有控彈箭穩定性邊界的解析預測模型

常思江 李東陽

引用格式：常思江，李東陽.有控彈箭穩定性邊界的解析預測模型［J］.航空兵器，2023，30（1）：11-18.

ChangSijiang，LiDongyang.AnalyticalPredictionModelofStabilityBoundaryforGuidedProjectiles［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：11-18.（inChinese）

摘要：針對彈箭在控制力作用下的穩定性問題，對有控彈箭穩定性邊界的解析預測模型進行研究。通過對彈軸系縱軸向角速度的線性化，在彈軸系下建立了有控彈箭角運動方程；通過對彈軸系與非滾系之間滾轉角的線性化，在非滾系下建立了五階角運動方程。根據線性系統穩定性理論，分別推導出彈軸系和非滾系下的穩定性邊界解析預測模型。對兩種模型在多種工況下開展了仿真分析，結果表明，所提出的彈軸系模型可用于升弧段和降弧段，但控制方位角的應用范圍受限；而非滾系模型不受控制方位角范圍限制，預測精度較好，但只能用于降弧段，且控制力過大對模型精度產生不利影響；實際工程中建議對兩種模型進行綜合應用。

關鍵詞：有控彈箭；控制力；角運動；穩定性；彈軸坐標系；非滾轉坐標系

中圖分類號：TJ760

文獻標識碼：A

文章編號：1673-5048（2023）01-0011-08

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0219

0引言

隨著精確打擊和低間接傷害概率逐漸成為現代戰爭對彈藥武器的基本要求，各類低成本彈道修正彈、制導炮彈、制導航彈等有別于一般導彈的有控彈箭應運而生，目前已廣泛用于航炮、艦炮、地炮等武器系統，具有較高的效費比［1］。

由于這類有控彈箭主要是在相應的無控彈箭平臺基礎上通過制導化改造而成，故自20世紀70年代末以來，研究人員就十分關注彈箭在控制力作用下的穩定性和動力學響應等問題［2-4］，針對各種有控彈箭開展了相關研究。Wernert等［5］對鴨式布局雙旋穩定彈的穩定性判據進行了研究；Corriveau等［6］針對脈沖發動機控制彈箭，研究了雙脈沖策略下的彈體響應特性；Cooper等［7］研究了鴨式布局非對稱尾翼彈的穩定性問題。國內外學者近年來針對鴨式布局（含固定舵和可偏轉舵）雙旋彈這類有控彈箭，對自由運動［5］、強迫運動［8］、彈體對控制力和重力的動態響應［9］、法向力計算模型［10］、質心偏移運動特性［11］、全彈道動態穩定性［12］、控制穩定性［13］等方面開展了深入研究。此外，Hu等［14］利用傳遞函數研究了捷聯導引頭延時所引起的彈箭錐形運動不穩定；Li等［15］研究了彈道修正彈的穩定控制力邊界問題。

從研究方法角度，上述研究主要是基于攻角方程，通過各種簡化對攻角方程實施近似解析求解，從而得到相關的穩定性判據等。為了驗證相關解析解的有效性，往往還需對剛體彈道模型進行數值計算，由此也引出一重要的學術問題。

Lloyd等［2］通過數值計算發現，對具有頭部控制力的有控彈箭（如鴨式布局雙旋彈，其頭部與后體通過滾動軸承連接，可實現差動滾轉），控制力的作用會引起彈體章動和進動不穩定，而傳統的外彈道線化理論卻無法解釋數值計算中出現的這種現象。研究表明［2-3］，這其實與角運動建模的坐標系選取有關。彈箭角運動建模，可選擇彈軸坐標系（以下簡稱彈軸系）或非滾轉坐標系（以下簡稱非滾系）。若采用反旋電機等部件，可近似實現頭部控制力相對于慣性系（如地面坐標系）保持方向不變［2，11-13］，則在非滾系內建模，必然引入新的變量（滾轉角度N），如忽略該變量，將無法預測上述不穩定現象；在彈軸系內建模，存在縱軸向角速度的問題（表現為彈體俯仰角和擺動角速度的耦合），若忽略該縱軸向角速度，則等效于在非滾系內建模。以往研究常假設俯仰角為零（即水平射擊），這與實際中“控制力往往在彈道降弧段作用”的工況具有較大差異。

對此，Lloyd等［2］首先在非滾系下建模，對彈軸系與非滾系之間的滾轉角進行簡化，并利用線性化理論研究了角運動方程的特征根，進而給出控制力在水平和鉛直方向的穩定范圍。針對同一問題，Murphy［3］認為，不必從彈軸系轉換到非滾系也能得到相應結果，他通過引入共軛變量，采用擬線性法求出復攻角方程的特征根，據此給出控制力誘導出的最大平衡攻角之穩定邊界。Li等［15］針對彈道修正彈的控制力穩定邊界問題，通過補償矩陣對控制力和重力的影響在彈軸系內進行了補償，但并未深究不同坐標系下建模的本質差異。

文獻［2-3，15］所研究的問題本質上可概括為“有控彈箭穩定性邊界的解析預測”。“穩定性邊界”是指只要控制力大小在邊界范圍內，則可保證受控彈箭的穩定飛行；而“解析預測”是指利用角運動方程，通過解析方式找到相應的邊界值。該研究可為有控彈箭總體方案的初步設計提供理論依據。根據上述分析，該問題的關鍵在于坐標系。簡言之，Lloyd等［2］認為不能在彈軸系內建模而只能在非滾系中建模；Murphy［3］和Li等［15］則都認為可在彈軸系內建模，只不過需針對具體方程做一些修正。此外，上述文獻僅針對彈道降弧段工況進行了研究，而實際上在彈道升弧段進行控制也是需要的（如對于防空類彈藥）。

為從彈道學機理角度厘清上述問題，本文以一類具有前（頭部）、后（彈身）兩體雙旋結構的旋轉穩定彈道修正彈為研究對象（其頭部可提供彈道控制所需的法向力），將在彈軸系和非滾系下分別建立計及控制作用的彈箭角運動模型，根據線性系統穩定性理論，推導穩定性邊界的解析預測模型，考察升弧段和降弧段兩類工況，據此分析不同坐標系下所得結果的優勢和局限性，以期為該問題的機理研究及有控彈箭總體方案設計等提供參考。

1不同坐標下的彈箭角運動方程

1.1坐標系簡介

彈箭攻角運動方程的建?？稍趶椵S系或非滾系下進行。由于彈軸系和非滾系是從地面坐標系（簡稱地面系）和彈體坐標系（簡稱彈體系）得到，故本節先介紹地面系和彈體系。

地面系原點A取為炮口中心；ZE軸沿重力方向，向下為正；XE軸與重力方向垂直，指向彈體的速度方向為正；YE軸由右手法則確定。通常將地面系（AXEYEZE）平移至彈體質心，得平動坐標系（OXEYEZE）。

彈體系與彈體固聯，原點位于彈箭質心O；X軸與彈體縱軸重合，指向頭部為正；Y軸在彈翼對稱平面內與X軸垂直，從彈尾向前看去，向右為正；Z軸方向按右手法則確定。彈體系（OXYZ）可由平動坐標系經歐拉轉換，依次繞Z軸、Y軸和X軸旋轉彈體偏角ψ、俯仰角θ和滾轉角得到。

彈軸系的Y軸始終在水平面內，為此，將彈體系繞X軸轉過滾轉角－即得彈軸系（OXYAZA）；非滾系X軸的角速度始終為零，故將彈軸系繞X軸轉過滾轉角N，使X軸的角速度為零，即得到非滾系（OXYNZN）。需要說明的是，滾轉角N是一個人為定義的角度，與飛行器俯仰角、偏航角、滾轉角等姿態角相比，并非一可視化的姿態角，其物理意義在于：角速度N恰與彈軸系X軸的自轉角速度抵消，從而保證非滾系X軸的自轉角速度為零，使得角運動建模過程得以簡化。

值得說明的是，對于雙旋穩定彈的控制力，在彈軸系內建模，模型相對準確但計算不便；在非滾系內建模，模型誤差稍大但計算方便。因此，本文在兩種坐標系下開展研究，以便為不同應用場合提供適用的模型和算法。

1.2彈軸坐標系下的角運動方程

設彈箭在彈軸系下的角速度三分量分別為p，q，r，則彈軸系縱軸向（X軸）的角速度可表示為

Ωx（s）=－rdVtanθ（1）

式中：d為彈徑；V為來流速度；s為無量綱彈道弧長，s=∫Vdt/d，t為彈箭飛行時間；θ為彈體俯仰角。

對于本文研究的有控彈箭，作用在彈體上的控制力和力矩如圖1所示。

如圖1所示，NC和MC分別為控制力和控制力矩；控制力作用點至彈體質心的距離為XC（定義控制力作用點位于質心之前為正，XC>0）；φP為控制力NC相對于地面系鉛直軸（重力方向）的方位角。

控制力在彈軸系中的表達式為

FCxFCyAFCzA=NC0sinφP－cosφP（2）

控制力矩在彈軸系中的表達式為

MCxMCyAMCzA=XCNC0cosφPsinφP（3）

當控制力很小或為零時，角速度Ωx（s）≈0；但對于控制力較大的情形，Ωx（s）值不可忽略，否則會引起文獻［2］所示的誤差。

設攻角在彈軸系下的分量為高低攻角α和方向攻角β，則θ=θV+α，其中θV為彈道傾角；同時，將攻角角速度近似等于彈體橫向角速度，即r≈－β·，q≈α·。因此，為方便后續求平衡點，對式（1）做如下近似：

Ωx（s）=β′tan（θV+α）≈β′［tanθV+（1+tan2θV）α］（4）

取狀態變量

x=［αα′ββ′］T（5）

式中：“′”表示對無量綱弧長s的一階導數。

根據外彈道理論［16］，在彈軸系下建立以時間t為自變量的橫向運動方程，為

v·=Fay+Fnaym－（uΩz－Ωxw）

w·=Faz+Fnazm－（vΩx－Ωyu）

q·=May+MnayIy－（σpΩz－Ωxr）

r·=Maz+MnazIy－（Ωxq－σpΩy）（6）

式中：Ωx，Ωy，Ωz為彈軸系相對于地面系的角速度分量；其余符號同前。

定義復攻角ξ=（v+iw）/V和復彈體擺動角速度μ=（q+ir）（d/V），取無量綱彈道弧長s=∫Vdt/d為自變量，則可將式（6）寫成復數形式，即

ξ′+V′V+iΩxdVξ－iuVμΩ=（Fy+iFz）dmV2μ′+V′V+iΩxdVμ－iσpdVμΩ=（My+iMz）d2ItV2（7）

式中：

μΩ=（Ωy+iΩz）（d/V），可認為μΩ≈μ；

Fy+iFz=mAV2（Cy+iCz）/d+（Fnay+iFnaz）；

My+iMz=Ak-2t·（Cm+iCn）ItV2/d2+（Mnay+iMnaz）；（Cy+iCz）為側向氣動力系數，（Cm+iCn）為側向氣動力矩系數，限于篇幅，兩者的具體表達式從略。

從式（7）中第1式解出μ，將其關于s求一階導數可得μ′，將μ和μ′代入式（7）中第2式，經推導得到只含有復攻角ξ的角運動方程，為

ξ″+［H-i（P1-P2）］ξ′-［M-P1P2+i（PT-P′2+S1）］ξ=（Ry+iRz）（8）

式中：P1=P－Ωx（s）；P2=Ωx（s）+P20；P=σpd/V；P20=PACNpα/σ+ACSN；等號右端的Ry和Rz是與控制力和重力有關的項，其具體表達式較冗長，這里從略；其余符號同前。

由于攻角α≈v/V和β≈w/V，式（8）可化為以α，α′，β，β′為狀態變量的狀態空間形式的角運動方程（一階微分方程組），將式（4）與Ry，Rz的具體表達式代入其中，忽略影響較小的重力項，并記x1=α，x2=α′x3=β，x4=β′，可得

x′=［x2x′2x4x′4］T（9）

式中：

x′2=（M-［-Ω2x+（P-P20）Ωx+PP20］）x1-（PT-Ω′x+S1）x3-（P-P20-2Ωx）x4-Hx2+Rz0+RzΩΩx;

x′4=（M-［-Ω2x+（P-P20）Ωx+PP20］）x3+（PT-Ω′x+S1）x1+（P-P20-2Ωx）x2-Hx4+Ry0+RyΩΩx;

Ry0=（-FCyAkC+FCzAP+F′CyA）B;

Rz0=（-FCzAkC-FCyAP+F′CzA）B;

RyΩ=-FCzAB；RzΩ=FCyAB;

kC=xCk-2t+Ak-2tCMq；xC=XC/d;

H=-Ak-2t（CMq+CMα·）+ACNα;

M=Ak-2tCMα+A2CNαk-2tCMq;

S1=Ak-2tCSM+A2CSNk-2tCMq;

T=T0-ΩxPH1;T0=1σAk-2tCMpα+ACNα;

H1=H+Ak-2tCMα·;

P=σpdV;P20=PACNpασ+ACSN;

A=ρSd2m;B=dmV2;k-2t=md2It。

其中：m為彈箭質量；S為彈體橫截面積；ρ為彈箭所處位置的大氣密度；σ=Ix/It，Ix和It分別為彈體的軸向和橫向轉動慣量；CMq為赤道阻尼力矩系數；CMα·為下洗延遲力矩系數；CNα為法向力系數；CMα為俯仰力矩系數；CSN為誘導側向力系數；CSM為誘導側向力矩系數；CNpα為馬格努斯力系數；CMpα為馬格努斯力矩系數。

1.3非滾轉坐標系下的角運動方程

在非滾系下建立角運動模型時，為了準確地計及控制力的影響，相對于地面系方向固定的控制力在向非滾系的三個軸進行投影時，必須考慮滾轉角度N的影響，此時會出現N的三角函數，使得角運動方程在非滾系內出現幾何非線性。對此，考慮到一般情況下N不斷變化且量值較小，可對N進行小角度假設，即sinN≈N，cosN≈1，以消除幾何非線性。

因此，控制力在非滾系中的三分量為

FCxFCyNFCzN≈0FCyA+FCzAN－FCyAN+FCzA（10）

控制力矩在非滾系內的三分量為

MCxMCyNMCzN≈0（－FCzA+FCyAN）XC（FCzAN+FCyA）XC（11）

設非滾系下的速度分量為（u，v，w），令α=v/V表示非滾系內攻角的高低分量，β=w/V表示非滾系內攻角的側向分量，且由于θ=θV+α，故可近似取θ′≈α′。

采用文獻［16］中角運動建模的一般思路，經繁雜的推導，可得到非滾系下的彈箭橫向運動方程組為

β′=Fay+FnaymdV2－uVr^－βV′V

α′=Faz+FnazmdV2+uVq^－αV′V

q^′=May+MnayItd2V2－σp^r^－q^V′V

r^′=Maz+MnazItd2V2+σp^q^－r^V′V

′N=（q^sinN+r^cosN）tanθ（12）

式中：p^=pd/V；q^=qd/V；r^=rd/V；Fay，Faz，May，Maz為作用在彈箭上的空氣動力和力矩；Fnay，Fnaz，Mnay，Mnaz為重力和控制力，即

Fay=dmV2［－ACNαβ+（p^ACNpα+ACSN）α+

A（CNq+CNα·）r^］;

Faz=dmV2［－ACNαα－（p^ACNpα+ACSN）β－

A（CNq+CNα·）q^;

May=d2ItV2［Ak-2tCMαα+Ak-2t（p^CMpα+CSM）β+

Ak-2t（CMq+CMα·）q^］;

Maz=d2ItV2［-Ak-2tCMαβ+Ak-2t（p^CMpα+CSM）α+

Ak-2t（CMq+CMa·）r^］;

Fnay=FCyN+mgcosθ·N;

Fnaz=FCzN+mgcosθ；

Mnay=MCyN;Mnaz=MCzN。

式中：CNq為彈軸擺動引起的俯仰阻尼力系數；CNα·為下洗延遲俯仰阻尼力系數。關于CNq和CNα·的具體描述可參見文獻［17］。

根據小角度假設，對式（12）的最后一式做如下近似：

′N≈r^tanθ（13）

為便于建模，這里取狀態變量為

x=βαq^r^NT（14）

將控制力和力矩表達式（10）～（11）、氣動力和力矩的具體表達式代入式（12），并結合式（13），經推導、整理，可得非滾系下的五階角運動方程為

x′=Kx+Q（15）

式中：

K=LNp0NqF3NpL－Nq0－F2MpMMq－PM3－MMpPMq－M2000tanθ0；

Q=［F2，F3，M2，M3，0］T；

矩陣K和矩陣Q中元素的具體表達式為

L=-ACNα

M=Ak-2tCMα

Mp=Ak-2t（p^CMpα+CSM）

Np=p^ACNpα+ACSN

Mq=Ak-2t（CMq+CMα·）

Nq=A（CNq+CNα·）-1

F2=FCyAB

F3=FCzAB

M2=-xCk-2tFCzAB

M3=xCk-2tFCyAB。

值得說明的是，本文通過對滾轉角N進行線性化得到的上述五階角運動方程，相較于文獻［15］中的六階角運動方程，降低了計算復雜度。

2穩定性邊界的解析預測模型

根據上述不同坐標下的彈箭角運動方程，利用線性系統的穩定性理論，推導相應的穩定性邊界預測模型。

2.1彈軸坐標系下的解析預測模型

對彈軸系下的彈箭角運動方程式（9），求其平衡點為

xe=δMRz0－δTRy00δMRy0+δTRz00（16）

式中：δM=－M～M～2+（PT0+S1）2；δT=（PT0+S1）M～2+（PT0+S1）2；M～=M－P·P20；下標“e”表示“平衡點”。

在平衡點附近進行局部線性化，可得平衡點的Jacobian矩陣為

Je=0100M～－H－（PT0+S1）RC20001PT0+S1P～M～RC4（17）

式中：

P～=P－P20;RC2=（－P～·x1e+H1·x3e+RzΩ）Ωx1－P～;RC4=（－P～·x3e－H1·x1e+RyΩ）Ωx1－H;Ωx1（x1e）=tanθV+（1+tan2θV）x1e;

x1e和x3e分別表示狀態變量x1和x3對應的平衡點。

由上式可見，控制力出現在RC2和RC4中，從而影響平衡點的特征根。因此，可通過特征根來分析控制力對彈箭角運動穩定性的影響。

系統的特征多項式可表達為

d4λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0（18）

式中：

d4=1;d3=H－RC4;d2=－2M～－P～RC2－HRC4;d1=－M～（H－RC4）+（PT0+S1）（P～－RC2）;d0=M～2+（PT0+S1）2。

根據線性系統穩定性理論中的Routh判據，在控制力作用下，若彈箭角運動在平衡點附近是穩定的，則彈箭的結構參數、氣動參數以及控制參數等，需滿足以下條件：

di>0，i=0，1，2，3d2d3-d1>0d1d2d3-d23d0-d21>0（19）

由于控制力和控制力矩參數出現在系數d1，d2及d3中，則利用不等式組式（19），可確定彈箭在某一飛行條件下允許的控制參數范圍。這里，控制參數組合為（FyC，FzC，xC），也可采用（NC，φP，xC）的組合形式，兩者通過式（2）～（3）進行換算。

2.2非滾轉坐標系下的解析預測模型

由非滾系下的彈箭角運動方程式（15）可知，與控制力（矩）有關的項（即F2，F3，M2，M3）包含在系數矩陣K中。根據線性系統穩定性理論，通過求解K的特征根可判斷系統的穩定性，進而確定控制力的穩定范圍。

彈箭角運動系統的平衡點為

xe=－K－1Q（20）

系統的特征多項式為

d5λ5+d4λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0（21）

式中：

d0＝tanθ｛

［-（LM-MpNp）P+（LMp+MNp）Mq］F2+［（LM+MpNp）Mq+（LMp-MNp）P+（M2+M2p）Nq］F3+

［-Mq（L2-N2p）-（LM-MpNp）Nq］M2+［-P（L2-N2p）-（LMp+MNp）Mq］M3｝;

d1=（P2+M2q）（L2-N2p）+（M2+M2p）N2q+2LNq（MMq+PMp）+

tanθ｛（2LP+MpNq）M3+（L2-N2p+2LMq+MNq）M2+（-LM-MpNp-MMq-PMp）F3+［-（LMp+MNp）+MP-MpMq］F2｝;

d2=-2［（L2-N2p）Mq+L（P2+M2q）+（LM+MMq+PMp）Nq］+tanθ·［MF3+F2Mp-PM3-（2L+Mq）M2］;

d3=L2-N2p+P2+M2q+4LMq+2MNq+M2tanθ;d4=－2Mq－2L；d5=1。

仍采用Routh判據，可得非滾系內彈箭角運動穩定所必須滿足的條件為

di>0，i=0，1，2，3，4d4d3－d2>0d2（d4d3－d2）－d4（d4d1－d0）>0d4d1－d0>0（22）

當僅考慮水平方向的控制力FCyA時，即FCzA=0，則F3=0且M2=0，從上述di的表達式可知，只有di（i=0，1，2）中含有控制力F2和力臂系數xc（定義xc=xC·k-2t），故可將F2和xc分離出來，即等價表達為如下形式：

di=di0+dic·F2（23）

式中：dic=dic0+dicc·xc。限于篇幅，di0，dic0，dicc的具體表達式從略。

于是，不等式組式（22）可改寫為

di>0，i=3，4di0+dicF2>0，i=0，1，2-d2cF2+d3d4-d20>0a2F22+a1F2+a0>0（d4d1c-d0c）F2+d4d10-d01>0（24）

式中：

a2=-d22c;

a1=d3d4d2c-d24d1c+d4d0c-2d20d2c;

a0=d3d4d20-d24d10+d01d4-2d220。

只要給出控制力的作用位置XC，控制力F2的穩定范圍就可通過求解不等式組式（22）或式（24）得到。

3仿真與分析

至此，推導出了彈軸系下的穩定性邊界解析預測模型式（19）和非滾系下的穩定性邊界預測模型式（22）或式（24）。為驗證模型的有效性，開展仿真分析。

3.1仿真條件

以某105mm旋轉彈［15］為例，假設在彈道降弧段進行控制，對應的彈道參數和氣動力系數如表1所示。其中，LCG為彈體重心至彈頂的距離，以彈徑的倍數計。據此計算出角運動方程的系數，如表2所示。

除上述外，本節仿真中還考慮控制力作用位置在θV=±43°處（彈道升弧段和降弧段）、彈體左旋（取p=－1050rad/s）的工況，并給出相應的仿真結果。

3.2結果與分析

（1）彈軸系解析模型的仿真結果與分析

將表1～2中的系數代入不等式組式（19），可得控制力參數組（NC，φP，xC）的可行范圍，如圖2所示。

圖2中，藍色對應不等式d1>0，青色對應不等式d2>0，綠色對應不等式d3>0，紅色對應不等式d2d3－d1>0，黃色對應不等式d1d2d3-d23d0-d21>0；豎軸的數值為不等式符號左端的取值。不難看出，后兩個不等式（紅色和黃色）起主要作用。

圖3～4分別給出了彈道升弧段（θV=43°）和降弧段（θV=－43°）工況下，不同控制方位角φP對應的穩定控制力NC的范圍。同時，轉速取p=±1050rad/s。

圖3（a）和圖4（a）均為控制方位角φP的極坐標表示，p=1050rad/s對應彈體右旋，p=－1050rad/s對應彈體左旋。

由圖可知，對于升弧段，所推導模型只能預測右旋彈在φP∈（0°，180°）時的NC穩定邊界，而無法預測φP∈（180°，360°）時的NC穩定邊界，對于左旋彈卻正好相反；對于降弧段，模型只能預測右旋彈在φP∈（180°，360°）時的NC穩定邊界，而無法預測φP∈（0°，180°）時的NC穩定邊界，左旋彈也正好相反。

根據第1.2節關于控制力的描述，NC可表示控制力的幅值（值域為［0，+∞］），控制力方向由φP表征。若控制力作用位置為彈頂（xC=2.96），考察p=1050rad/s時的降弧段工況，利用解析模型可計算得到：當φP=90°時，控制力的穩定邊界為4.9N；當φP=270°時，控制力的穩定邊界為37.27N。只有當控制力小于對應邊界值時，才可實現穩定的角運動。同時，對未采取任何近似的方程組式（12）（可認為是精確模型）進行數值積分，所得結果為：當φP=90°時，控制力的穩定邊界為55N；當φP=270°時，控制力的穩定邊界為37N。顯然，解析模型與精確模型對穩定控制力一側邊界（φP=270°）的預測結果十分吻合，但對另一側（φP=90°）則差異較大。這也是該解析模型的主要缺點。但相比于現有文獻中的模型，該模型既可求解降弧段（θV<0）工況，又可求解升弧段（θV>0）工況。

值得說明的是，方程組式（12）來自于6自由度剛體彈道方程組，未作任何簡化，只是對應于某一特征點（速度V為常數）。對方程組式（12）進行數值積分，本質上等同于對6自由度剛體彈道方程組在相應特征點上進行數值求解。因此，通過數值積分方程組式（12）來驗證解析計算模型是合理、可行的。

根據第2節的理論分析，穩定控制力只能在平衡點附近的一定鄰域內滿足穩定性，無法保證在任何條件下均實現穩定運動。

（2）非滾系解析模型的仿真結果

這里仍以上述105mm旋轉彈為例。由于非滾系解析模型無法計算彈道升弧段工況，故僅給出降弧段（θV=－43°）工況下不同控制方位角φP對應的穩定控制力NC的范圍，仍取p=±1050rad/s。將上述結果與彈軸系解析模型在相同條件下的計算結果進行對比，如圖5所示。

由圖5可知，對于降弧段工況，兩種坐標系下的模型對于右旋時相對于鉛垂平面向左的控制力穩定范圍、左旋時相對于鉛垂平面向右的控制力穩定范圍，給出了相同的估計結果（可稱為有效估計結果）。

取p=1050rad/s，θV=－43°，xC=2.96為條件，由解析模型計算可得：對于水平控制力NC·sinφP，當φP=90°時，控制力的穩定邊界為53.65N；當φP=270°時，控制力的穩定邊界為36.87N。由此可知，圖5所示兩種模型的有效估計結果與前述方程組式（12）的數值積分結果較為吻合。可見，本文利用小角度假設對滾轉角N進行線性化是合理、可行的。與彈軸系模型相比，非滾系模型消除了對控制方位角φP應用范圍的限制，這是該模型的優勢，但其缺點在于無法應用于θV>0的升弧段。當θV>0時，判別式（24）的解為空集，但對方程組式（12）進行數值積分，仍可得到穩定控制力的邊界。

值得注意的是，由于非滾系模型在推導過程中，對滾轉角N進行了小攻角假設，因而上述結論只在N不太大時成立（如N<60°）。從五階角運動方程式（15）及其平衡點表達式（20）可知，N的穩態值只涉及α，β的方程，故N的穩態值大小與控制力的大小有關。當控制力的模值越大，N也越大，并且攻角α，β也越大，此時線性化系統式（15）就和原系統相差較大，不能很好地預測角運動方程的穩態值，很可能會出現過估計的現象，這就限制了穩定性判據不等式（22）的應用范圍。

4結論

本文針對作用在有控彈箭上的相對于慣性系方向固定的控制力，提出了彈軸系和非滾系下的兩個穩定性邊界解析預測模型，用于估計控制力對彈箭角運動穩定性的影響，可量化給出穩定控制力的邊界范圍。

通過對比、分析兩個坐標系下的模型，總結出兩者各自的優勢和不足：

（1）與現有文獻模型相比，本文所建立的彈軸系模型可應用于升弧段和降弧段兩種工況；不足之處在于其給出的穩定控制力上、下界，只有其中一個足夠準確，而另一個卻由于近似處理的原因而退化為無效。

（2）由于本文所提出的非滾系模型是一個五階方程，相較于文獻中的六階方程，降低了計算復雜度。在降弧段，該模型對穩定控制力的預測結果與數值積分結果吻合較好；不足之處在于其不能用于升弧段。此外，滾轉角N的大小和控制力大小密切相關，過大的控制力會產生較大的N，導致小角度假設失效，影響分析結果的準確性。

在實際應用中，建議根據所研究有控彈箭的彈道特點、戰術技術要求等，同步利用上述彈軸系模型和非滾系模型開展穩定性邊界預測，在對兩個模型的計算與分析結果進行綜合考量后，作為理論設計的依據。

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AnalyticalPredictionModelofStabilityBoundaryfor

GuidedProjectiles

ChangSijiang*，LiDongyang

（CollegeofEnergyandPowerEngineering，NanjingUniversityofScienceandTechnology，Nanjing210094，China）

Abstract：Aimingattheproblemofprojectilestabilityundertheactionofcontrolforce，thispaperstudiedtheanalyticalpredictionmodelofstabilityboundaryforguidedprojectiles.Bylinearizingthelongitudinalaxialangularvelocityofbodyaxiscoordinate，theangularmotionequationunderthebodyaxiscoordinateisestablished.Throughlinearizingtherollanglebetweenthebodyaxiscoordinateandnon-rollingcoordinate，afive-orderequationofangularmotionisproposedunderthenon-rollingcoordinate.Usingthestabilitytheoryoflinearsystem，theanalyticalpredictionmodelofstabilityboundaryunderthebodyaxiscoordinateandnon-rollingcoordinateareobtained.Simulationsofthetwomodelsundervariousworkingconditionsareconducted.Resultsindicatethattheproposedmodelunderthebodyaxiscoordinatecanbeappliedintherisingarcsegmentandthefallingarcsegment，whereasthecontrolforceorientationislimited.Themodelunderthenon-rollingcoordinateisnotlimitedbythecontrolforceorientation，andthepredictionaccuracyisgood.Thedrawbackofthismodelisthatitcanonlybeusedforthefallingarcsection，anditsaccuracywillbeharmfullyaffectedbyexcessivecontrolforce.Itissuggestedthatthetwomodelsshouldbeappliedcomprehensivelyinpracticalengineering.

Keywords：controllableprojectiles;controllableforce;angularmotion;stability;bodyaxiscoordinate;non-rollingcoordinate

收稿日期：2022-10-17

基金項目：瞬態沖擊技術重點實驗室基金項目（6142606183107）

*作者簡介：常思江（1983-），男，廣西恭城人，博士，副研究員。