小學編程社團中遞歸“五步”教學法

潘洪波

遞歸是一種算法，無論是學習計算機語言，還是學習算法，遞歸一直伴隨其中；遞歸也是一種思維方式，許多復雜的問題用遞歸的方式來思考就很容易解決。采用遞歸算法編寫的程序直觀、易讀，理解遞歸概念，掌握遞歸本質，學會用遞歸編寫程序，對小學生以后的學習將有很大的幫助。筆者以六年級學生為教學對象，在編程社團中經過幾年的實踐，總結出“準、明、歸、倒、煉”五步遞歸教學法。

一、準

準，即導入的案例要精準，能讓學生形成正確的第一感性認識。

小學生學習遞歸總是難以入門、難以掌握，為什么會這樣？常規(guī)課堂教學一般采用故事導入，如老和尚講故事——“從前有座山，山上有座廟，廟里有一個老和尚在給小和尚講‘從前有座山，山上有座廟，廟里有一個老和尚在給小和尚講……”，或用“德羅斯特效應”導入，比較經典的就是一個人拿著一個相框，相框里他拿著相框……

用這類故事導入生動有趣，容易活躍課堂氣氛，但對理解遞歸的本質是不利的。遞歸的本質就是分而治之，通過“遞”將一個大型的、復雜的問題層層分解為若干與原問題性質相同的、規(guī)模更小的子問題來處理，當規(guī)模小到一定程度時，可以直接得出它的解，然后利用“歸”，層層回歸、逐步向上求解就可以得到原問題的解。用函數實現(xiàn)時，因為解決大問題的方法和解決小問題的方法往往是同一種方法，所以就產生了直接或間接調用自身的情況。遞歸算法是一種“自己調用自己”“有去有回”的算法。

“老和尚講故事” “德羅斯特效應”有的只是“自己調用自己”的重復，但并沒有分而治之的思想（將大問題解決轉化成小的子問題），也沒出現(xiàn)遞歸結束條件，更沒有“遞”和“歸”以及“有去有回”的過程。用這類故事導入，容易讓學生形成一種錯誤的認識：遞歸就是重復，遞歸就是循環(huán)。

第一印象、第一感知很重要，如果一開始就理解錯了，以后就更難學了。有沒有更好的例子呢？筆者選用《小學生C++趣味編程》中“交作業(yè)啦”為課堂導入的例子。

這個例子中有分而治之的思想：求第1個學生交的作業(yè)數，可以先求第2個學生要交的作業(yè)數；求第2個學生交的作業(yè)數，可以先求第3個學生要交的作業(yè)數……要解決的問題性質不變但規(guī)模越來越小。每個學生都是收作業(yè)，就是“自己調用自己”。前一個學生轉過去對后一個學生說“交作業(yè)啦”，這就是“遞”的過程。“第7個是格萊爾，她是一組中的最后一個學生”，這就是遞歸結束條件，可以直接得出它的解。把自己的作業(yè)連同收到的作業(yè)交給前一個同學，這就是“歸”的過程。“交作業(yè)啦”完整地演繹了遞歸算法的“自己調用自己” “有去有回”的過程，能讓學生形成正確的第一感性認識。

二、明

明，即讓學生明白遞歸的概念及遞歸程序的執(zhí)行過程。教學時可以先分析執(zhí)行過程再提出概念，這樣就能讓學生在動態(tài)的過程中理解靜態(tài)的概念。

遞歸程序在執(zhí)行時分兩步：第一步是“遞歸前進”；第二步是“遞歸返回”。要想讓學生明白這一過程，教師可以畫一畫遞歸執(zhí)行圖。（見圖1）

學生在繪制“遞”與“歸”的路徑中動態(tài)地理解遞歸概念。程序執(zhí)行zuoye（1）時，要調用zuoye（2）；執(zhí)行zuoye（2）時，要調用zuoye（3）……執(zhí)行zuoye（6）時，要調用zuoye（7），這就是“遞歸前進”。zuoye（7）為1，求出zuoye（6）為2； zuoye（6）為2，求出zuoye（5）為3……最后求出zuoye（1）為7，這就是“遞歸返回”。

三、歸

歸，即根據遞歸執(zhí)行圖，找到邊界條件及邊界值，歸納出遞歸表達式。在歸納遞歸表達式時，先寫出分步表達式，再歸納出綜合表達式，因為分步表達式會在題目中直接或間接地呈現(xiàn)，容易寫出，而綜合表達式需要推理才能得出，難度大一些，在此要遵循先簡單后復雜的原則。

分步表達式：

zuoye（1）=zuoye（2）+1

zuoye（2）=zuoye（3）+1

zuoye（3）=zuoye（4）+1

zuoye（4）=zuoye（5）+1

zuoye（5）=zuoye（6）+1

zuoye（6）=zuoye（7）+1

zuoye（7）= 1

綜合表達式：

這樣，根據遞歸表達式寫出程序就容易多了。

在此過程中，教師要讓學生明白，遞歸表達式是解決問題的通式，掌握歸納遞歸表達式的方法——可以先寫出分步表達式，找出其中的規(guī)律，再寫出綜合表達式。同時要讓學生明白，并不是所有的問題都能用遞歸的方法來解決，用遞歸解決問題時是有條件的：原問題可轉化為規(guī)模更小的子問題，子問題和原問題有相同的解決方法；問題可以繼續(xù)轉化，轉化后問題規(guī)模更小；在有限次轉化后，根據遞歸結束的條件（邊界條件）能得到最小子問題的值（邊界值）。

四、倒

倒，即根據程序倒推出遞歸表達式，畫出遞歸執(zhí)行圖，并說一說程序的作用，進行鞏固練習，只有鞏固后才能應用。這個過程可以借助于閱讀程序寫結果方式進行由淺入深的訓練。

可以先讓學生說一說、寫一寫上面這個程序遞歸表達式，在說和寫遞歸表達式時，要先綜合表達式后分步表達式（因為此時綜合表達式、邊界條件和邊界值在程序中能找到，而分步表達式需要推理才能得出，所以寫出綜合表達式比分步表達式容易），然后畫一畫遞歸執(zhí)行圖，交流“遞”與“歸”的具體執(zhí)行路徑，最后思考程序的功能。

同時也可以引導學生針對遞歸的問題用遞推的方式來解，先找到最小問題的解，然后逐步求稍大問題的解，最后求出原問題的解，為遞歸與遞推的轉化做鋪墊。

需要注意的是，入門階段遞歸函數參數的個數要少，建議用一個，不用兩個或多個，主程序調用遞歸函數實參數值要小，建議在5以內，這樣易于小學生分析、畫圖、理解，可以節(jié)約時間、提高學習效率。

五、煉

煉，即提煉出編寫遞歸程序的方法，以實現(xiàn)學以致用。

這個過程以上機編程訓練為主，訓練時可分兩步走：第一步，根據已知邊界條件和邊界值、遞歸表達式直接寫出程序；第二步，根據問題描述，由學生自己找出邊界條件和邊界值，推導出遞歸表達式，然后編寫程序。

所選的題目題意要淺顯，要讓學生很容易就能找到邊界條件和邊界值，歸納出遞歸表達式。學生不應花大量的時間在數學分析上、花大量的精力在數學公式的推導上，應把時間和精力放在“遞歸”本身上。題目只是載體，學生通過這個載體來學習、鞏固、提高、應用遞歸算法。

遞歸不僅是一種算法，也是一種思維方式。它可以啟迪學生發(fā)現(xiàn)事物的整體與局部間的關系，可以培養(yǎng)學生從不同的視角去理解和解決問題的能力。只要選取的案例準確，教師有序地開展教學，學生可以理解遞歸概念、掌握遞歸本質、領會遞歸算法的精髓。