促童心說理

陳洲梅

義務教育《數學課程標準》2022版強調數學“綜合與實踐”的重要性，提出創新精神和實踐能力的培養，是落實核心素養的新要求。2011版課標發行至今十年有余，但是一線教師對“綜合與實踐”認識不足，認為講不講都可以，因為考試沒考。部分一線的教師已經意識到綜合實踐課的重要性，但由于授課的素材、內容、方法、教學后的課堂評價和書面評價都相對比較不好把握，課程也是流于形式，草草結束。

2022版《數學課程標準》指出：“幾何直觀主要是運用圖形描述和分析問題的意識與習慣。建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型;利用圖形分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路，幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。”能不能在課堂教學中充分運用幾何直觀，解決綜合實踐課堂中難把握的問題，以提高學生理解能力，促進學生知理、明理、會說理？

下面以平時對“綜合與實踐”課程的思考，在課堂上如何利用幾何直觀開展綜合實踐活動，簡要分析“妙用幾何直觀”對促進學生理清數學道理的幫助。

一、借助多媒體，以“圖”助“理”

“雙減”政策下的數學課堂要提質增效。數學課堂要適時發揮信息技術的效能，化抽象為直觀、變枯燥為生動，增強課堂的有效性。

1. 直觀對比，讓數學本質看得見

“找不同”這個游戲項目是孩子們喜歡的。利用兒童的特點，巧用對比，精準找不同，可以直擊數學問題，凸顯數學本質。例如：《確定起跑線》是六年級一節綜合實踐課，在田徑賽場上有各種賽跑比賽，100m、200m、400m……環形跑道中，道寬不同，長度也不同，如何確定起跑線呢？學生思維的難點是為什么外圈的起點要比里圈更靠前？靠前多長？要突破這個難點，找不同這樣的直觀教學手段，就發揮了輔助性作用。如圖所示，發揮信息技術的優勢，把操場平面圖直觀呈現，直道部分里圈和外圈都相同，不同在于彎道部分，而彎道部分長度差就是圓周長之差，根據這樣的思路，學生完成表格，找到規律：即400m比賽起跑線差距是“道寬×2×圓周率”。這樣巧用幾何直觀，突破難點，剖析易錯點，讓數學本質看得見。

2. 動畫演示，讓圖形幾何更直觀

針對學生喜歡動畫片的年齡特征，難以理解的數學知識如果能用動畫形式形象直觀、色彩鮮明地呈現出來，可以促進學生深入理解、內化知識。如五年級下冊《探索圖形》：把一個長6分米、寬5分米、高4分米的長方體表面涂上紅色，再將這個長方體長平均分成6份、寬平均分成5份、高平均分成4份切開，成棱長為1分米的小正方體。①共切成幾個小正方體？②在這些小正方體中兩面涂色的小正方體有多少個？③一個面涂色的小正方體有多少個？④0個面涂色的小正方體有多少個？對于第②③④個問題，同學們相對難以理解。這時制作課件動畫，直觀演示分析過程。學生通過觀察發現：兩面涂色的小正方體都在棱上，只需要把每條棱長減去首尾兩個三面涂色的小正方體，即[（6-2）+（5-2）+（4-2）]×4就是兩面涂色的小正方體個數;通過觀察想象，學生也不難發現：在六個面上去掉周圍一周就是一面涂色的小正方體;把上下左右前后各切掉一層，剩下來的圖形就全是0面涂色的。這樣用動畫演示思考過程，培養學生空間觀念，增強幾何直觀核心素養的培育。

二、培養畫數學，以“畫”明“理”

一位德高望重的中國美術學院畫家說過：“兒童有獨特觀察視角，有獨特的表達方式。”而兒童學習數學的方式中，“把數學畫出來”就是一種獨特而有效的方式。

1. 爭議時畫，表達心中所想

關注數學核心素養，“用數學語言表達現實世界”已成為基本共識。在數學課堂上，有時學生思維有爭議時，能用“畫”來直觀表達自己的想法，以畫明理。如在人教版三年級下冊“怎么圍面積最大”中設計這樣一個問題“如果有一根長24米的鐵絲，一面靠墻，圍成一個長方形或正方形，長、寬分別取整米數，怎樣圍面積最大？

生1：老師我知道，前面我們研究過了，肯定是圍成正方形的面積最大。

生2：我同意，我補充，一面靠墻只要圍3面，24÷3=8米，8×8=64平方米。

生3：我不同意，我通過列表的方法驗證，你們瞧，一條長12米，兩條寬各是6米，面積是12×6=72平方米，我圍的是長方形，面積卻比正方形更大。

學生一片安靜，陷入思考：為什么長方形面積卻更大了呢？

有什么辦法可以說清其中的數學道理呢？我適時引導：大家可以嘗試把自己心中的想法畫出來。

學生畫出兩種方法后通過計算對比，確實是長方形面積更大！為什么長方形的面積反而更大？這里到底蘊藏著什么數學奧秘呢？學生再次進入思考。

我引導，這里有一堵墻，你們能否再用24米長的繩子，在墻的另一側也圍一圍，看看能不能有所發現？

學生們畫出另一半的時候，高聲呼喊：“哦！我知道了！”眼神中透著光亮和喜悅。

生1：“原來把長12米，寬6米的長方形另一半畫上以后，就拼成一個正方形啦！”

生2：“我發現，‘正方形面積最大的這個本質是不變的。通過畫圖，我可以把這道題改成‘用48米長的繩子，圍成一個長方形或正方形，怎樣圍面積最大？很明顯正方形的面積更大！當一面靠墻時，就圍成正方形的一半，也就是長=寬×2時，面積最大。”

在學生疑惑、爭議時，學生畫數學，巧用幾何直觀，可以提升數學思維能力，直觀理解數學知識的本質。

2. 列舉時畫，描述思考過程

中年級學生的思維正處于形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。把需要傳遞給學生的知識，應用圖形、圖表等形式逐步呈現出來，使學生思維能力得到不斷提升。在《一億有多大》綜合實踐課上，如何讓學生體驗到一億有多大呢？學生先選擇自己喜歡的話題，可以把1億借助實物來表達：例如一億滴水有多重？一億粒大米有多重？一億張紙有多厚？一億秒有多長……在體驗1億滴水有多重時，先借助量杯測量出500滴水大約是100ml，再畫表格填寫1000滴水是200ml，10000滴水是2000ml也就是2升，依次推算出十萬滴、一百萬滴、一千萬滴，最后推算出1億滴水就是20000升，再換算單位，20000升就是20噸。這樣一個數據讓學生很驚訝！在此基礎上進行節水節源教育，如果每人每天使用4瓶500毫升的礦泉水即2升水，那1億滴水夠20000人使用一天呢！再引導，如果每人每天都能節約一滴水，全國14億人口，就能節約14億滴水，可以供多少人使用呢？學生在活動交流中，運用列表，直觀對比，發展數感，從不同的情境中感受1億的大小，并進行節水、節糧、節約時間的教育。

三、動手做數學，以“用”驗“理”

小學生注意力持久性不高，要上好綜合實踐課，突破重難點，動手操作就顯得非常重要。

1. 做中思，培養有序思維

在一年級實踐課《想一想 擺一擺》一課中，要求學生動手擺一擺，在數位表中用圓片表示不同的數。孩子在游戲中學習，興趣高漲，擺2個圓片時，學生很快擺出11、20、2三個數，由于第1次擺，數字只有三個，學生很快擺出，暫時不能做到不重不漏。繼續研究：5個圓片可以擺出幾個兩位數呢？難度加大，引導學生擺數游戲時要按照一定的順序，可以先把5個圓片都放在個位;也可以把1個圓片放在十位，4個圓片放在個位;再調整，把2個圓片放在十位，3個圓片放在個位;依次移動，擺出5、14、23、32、41、50這些數字，那7個、8個、9個圓片……分別能擺出哪些不同的數？學生帶著疑問和思考通過想一想、擺一擺、說一說、畫一畫，分享交流，怎么做可以有次序、不重不漏。綜合與實踐課堂成為學生渴望“學”的內在需要的場地。這樣在輕松愉快的操作學習、直觀對比中，學生積極自主、感悟數學樂趣。

2. 做中悟，提高空間意識

五年級的三角形的面積計算拓展課，引導孩子們思考：除了用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形的方法以外，還有什么轉化的方法嗎？先思考交流，再動手試試，最后再全班分享。通過動手操作、交流探討后，同學們分享了自己的想法：

可以畫出三角形的高，找出高的中點，沿著高的中點畫出底邊的平行線，沿著平行線剪開（如圖所示），這樣轉化也可以把三角形剪拼成一個平行四邊形。平行四邊形的底與三角形的底相等，平行四邊形的高相當于三角形高的一半，所以三角形的面積公式是：底×高÷2。

通過操作，學生不僅學會了三角形面積的另一種方法，更重要的是，他們的內心植入了創新的種子，通過操作感悟，提升了空間意識。

課程標準中提出十一個核心詞，我們在教學過程中要以生為本、扎實落地。綜合與實踐活動作為一種新型的學習方式，我們會不斷研究和改進，并且逐步完善，運用看、畫、做等手段，借助幾何直觀，全面培育學生的數學核心素養，真正促進學生學會學習。