孔系自參考位置度最小區域的一般化判別方法

秦玲 唐哲敏 程彬彬

摘??要：評定孔系自參考位置度時，沒有一般化的判別方法來裁定某個算法構造或找到的誤差邊界是否滿足最小區域條件。針對這一問題，研究基于邊界點的孔系自參考位置度最小區域一般化判別方法。分析了孔系的測點集與誤差邊界的相對空間關系，建立了孔系位置度最小區域模型；分析了最小區域判別邏輯的基本數理形式及其基本推論；建立邊界點的基本運動矩陣，并將最小區域的判別邏輯問題轉化為等效的基于矩陣的一般化判別方法。最后通過一個實例驗證了提出的孔系自參考位置度最小區域一般化判別方法。

關鍵詞：判別方法??位置度??孔系??自參考??誤差評定

中圖分類號：TH161?????文獻標識碼：A

A?Generalized?Discrimination?Method?for?the?Minimum?Zone?of?Self-Reference?Positional?Tolerance?of?the?Pattern?of?Holes

QIN?Ling1??TANG?Zhemin2*?CHENG?Binbin1

（1.?Guilin?Institute?of?Information?Technology，?Guilin，?Guangxi?Zhuang?Autonomous?Region，?541004?China;

2.?Guilin?University?of?Electronic?Technology，?Guilin，?Guangxi?Zhuang?Autonomous?Region，?541004?China）

Abstract：?When?evaluating?the?self-reference?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes，?there?is?no?generalized?discrimination?method?to?determine?whether?an?algorithm?construction?or?found?error?boundary?meets?the?condition?of?the?minimum?zone?or?not.?In?view?of?this?problem，?a?generalized?discrimination?method?for?the?minimum?zone?of?the?self-reference?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes?based?on?boundary?points?is?studied.?This?paper?analyzes?the?relative?spatial?relationship?between?the?measure?point?set?and?the?error?boundary?of?the?pattern?of?holes，?establishes?the?model?of?the?minimum?zone?of?the?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes，?analyzes?the?basic?mathematical?form?and?its?basic?inference?of?the?discriminant?logic?of?the?minimum?zone，?establishes?the?basic?motion?matrix?of?boundary?points，?transforms?the?discriminant?logic?problem?of?the?minimum?zone?into?an?equivalent?matrix-based?generalized?discrimination?method，?and?finally?uses?an?example?to?verify?the?proposed?generalized?discrimination?method?for?the?minimum?zone?of?the?self-reference?positional?tolerance?of?the?pattern?of?holes.

Key?Words：Discrimination?method;?Positional?tolerance;??Pattern?of?holes;??Self-reference;??Error?evaluation

孔系自參考位置度誤差是機械零部件的一項重要幾何誤差，通常用于保障以孔系安裝定位的零件的可裝配性及裝配精度，在相關標準中的嚴格評定方法是最小區域法[1-2]。幾何誤差最小區域的幾何判別條件比較復雜，國標和ISO給出了給定方向上的兩條平行直線、兩個平行平面及圓柱的共計十余條幾何判別準則，但并未列舉孔系位置度誤差的最小區域判別準則。

為了減少形狀誤差的判別條件款項，丁喜波等和熊有倫從不同角度提出了基于幾何學的統一判別方法[3-5]，統一了各類形狀誤差的判別，但具體操作和計算仍較復雜，因此，目前幾何誤差的最小區域判別方法大多與具體評定算法相關。Ameta?G、肖歡等利用T-MAP等方法構造的變動域凸包，可以借助計算幾何方法枚舉所有“頂點”的誤差區域并找出其中最小值，即判別方法為數值上的“區域最小”[6-7]，這類方法能準確判定最小區域，但不適合測點較多的情況。自適應虛擬量規法、旋轉投影法等基于被測要素的幾何特性來構造邊界并搜索大小更合適的包容邊界，直至滿足最小區域的幾何判別條件[8-9]。閔浩晨、李新、LUO?J、王生懷等分別利用牛頓法、二分法等傳統優化方法和差分進化算法、混合教與學算法等智能優化算法進行幾何誤差評定，這些優化算法的判別方法通常為兩次迭代間步長或函數值的變化較小[10-13]；當出現爭議時，這類方法仍需要采用幾何判別方法裁定。

綜上所述，在經常需要處理大量測點數據的當下，還缺乏一種一般化的、程式化的最小區域判別方法，以便在出現評定爭議時裁定算法是否找到了最小區域。本團隊近期研究了若干類型幾何誤差最小區域的一般化判別方法，通過分析邊界點與誤差區域之間的相對空間關系，建立邊界點的基本分析矩陣，嘗試解決了圓柱度、空間直線度誤差的一般化判別方法[14-15]。

孔系位置度誤差是機械零部件中典型、重要且比較復雜幾何誤差，為解決其最小區域判別問題，本文研究其基于邊界點矩陣的一般化的、程式化的判別方法。分析了圓柱測點集與最小區域邊界之間的空間關系以及最小區域成立條件的數理邏輯形式，并利用邊界點集矩陣的性質提出一種最小區域的一般化判別方法。最后，通過一個評定實例驗證了提出的孔系位置度一般化判別方法。

1?孔系位置度包容區域模型

1.1?孔系測點集與包容區域的相對方位

孔系位置度誤差包容區域是保持理想方向、位置的若干直徑相同的圓（柱），且每個圓（柱）都包容著相應的孔心；孔系位置度誤差值為構造的最小圓（柱）的大小。如圖1所示，當孔系中各孔的位置不由其它幾何要素定義時，各孔位置的參考關系完全由自身決定，這時，孔系位置度是自參考的位置度?？紫底詤⒖嘉恢枚韧ǔＳ糜诒Ｕ弦钥紫蛋惭b定位的零部件的可裝配性及裝配精度。

如圖2所示，構造孔系自參考位置度包容區域時，可以先建立XOY平面坐標系，在坐標系上建立評定孔系位置度的孔系框架。對于孔系自參考位置度而言，孔系框架的幾何形狀是固定的，但方向、位置沒有外部參考物，因此，孔系框架是可以浮動的，具有在XOY平面內的兩個平移自由度dX、dY和繞原點的轉動dα。理想孔心可以描述為被測孔心Pi的集合{Pi|Pi=（Xi，Yi），i=1，2，…}。

如圖3所示，作為零部件的組成部分，各被測孔心可以視為剛體上的若干固定點，它們之間的相對位置是固定的；因為自參考位置度公差規范沒有直接定義測點與參考系之間的關系，所以被測孔心集剛體{pi|pi=（xi，yi），i=1，2，…}也可以相對于XOY平面、相對于孔系框架浮動，被測孔心集剛體{pi}自由度方向為沿x、y軸的平動dx、dy和繞原點的轉動dβ。

如圖4所示，孔系框架、被測孔心集剛體都是可以浮動的，當它們處于某個相對空間關系時，可以根據各被測孔心到孔系框架上相應理想點的距離的最大值，作出相應的孔心邊界。一定空間相對關系下，測點pi到孔系框架上相應理想點Pi的距離為ri=|Pi-pi|，孔心邊界的半徑D=2max?ri。

孔系自參考位置度的值應當為孔系框架和被測孔心集剛體浮動過程中孔心邊界直徑的最小值Dmin。顯然，取決于孔系框架和被測孔心集剛體之間的相對空間位置，兩者只需要保持一個運動、一個靜止即可。為便于分析計算，本文令孔系框架保持靜止，令被測孔心集剛體運動。

當按自由度方向調整被測孔心集剛體時，被測孔心pi的方位變化趨勢dpi如公式（1）和圖3所示。

其中：Rdβ為測點繞原點O逆時針旋轉的坐標變換矩陣，E2×2為單位矩陣；自由度調整量極小，因此sin?dβ≈dβ，cos?dβ≈1，dβ·dβ≈0。

1.2?孔心邊界的變化趨勢

孔系框架和被測孔心集剛體有相對方位變化趨勢時，孔心邊界的大小變化趨勢僅受與孔心邊界接觸的被測孔心影響。如圖5所示，被測孔心pi到理想孔心Pi距離的變化趨勢dri，是dpi在孔心邊界法向Ni=[（Xi-xi）/ri，（Yi-yi）/ri]T上的投影，即dri=-dpi·Ni。將dpi表達式公式（1）代入投影公式，可以得到dri的代數表達式，如公式（2）所示：

為便于分析，可以將公式（2）中pi自由度運動趨勢合記為運動趨勢向量Ψ=[dx，dy，dβ]T，Ψ的系數合記為運動系數向量Ai，如公式（3）所示。

將Ai、Ψ代入公式（2），可以得到dri的線性向量表達式，如公式（4）所示。

記G={g}為與孔心邊界接觸的被測孔心序號集，則孔心邊界變化趨勢dR=min?drg。代入公式（4），可以得到dR的向量表達式，如公式（5）所示。

2?孔系自參考位置度最小區域的表達

2.1?2 孔系自參考位置度最小區域的邏輯形式

孔系自參考位置度的最小區域可以一般性地描述為：被測孔心剛體與孔系框架間的相對方位已調整至最佳，相對方位發生任意改變時，在孔心邊界上至少存在一個被測孔心使孔心邊界不會更小。據此可以建立最小區域判別的基本邏輯形式，如公式（6）所示，其中，h∈G。

公式（6）是對于運動趨勢向量Ψ的“求證”形式，不便于直接分析其是否成立。其互斥的否命題形式如公式（7）所示，是對于運動趨勢向量Ψ的“求解”形式，有利于進行下一步數學分析。因此，本文建立基于公式（7）的最小區域判別：如果公式（7）成立，則孔心邊界不是最小區域，否則，孔心邊界是最小區域。

記A=[…，AgT，…]T為孔心邊界上被測孔心集的運動系數矩陣，b=[…，drg，…]T為運動常數項，則公式（7）等價于公式（8）。

2.2?基于邏輯表達式的一般化判別方法

設孔心邊界上被測孔心數目為m，rank（A）=r，則Ag共有m個，A共有m行。當rank（[A，b]）=rank（A）=r時，AΨ=b總是有解，即，公式（8）總是成立，孔心邊界不是最小區域。下面討論rank（[A，b]）>r時公式（8）的成立條件。

記B=[…，b，…]T，則公式（7）中的不等式組{AgΨ<b}在任意給定超平面AΨ=B上的基本解集Fj={Ψ}j不超過Cmr個，相關定義如下：

定義1：在AΨ=B中任選r個線性無關的運動系數向量Ag、對應的drg及常數項b，分別集合成矩陣Ar、常數項br及常數項Br；線性方程組ArΨ=Br的解集Fj={Ψ}j就是不等式組{Au，vΨ<b}在超平面AΨ=B上的一個基本解集；其余的運動系數向量Ag及對應的drg分別集合成矩陣As和常數項bs，s∪r=G。

由公式（11）可知，可以先求解方程ArΨ=Br的一個解Ψ，然后考察Ψ是否滿足P2（Ψ），即可判斷相應的基本解集Fj={Ψ}是否為有效基本解集。

如果Ψ滿足P2（Ψ），則公式（8）成立，即公式（7）成立，孔心邊界并非最小區域；如果Cmr個ArΨ=Br的特解Ψ都不滿足P2（Ψ），則Cmr個ArΨ=Br的任意解Ψ都不滿足P2（Ψ），則公式（8）恒不成立，即公式（7）不成立而公式（6）成立，孔心邊界是最小區域。

綜上所述，孔系自參考位置度的最小區域統一判別方法的基本流程如圖6所示。

3?實例驗證

本節以仿真法蘭盤的一組測點數據為對象，用優化法評定仿真孔系的自參考位置度，并用本文提出的方法辨別優化法是否準確構建了自參考位置度的最小區域，以驗證提出的判定方法。

3.1?仿真法蘭盤的自參考位置度評定

本例根據法蘭盤孔系公差規范（圖7）用Matlab對法蘭盤孔系進行仿真，每個孔16個仿真點，如圖8所示；測點原始數據可以通過編輯部或作者免費咨詢獲取。

擬合得到8個孔的仿真中心pi后，可以用優化法求解孔系自參考位置度，如公式（12）所示；優化求解方法為Matlab?R2021a自帶的fminucon函數。

在MATLAB?R2014a中，自編程序求解得到仿真法蘭盤的自參考位置度為0.045mm，構成與最小區域邊界接觸的仿真孔心的序號為1、3、5、6，如表1所示。

3.2?評定結果的判別

基于提出的判別方法，對表1中的評定結果進行判別，判斷優化法是否滿足最小區域條件。將位于孔心邊界上的仿真孔心的最終位置代入公式（3），可以求出運動系數向量Ai及運動系數矩陣A，如公式（14）所示。

指定m=4個b=-1，并將其集合為b=[b，b，b，b]T=[-1，-1，-1，-1]T。因為rank（[A，b]）=4>rank（A）=3，所以需要選取不超過Cmr=C43=4個Ar并檢驗基本解的有效性。本例借助MATLAB?2014R內置函數“nchoosek”在A的4個行向量中選取3個行向量。

以第一組為例，選取A的前3行為Ar，并將第4行向量視為As；選取Br=[b，b，b]T=[-1，-1，-1]T。用Matlab?2014R內置函數“＼”求得ArΨ=Br的解Ψ。因為A4Ψ=-0.0993>-1，P2（Ψ）不成立，所以基本解集（單元素集）F1=Ψ*并不是有效基本解集。

依次檢驗4組Ar對應的基本解集，發現并不存在有效基本解集。因此，優化法求得的位置度孔心邊界滿足最小區域條件，孔系的自參考位置度誤差為0.045mm。

4?結語

分析了孔系被測孔心集剛體與孔心框架之間的相對空間關系；基于數理邏輯、線性方程組和不等式組理論，分析了孔系自參考位置度誤差的最小區域的判別條件，并給出了相關線性矩陣及流程圖。提出的判別方法由程式化的運算、條件選擇構成，是一種程式化的、一般化的代數判別方法，可以在出現評定爭議時裁定算法是否找到了最小區域。

用優化法評定了一個仿真法蘭盤的孔系自參考位置度誤差，用提出的方法檢驗了優化法的評定結果。提出的判別方法識別了優化法求得的最小區域，具備最小區域判別的能力。

該文推導了孔系自參考位置度誤差最小區域的一般化判別方法，其中運用的自由度、法向量、數理邏輯、線性理論等也適合其他形狀的最小區域評定。未來可以參考該文方法繼續研究輪廓度等形狀、方向和位置誤差的最小區域判定。

參考文獻

• AMETA?G，SINGH?G，DAVIDSON?JK，?et?al.Application?of?T-MAPS?for?Composite&nbsp;Position?Tolerance?for?Patterns?of?Features[C].ASME?International?Design?Engineering?Technical?Conferences/Computers?and?Information?in?Engineering?Conference（IDETC/CIE?2017），2017，1：V001T02A014.