數學問題設計的誤區和出路

摘要：數學問題可以分為回憶型、連接型、反省型三類。一味重視練習題（回憶型問題），使得過程思維的發展空間狹窄。開放題（反省型問題）的出現，旨在平衡內容知識與過程思維。但是，開放題在進入日常教學時，遭遇了一些障礙。對此，應該重視連接型問題組的設計，將其作為課程載體，促進從基礎知識到高層次思維的連續發展，促進內容與過程的平衡。

關鍵詞：數學問題；練習題；開放題；連接型問題組

近幾十年來，美國數學課程中，“問題解決”被調整為數學教育的過程目標之一，而不再像以前一樣作為數學教育的“核心”。這與“問題解決”中將問題界定為不熟悉的問題有關：把不熟悉的問題絕對化，違背循序漸進的原則，因為，從熟悉的問題到不熟悉的問題需要過渡和連接；忽視人類學習的一般規律，畢竟，從熟悉的問題到不熟悉的問題的遷移學習扮演著重要的角色。此外，許多研究單單關注問題提出或思維，脫離知識。這樣的“問題解決”猶如離開水的魚，難以長期發展。

一、數學問題的分類和角色

問題在數學課程中扮演非常重要的角色。簡單來說，簡單問題（通常意義上的練習）和例題類似，扮演記憶例題方法的角色，某種意義上，可以作為“雙基”的課程橋梁；難的問題需要思考探索，扮演思維的角色，某種意義上，可以作為高層次思維能力的課程載體。

PISA曾按照一個公民在日常生活中理解數學、作出判斷、使用和從事數學的能力評價學習者的數學素養，把用于評價的數學問題更為清晰地分為回憶型（reproduce cluster）問題、連接型（connection cluster）問題、反省型（reflection cluster）問題三類，較為廣泛地被公眾所接受。

回憶型問題是指涉及回憶練習性的知識，關聯標準算法、技巧，標準公式、應用計算，常規性操作、常規問題解決的問題。其特征包括標準表征和定義、常規問題解決。例如：（1）（PISA 2003第7號例子）把69％寫成分數。（2）（PISA 2003第6號例子）求7、12、8、14、15、9的平均數。

連接型問題是指在回憶型問題的基礎上，在熟悉或半熟悉的背景下，涉及并不簡單的常規問題解決，需要把不同的問題表征進行整合，連接不同的課程內容的問題。其特征包括模型化、標準問題解決的轉化與整合、多種常規結構方法的整合。例如：（1）（PISA2003第10號例子）馬麗距離學校2公里，馬丁距離學校5公里，他們距離有多遠？（2）（PISA 2003第12號例子）一個比薩公司生產兩種同樣厚度的比薩，小的直徑30cm，賣30zeds，大的直徑40cm，賣40 zeds，哪種更值？解釋你的推理。

反省型問題是指在連接型問題的基礎上，解決過程更有創造性或更加陌生，涉及高級推理、抽象化、概括性、應用新背景模型化能力的問題。其特征包括復雜的問題解決和提出、反省和深度洞察、創造性的方法、多種復雜方法等。例如：（PISA 2003第14號例子）某個國家1980年的國防開支是3千萬美元，當年的國民收入總值是50千萬美元；1981年的國防開支是3.5千萬美元，當年的國民收入總值是60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10％。如果你被邀請為和平愛好者做演說，你打算解釋國防開支降低，你如何來做？如果你被邀請為軍事學術部門做演說，你打算解釋國防開支提高，你如何來做？

這三類問題，搭建起了“容易一中難一最難”的階梯。其中，回憶型問題可以用來學習內容知識；反省型問題可以用來學習過程思維；連接型問題是對內容知識和過程思維的統整，也可說是對內容知識的消化吸收，在不同的情境下靈活應用，是進一步解決更開放的反省型問題，學習過程思維，形成高層次思維能力的中間過渡載體。

二、開放題的出現，旨在平衡內容與過程

事實上，問題設計常常出現兩個極端，或者重視回憶型問題，或者強調反省型問題，而相對地忽視中間過渡的連接型問題。這導致缺乏內容知識與過程思維的平衡。正如黃毅英等人所強調的，各國數學課程改革亟待解決的問題就是內容與過程的平衡：“各國數學課程改革的新趨勢表明，于響應社會轉型的挑戰中，培育下一代之高層次思維能力至為重要。但如何同時保持堅定的基礎知識，是當前數學課程發展刻不容緩的任務。如何在提升高層次思維能力和共通能力之余不會丟失堅實的學科基礎，以及如何在'過程'與'內容'間找到平衡，變成眾多問題的重中之重?！?/p>

重視內容的教學問題扮演了知識掌握的角色，主要以一般性的練習題（回憶型問題）為載體，以課堂例題、課堂練習、課后練習等形式呈現，幫助學生鞏固和發展概念、法則、定理等。一般性練習題的完整條件，使學生只要回憶學過的知識，選擇合適的知識，即可作出回答，即“只要記，不用想”。而這就意味著過程思維（尤其是高層次思維）的發展空間狹窄。

以美國為例。部分美國教材編寫者為提升學生學習數學的興趣，也為使每一個學生都能解決教材提供的問題，讓每一單元的問題都傾向解決一般形式的簡單模式。[2]有學者統計過一本新加坡教材和一本美國教材中不同類型分數問題的占比，結果如表1所示。顯然，美國教材中的問題更淺、更易。

在一定程度上，開放題被視為解決上述問題的對策—這也是開放題受到重視的原因之一。

1971年，島田茂等人編著的《開放式途徑：關于數學教學的一個新建議》出版，正式提出了開放題。后來，各個國家的研究者把它貼上了不同的標簽，比如現實主義數學（realistic mathematics）、調查性項目（investigative project）、探索性問題（exploratory problem）、真實的數學調查與問題提出（authentic mathematical investigation and problem posing）、開放式方法（open- ended approach）、結構不良問題（ill-structure problem）、開放式問題（open problem）。盡管不同的標簽代表不同的研究傾向、意義趨向，但是它們的基本含義是相同的。開放題在近幾十年全世界的數學教育領域備受矚目，其深層次原因在于：彌補了一般性練習所缺乏的，為發展數學過程思維（尤其高層次思維）提供的自由空間（課程載體），使數學學習相對于一般性的練習具備了更為深層（從任務到結果）的“過程”循環。

簡單地說，開放題通過開放研究的任務和目標，開放條件或結論，即控制條件和結論的自由度，擴大題設空間，促使解題者擴大探索試驗空間，產生多種策略。也就是說，開放題讓解題者有更多情感充分投入，有更多機會建構自己的方法，驅動相對高層次的數學思維，輸出相對深層結構的學習結果，對數學的本質和價值有相對深層的體會。

以此為線索，人們進一步發現，若只有回憶型練習，則收窄了學習的任務和目標，容易導致解題者情感與策略的淺層參與，使用機械的、記憶題型的淺層數學學習方式，獲得學習結果的淺層結構。而淺層認知結構，傳遞歪曲的數學態度和觀念、淺層的數學本質和價值體會，易使數學學習變為由起點到終點的“淺循環”。

三、開放題在進入日常教學時，遭遇了障礙

重視培養過程思維的課程主要以開放題（反省型問題）為載體。雖然開放題為高層次思維提供了可能，但它在進入日常教學時，遭遇了一些障礙。

首先，開放題對教師教學要求較高。一方面，解決開放題需要高層次思維。換句話說，開放題能為學生的思維發展提供較為廣闊的空間。這是開放題受到重視的主要原因。另一方面，既然解決開放題需要高層次思維，那么，學生不會時，教師該如何來教？這對教師提出了較高的要求。開放題教學如何進一步在中小學推廣和普及是當務之急，高層次思維不是空中樓閣，也不會自動生成，仍需要教學和課程的支持。[4]

其次，開放題讓學生學習信心受挫。黃毅英等人研究發現，大部分學生面對開放題時有失控感、挫敗感。幾次解不出來，學習數學的成就感、自信心也會降低，并由此不喜歡開放題—甚至能力較強的學生也不喜歡。的確，渴望成功是學生發展的第一需要，成就感是學生學習動機之基礎。也有學者提及開放題教學遇到的障礙如下：（1）開放題在單一的技能訓練、知識學習上費時費力，效率較低；（2）開放題教學容易受到課時的限制，課堂上常出現學生的思維在低層次上重復、不易進入深度研究的情況；（3）現有適合教學的開放題數量太少，而開發和設計更多的開放題面臨較多的困難；（4）對有些開放題很難制定出客觀、公正的標準，故用開放題做考試題困難重重。[6]

再次，開放題讓師生不習慣。長期以來，師生已經習慣練習題，視開放題為“額外的負擔”“多余的任務”。如此，課程的研究者對開放題的推行在不被接受的情況下，就變為“一廂情愿”，面臨巨大挑戰。

最后，開放題和日常教學脫離。開放題教學一直是“缺米之炊”“缺源之水”。開放題的設計非常困難，主要表現為教師很難準備背景，以及題目很難合適學生的水平，很難結合學生的知識?！崩?，關于開放題的代表性著作《開放式途徑：關于數學教學的一個新建議》中所提出的，后來被視為典型開放題的棒球游戲和石子問題（baseball games，marble problem）適合任何年級的學生。這便從另一個側面說明，題目沒有結合學生的知識，并和日常教學脫離。當前的開放題教學在一定意義上只是日常數學教學的補充（常被形象地描述為“主食外的甜品”）。例如，戴再平提出的典型的開放題—郵路問題，雖然數學意義深刻，但只能成為日常數學教學的補充，對學生數學學習的影響不大。由此看來，離開傳統的數學教學內容，與日常數學教學分家，開放題只能成為短暫的開闊思維、類似“腦筋急轉彎”的數學游戲，很難在數學課堂長久扎根，其教育價值很難真正落實。

香港的情況更說明了這一點。2001年，香港教育署為了協助教師在中學一年級推行《中學課程綱要：數學科（中一至中五）》，提供了較為詳盡的幫助學生發展高層次思維的題目。例如：“大文正在籌備一個茶會。他買了一些飲品和雞翅。飲品每包5元，雞翅每只8元。（1）現有8人（包括大文）參加茶會。每人有1包飲品及2只雞翅。問大文需為茶會付款多少？（2）現有9人（包括大文）參加茶會。每人有3包飲品和一些雞翅。大文共付423元。問每人有多少只雞翅？（3）現有n人（包括大文）參加茶會。每人有x包飲品及2x只雞翅。大文共付款273元。參加茶會的人數是多少？每人有多少包飲品及多少只雞翅？”另搞一套教學資源，不言而喻，說明高層次思維培養和日常教學是脫離的。

四、連接型問題組應運而生

從根本上說，開放題遭遇這些障礙，是因為將它與練習題截然分開，而忽視了它們通過連接型問題連接起來的可能性與必要性。因此，克服上述障礙的出路便在于，重視通過連接型問題連接回憶型問題和反省型問題的問題組（可以把這樣的問題組稱為“連接型問題組”）的設計，從而將其作為課程載體，促進從基礎的知識到高層次思維的連續發展，促進內容與過程的平衡。

除了從包含的問題類型看，還可以從變化（變式）的角度看連接型問題組，即與例題相比，存在“小一中一大”的連續變化（“容易一中難一最難”的層次難度）。由此，在廣義上，連接型問題組是一種變式題組，也可以只包含回憶型問題與連接型問題。

下面，先來看連接型問題組存在的可能性。理論上，根據上述PISA的問題分類框架，從回憶型問題到反省型問題存在連接的可能性。實際上，在中國內地的數學課程中，有很多連接型問題組，其背后有深層次的文化土壤和根源。[9]這里，我們僅給出一個根據上述PISA 2003第14號例子設計的連接型問題組。

PISA 2003第14號例子是一個評價高層次思維的反省型問題。據此，可以設計如下回憶型問題和連接型問題，組成連接型問題組，從而實現從內容知識到過程思維的逐級提升。

【回憶型問題】

某個國家1980年的國防開支是3千萬美元，當年的國民收入總值50千萬美元；1981年的國防開支是3.5千萬美元，當年的國民收入總值60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10％。1981年比1980年的國防開支多多少千萬美元？（或1980年比1981年的國防開支少多少千萬美元？）1980年的國防開支占國民收入總值的百分比是多少？1981年的國防開支占國民收入總值的百分比是多少？

【連接型問題】

某個國家1980年的國防開支是3千萬美元，當年的國民收入總值50千萬美元；1981年的國防開支是3.5千萬美元，當年的國民收入總值60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10％。1981年的國防開支比1980年的國防開支多還是少？多多少？少多少？扣除通貨膨脹呢？說說你如何得出你的結論。

再來看連接型問題組存在的必要性：相比于單道題，更強調問題之間的關系，更強調深層的數學意義與結構理解，更能夠促進學習的循序漸進、螺旋上升。下面簡單舉幾個例子：

【連接型問題組1】

（1）6個餅，2個餅分一碟，共分多少碟？（2）6個餅，共分3碟，每碟有多少個餅？（3）要多少個餅，才可以2個餅分一碟，共分3碟？

這里，第一題，學生記住除法的意義，就可以解答；第二題，學生必須比較其與第一題的異同，理解“包含除”與“等分除”的異同；第三題，學生必須思考除法的本質特征是什么，除法和乘法的聯系是什么。因此，這個連接型問題組通過變化的連續性，連接除法的內容知識和過程思維，促進學習的循序漸進。

另外，這個連接型問題組相比于第一題這樣的單道題，優勢在于更強調除法和乘法的關系（學生不容易區分的元素），更強調“恒等”的數學結構，更強調“方程”的數學思想，而不是除法的簡單應用。

【連接型問題組2】

（1）3包巧克力，6個人分，每人分多少包？

（2）6包巧克力，3個人分，每人分多少包？

這個連接型問題組不僅聚焦除法的應用，而且區分了被除數和除數的位置關系—不是由大小決定的，并非被除數總是大于除數。

【連接型問題組3】

（1）媽媽買了6個餅，小明分得2個餅，小明得到幾分之幾？

（2）媽媽買了6個餅，小明分得，小明得到幾個餅？

（3）小明分得2個餅，占總數的，媽媽買了幾個餅？

（4）媽媽買了6個餅，小明分得1／3個，還剩幾個餅？

這個連接型問題組突出了分數乘法、除法和分數概念之間的聯系和區別，區分了分數的比率意義和數量意義（無單位和有單位）。這些都是學生通常難以區分，造成分數意義與運算理解困難的元素。

五、結語

概括而言，使用練習題引領學生開展知識學習，使用開放題指導學生進行問題解決，這種分離帶來了極端的問題：學科知識在問題解決中趨于無用；而且，問題解決的發展也不足以支持學科知識的發展。

同時，一些研究指出，問題解決使數學知識學習“碎片化”。有研究認為，情境在問題解決中的作用被過分強調了，而知識（經驗）被過分忽視了；情境學習的核心主張，比如行動基于其發生的具體情境，知識不會在任務之間遷移，抽象思維的用處不大，教學必須在復雜的社會環境中進行……則過分夸大了情境教育的意義?！睂嶋H上，數學知識有助于解釋情境的先決條件，數學知識和思維策略必須同時學習和使用。而從結構良好的問題到結構不良的問題應該是連續的，不是絕對二分的—例如，背誦“九九表”可以改為在“九九表”中查找多重關系。

特別要提的是，通過問題變式形成的連056接型問題組，在數學教學中發揮著重要的作用。然而，很多教師不知道“連接型問題組”這一提法，而較為通俗地稱之為分散難點問題、題組或問題串、問題鏈。這導致相對于其重要性而言，連接型問題組在問題解決領域缺乏系統深入的研究—這實際上是一種“捧著金飯碗要飯”（鄭毓信教授語）的現象。筆者希望本文能起到拋磚引玉的作用，引起大家對連接型問題組的進一步重視和研究。參考文獻：

[1]黃毅英，林智中，孫旭花．變式教學課程設計原理：數學課程改革的可能出路[M].香港：香港教育研究所，2006：5．

[2]W.Schmidt，R.Houang，L.Cogan.A coherent curriculum[J].American Education， 2002（10）：1-18.

[3]B.H.Yeap，B.J.Ferrucci， J.A. Carter.A comparative study of arithmetic problems in Singapore and American textbooks[C]// F.K.S. Leung，K.Graf，F.Lopez-Real.Study Volume of ICMI 13th Study on Comparative Studies Netherlands：Kluwer Academic publishers，2006：1.

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（孫旭花，澳門大學教育學院，助理教授。在廣州、香港、澳門等地負責中小學數學教師培訓30多年。曾擔任國際數學教育委員會“整數的數學教與學”專題國際統籌研究委員會協同主席、數學史與數學教育的關系國際研究小組協同主席，并于第13界國際數學教育大會做邀請報告。在中外期刊發表論文100余篇，主編斯普林格英文暢銷書《打好基礎：整數教學》，著有《螺旋變式—解讀中國內地數學課程與教學之邏輯》。）