2022年高考三角函數試題的統計與分析

張美鈺 胡典順

【摘 要】 以2022年高考全國甲卷、全國乙卷、新高考Ⅰ卷等9套試卷的三角函數試題為研究對象，從題型分值、知識內容、難度水平、基本技能、數學核心素養五個方面進行統計分析.發現：三角函數試題在2022年高考題型結構穩定，分值占比升高，內容注重基礎理解和知識交叉，綜合題型增多，難度水平提升，主要考查理解、推理、運算等基本技能，重點關注學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養.基于此給出教學建議：回歸教材教學，注重知識本質；合理平衡難度，構建知識體系；靈活運用知識，堅持素養導向.

【關鍵詞】 2022年高考；三角函數；試題分析

1 問題提出

三角函數是高中數學函數主題中的內容，作為描述周期運動、解決實際問題的初等函數模型，以完整的知識體系啟發學生思維，發展核心素養，是結合其它知識考查學生綜合運用能力的良好載體.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標準”）對三角函數的學習要求為：“在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性 （對稱性）、單調性和最大（小）值等性質；探索和研究三角函數之間的一些恒等關系；利用三角函數構建數學模型，解決實際問題.”［1］

2022年高考三角函數試題遵循課程標準要求，在強化基礎考查的同時突出核心素養，體現了“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”［2］的命題理念，推進了新高考教育評價體系的進一步改革.本文將針對題型分值、知識內容、難度水平、基本技能、數學核心素養5個方面進行統計分析，給出三角函數的教學建議，以期適應新高考改革的命題走勢.

2 研究框架

2.1 題型分值

三角函數在高考試卷中的分數占比體現考核價值與重要程度，本文對比了其在2021年與2022年9套試卷（全國甲卷文理科、乙卷文理科、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷及天津卷）的分值情況，并對2022年各題型分值分布進行統計.

2.2 知識內容

根據課程標準及高考考查知識點分布，將三角函數模塊所含內容進行知識點劃分及編碼，如表1所示.其中，用A1表示三角函數（正弦、余弦、正切）定義，B2表示三角函數周期性.試題中涉及的其他領域知識點不屬于三角函數研究范圍，統計時單獨列出.

2.3 難度水平

根據SOLO理論，通過研究個體解答題目時需要回憶的知識點及具備的聯系運用各知識點的能力，可以判斷學生順利解決題目思維所處的水平，進而得到試題的能力層次和難度系數［3］.基于此，本文將高考試題的難度水平分為四個層次：單一結構層次（U）、多元結構層次（M）、關聯結構層次（R）、抽象拓展結構層次（E），難度系數依次升高.現以乙卷理科第11題為例，進行題目難度水平的分析與判定說明.

（乙卷理科第11題）雙曲線C的兩個焦點為F1，F2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且cos∠F1NF2=35，則C的離心率為（? ）.

A.52?????? B. 32

C. 132???? D. 172

分析 該題將三角函數與雙曲線結合，考查的知識點有三角函數求值、誘導公式、兩角和的正弦公式、正弦定理及雙曲線定義.通過畫圖，借助幾何直觀鎖定兩個關鍵三角形，由已知條件聯系三角函數公式求解未知角的三角函數值，進而結合正弦定理和雙曲線定義求解.考查學生牢固記憶知識點和巧妙聯系的解題能力，對學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算的核心素養提出較高要求.因此，該題屬于抽象拓展結構層次，難度水平較高.

2.4 基本技能

基本技能是獲得知識的前提，也是從知識掌握到數學能力形成與發展的中間環節［4］，關于數學技能的研究較少，現有相關文獻對基本技能的劃分有兩種，第一種分為心智技能與動作技能，第二種分為知識型技能、法則型技能和方法型技能［5］［6］.基于心智技能形成的原型定向、操作、內化三階段模型和動作技能外顯可見的特征，本文結合課程標準中學業質量水平在知識技能上的質量描述，概括提出學生在解答高中階段數學試題時應具備的基本技能，見表2.

為了研究框架的一致性，將一道題目考查的基本技能水平按照解題使用的技能個數分為三個層次，見表3.由于理解為必備技能，故將使用2～3個技能設置為水平一.基于此，對2022年高考三角函數試題涉及的基本技能及水平進行判斷和統計分析.

2.5 數學核心素養

本文依據課程標準提出的六大數學核心素養及素養表現三水平，基于喻平從知識學習層面的劃分，采用數學核心素養評價指標框架［7］統計分析2022年高考三角函數試題素養在知識理解、知識遷移、知識創新水平上的表現.通過量化賦值，探究不同核心素養的考查程度，對試卷進行比較分析，以便更加有針對性地對三角函數展開教學與學習，以新高考Ⅰ卷第6題為例進行賦值說明.

（新高考Ⅰ卷第6題）記函數f（x）=sinωx+π4+b（ω>0）的最小正周期為T.若2π3<T<π，且y=f（x）的圖象關于點3π2，2中心對稱，則fπ2=（? ）.

Ａ.1?? B. 32?? C. 52?? D. 3

賦值說明：該題是一道5分的選擇題，主要考查三角函數的圖象及性質.學生需要明確問題情境是先求參數再求值，知道解析式中參數含義，對新的對稱點進行簡單推理，結合范圍進行運算得到結果.本題主要考查數學運算、邏輯推理和數學抽象素養，賦值為：MA1－1.5、LR1－1.5、MO2－2，分別代表本題考查了知識理解水平下的數學抽象素養、知識理解水平下的邏輯推理素養、知識遷移水平下的數學運算素養，賦值分數根據重要程度給出.

3 統計結果及分析

根據研究框架，將統計結果分為試題命制和核心素養考查兩部分進行分析.

3.1 試題命制分析

在2022年9套高考試卷中，三角函數所占分數在15～28分之間，占整套試卷總分的10.0%～18.6%，平均分為20.8分.與2021年各套試卷總分情況相比如圖1所示，可以看出，除新高考Ⅰ卷外，各套試卷總分均有上升.圖2是2022年三角函數在各題型的分值分布情況，整體來看，題型結構為1～3道選擇題，0或1道填空題，0或1道解答題，基本每套試卷至少保證了2道封閉型試題與1道開放型試題的考查，在唯一沒有主觀題的甲卷中，三角函數則出現在了選擇和填空壓軸的位置，題型結構穩定.由此可見，三角函數以相當重的分量出現在高考試卷中，考查比例有所提高，通過主觀與客觀相結合的方式評價學生的必備知識與技能素養，部分試題以多選題的形式發揮了提高試卷得分率的功能.天津卷的壓軸選擇題呈現出多選形態，體現了自命題試卷趨同于全國卷的命題趨勢，是逐步推進新高考改革的表現.

根據第二部分的研究框架，對2021年和2022年三角函數試題進行知識內容、難度水平和基本技能的統計，文理科重復試題只出現1次，限于篇幅只給出2022年試題統計情況，具體內容見表4.

三角函數知識點頻數分布如圖3、圖4所示，兩年試題總體上考查圖象及性質次數最多，恒等變換和解三角形次之，概念最少，2022年未出現應用題型，2021年僅涉及1道.三角函數的圖象及性質主要在封閉型試題中考查，恒等變換分布較均勻，概念作為必備知識出現在各個題型中.選擇題以圖象及性質和恒等變換為重點，解答題較為固定，以解三角形為主要載體，結合恒等變換公式的靈活運用和周長面積考查.此外，2022年大幅增加三角函數與其它章節知識的綜合考查，涉及單調性、雙曲線、基本不等式以及初等函數二級結論等多個方面，學生需要掌握多個領域的基礎知識和解題通法，實現從思考單一因素到兼顧多個因素的思維跨越.2022年三角函數試題情境均為數學情境，但據往年命題特點，三角函數逐漸與現實、科學及數學文化相聯系，增強了應用性與創新性，課程標準也“強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，注重數學文化的滲透”［1］，教師及學生應重點關注.

對2021年和2022年試卷的三角函數試題所處SOLO結構層次進行判定分析，由于題目數量繁多具體過程不再一一列出，繪制難度水平題量分布雷達圖，如圖5.可以看到2022年較2021年U水平減少，M、E水平增多，R水平題量穩定，符合三角函數出現在壓軸題位置的現狀，難度適當提升，但也使得更多學生可以上手求解壓軸題，揭下其不可靠近的“神秘面紗”，發揮了試題的評價作用.三角函數這一本來在高考中穩定拿分的知識模塊，在2022年有所改變，送分題減少，難度水平從簡單、中等轉變為中等、中上等，更加注重學生對基礎知識的理解和靈活運用.涉及其他領域知識的復合型題目增多，考查學生完整知識體系，聚焦學生的關鍵能力和核心素養.三角函數已經不再是一成不變的拿分“堡壘”，試題逐漸破除套路，改變分布結構，注重知識整合，建構完整體系［8］，是教師和學生不可掉以輕心的“重頭戲”.

繪制基本技能應用頻數條形圖和水平題量分布圖，如圖6、圖7所示.可以看出，三角函數題目求解涉及的基本技能水平主要為水平一和水平二，即每道題用到的技能個數不多于5個.其中，理解、推理、運算技能使用次數最高，符合三角函數自身具有抽象性和計算性的特點，作圖技能和識圖技能考查學生數形結合思想方法的運用，突出三角函數圖象的作用，建模求解技能體現在函數、不等式等模型的應用上，是學生解決復合問題的關鍵.

3.2 核心素養考查分析

將2022年題目賦值結果進行整理，計算六大核心素養在知識理解、知識遷移、知識創新水平賦分匯總占三角函數總分的權重，得到表5.以MA2在甲卷理科中的權重0.05為例，由該卷數學抽象在知識遷移水平的考查分1分除以三角函數總分20分計算得出.綜合來看，三角函數主要考查數學運算、邏輯推理、數學抽象核心素養，在部分題目中對直觀想象和數學建模有所涉及.

由圖8可以看到，數學運算和邏輯推理在知識遷移上的考查多于知識理解，數學抽象和數學建模則相反，直觀想象持平.三角函數知識體系自身并不復雜，更多傾向于提升學生的運算能力和公式變換的推理能力，所以在運算推理方面對學生提出更高要求，而數學抽象和數學建模是對學生理性思維和應用能力考查的體現，在三角函數中傾向于簡單運用，有一定掌握即可.直觀想象在數形結合的題目中出現，數據分析在三角函數內容中不涉及.各類素養對知識創新水平的考查都很少，體現了高考強化基礎考查、突出關鍵能力的命題特點.

2022年各套試卷中三角函數體現的素養分布如圖9所示，可以看到，甲卷考查的素養類型最為全面，且考查比例較為均勻，是學生全面發展在核心素養層面的良好體現.乙卷與新高考Ⅰ卷均涉及四種素養的考查，是綜合考慮難度水平與合理評價標準的良好命題方式.浙江卷與其余試卷的側重點有所不同，對于邏輯推理的考查占比最大，更加關注學生數學思維的表現與提升，而其余試卷則重點關注學生的運算能力，這為各地區關于三角函數教學與學習的重點提供參考.

核心素養的落實是立德樹人的根本要求，三角函數承擔著培育數學核心素養的重要作用.學生對三角函數概念和公式進行理解記憶，構建刻畫事物周期變化的數學模型，有利于發展數學抽象核心素養；合理選擇三角恒等變換公式，靈活處理，正確計算，落實邏輯推理和數學運算素養；解題常用數形結合思想，通過圖形、圖象在頭腦中建構三角形相關元素的動態聯結和函數圖象的變化特征，發展直觀想象核心素養.

4 結論與建議

4.1 結論

2022年高考三角函數題型結構良好，在總題量中分值占比升高，難題增多，中等偏上的題目占大多數.全國卷文理科部分題目相同，難度差距縮小.三角函數打破通常只出現在簡單、中檔題的命題規律，減少了“送分題”.內容考點注重基礎知識的理解和不同章節知識的綜合運用，考查學生通性通法的掌握，體現能力思維.三角函數針對數學運算、邏輯推理、數學抽象素養進行重點考查，對運算和推理能力提出高要求，涉及直觀想象和數學建模素養.2022年高考是針對“死記硬背”“題海戰術”的一次反套路化出題，彰顯出三角函數在高考評價中的重要作用.

4.2 教學建議

（1）回歸教材教學，注重知識本質.

技巧速解不能解決所有題型，盲目刷題只會事倍功半，增加學生負擔.高考試題常常在教材習題的基礎上進行變式與提升，在提倡“雙減”的今天，回歸教材內容，關注知識本質，是高考體現的命題趨勢，也是應對反套路化試題的最好辦法.三角函數內容考點穩定，但考查方式靈活多變，突出本質，要求學生有扎實的基礎知識、基本技能和良好的數學關鍵能力.教師應以教材為起點，研課研題，變式變形，系統化講解各專題知識，推進單元教學設計，按照知識的本質特征和邏輯關系層層遞進，精心設計題目，走在學生前面，實現穩步高效.學生在深刻把握本質和針對性練習的基礎上，才能充分提升技能，領悟數學思想，在復雜多變的試題面前“撥云開霧”.

（2）合理平衡難度，構建知識體系.

高考試題新穎多變，但很少有偏題怪題，題目難度的升高體現在通性通法的融會貫通和知識體系的完整考查.根據2022年和往年命題規律，高考通常綜合多個一級知識點進行出題，并會結合不同主題知識創新發散.學生需要在理解條件和推理分析后，通過已有知識經驗判斷該題類型和解決方法，如2022年甲卷理科11題，審題后可知是整體代入和數形結合求解參數范圍的常見題型;再如新高考Ⅰ卷18題第2小問，是邊角互換結合三角恒等變換公式并跨章節考查不等式的內容，要求學生熟能生巧地運用知識.這啟示教師應在教學中平衡好各章節內容的深度，保證難度設計的科學合理，注意知識的廣度，幫助學生構建知識體系，這樣學生才能在綜合題目中統籌各知識點，進行信息整合，大膽猜想，提出解題策略.

（3）靈活運用知識，堅持素養導向.

三角函數知識類型豐富，涉及公式繁多，出題變化多樣，學生應以不變應萬變，靈活備考.教師要指出，求值時觀察已知角與目標角之間關系的重要性，傳授學生拆湊拼補的配角技巧，拒絕公式的死記硬背，引導學生正逆交替、活用定理，挖掘題目背后的隱含條件.學生在長期活躍的數學解題思維中，才能逐漸學會靈活運用知識，根據問題情境作變換轉化，突破三角函數問題的思維障礙，使三角函數成為高考中的得分要點.在素養導向下，教師應重點關注學生解題過程中的能力表現，審視思維缺口，引導邏輯融洽，讓學生能夠根據具體問題探索論證思路，而非只是套路做題.面對試題“七十二變”，自有知識和方法的“金箍棒”來應對解決.

參考文獻

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［4］ 周良金，魯正火.談數學技能的學習［J］.數學通報，1995（06）：13-15.

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［6］ 孔慶燧.論數學基本技能［J］.課程·教材·教法，1992（10）：51-55.

［7］ 李子瞻，胡典順.基于數學核心素養的新舊高考比較分析——以2021年新高考Ⅰ卷與2020年全國Ⅰ卷為例［J］.數學教育學報，2022，31（03）：26-31.

［8］ 胡茗潔，石浩楠，胡典順.2021年高考概率與統計試題的統計與分析［J］.中學數學雜志，2022（01）：61-66.

作者簡介 張美鈺（1999— ），女，內蒙古呼和浩特人，研究生;主要從事數學教育研究.

胡典順（1965— ），男，湖北孝感人，教授、博士生導師;主要從事數學課程原理、數學教學原理、數學教師教育研究.