一種評估航空炸彈對集群目標毀傷效能的新方法

曾松林 韓玉龍 陳榕 邢麗

引用格式：曾松林，韓玉龍，陳榕，等.一種評估航空炸彈對集群目標毀傷效能的新方法［J］.航空兵器，2023，30（1）：25-30.

ZengSonglin，HanYulong，ChenRong，etal.ANewMethodtoEvaluateAerialBombDamageEffectivenessHittingClusterTargets［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：25-30.（inChinese）

摘要：為解決航空炸彈打擊集群目標的效能評估問題，首先對炸彈從投放到爆炸之前的運動過程進行建模，得到彈著角、斜距等參數，然后對炸彈的彈道偏差進行處理，得到基平面上的瞄準誤差模型，運用相對覆蓋函數和精度函數積分計算出炸彈打擊集群目標的預期相對毀傷，并進行了實例計算。該方法克服了傳統效能評估方法中未能考慮航空炸彈的威力半徑覆蓋集群目標各種情況的缺點，實現了航空炸彈打擊集群目標毀傷效能的科學評估。

關鍵詞：集群目標;瞄準誤差;彈道偏差;預期相對毀傷;效能評估;航空炸彈

中圖分類號：TJ414；E932.3

文獻標識碼：A

文章編號：1673-5048（2023）01-0025-06

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0037

0引言

集群目標由多個單元目標（子目標）構成，其整體功能會因單元目標（子目標）的毀傷而受到損傷。研究集群目標毀傷效能評估的方法有很多種，文獻［1］運用統計模擬法，研究集群目標毀傷效果的評估問題，但未考慮武器的戰術運用、落點散布等。文獻［2］構建集群裝備目標毀傷仿真模型，分析了發射彈藥數量和彈群中心偏移對毀傷效果的影響程度。文獻［3］通過對射擊幅員、射彈、毀傷幅員的散布規律進行分析，運用數學方法預測炮兵對集群目標的毀傷程度。文獻［4］基于集群目標，建立了末敏彈效能仿真模型。文獻［5］針對集群目標，研究了在集火射擊和瞄準點均勻分布射擊兩種條件下毀傷目標數的數學期望的解析方程式。文獻［6］采用“化四個象限積分為一個象限積分”的方法，導出射擊幅員在正面和縱深上覆蓋集群目標比值數學期望的積分表達式。文獻［7］針對幅員不大的集群目標，建立了不用改變射擊諸元情況下的末制導炮彈對典型集群目標射擊效率的評定模型。文獻［2-7］均未考慮炮彈的威力半徑沒有或部分覆蓋集群目標等情況。基于此，本文考慮航空炸彈的威力半徑全部、部分和沒有覆蓋集群目標三種情況，采用預期相對毀傷來度量航空炸彈打擊集群目標的毀傷效能。

1炸彈線性阻力模型

文獻［8］給出了炸彈在空中運動時空氣阻力加速度的仿真算法，模型考慮因素多、精度高，但編程實現復雜。為了便于編程實現，本文采用一種簡化的炸彈彈道模型。炸彈在空中下落時由于受空氣阻力作用，彈道會發生變化。炸彈投放后受力情況如圖1所示。假設炸彈所受的阻力與速度成正比。

1.1垂直運動

在垂直方向上，由牛頓第二定律可知

mg-Cdvv=mdvvdt（1）

式中：Cd為阻力系數；vv為垂直速度。

對式（1）積分可得

vv=v0v－gc0exp（－c0t）+gc0（2）

式中：c0=Cd/m；v0v為初始垂直速度。

從投放位置開始的垂直位移為

y=∫t0vvdt=1c0v0v－gc0（1－exp（－c0t））+gtc0（3）

式（2）～（3）代表了投放點至彈著點之間任意時刻的垂直速度和高度。

1.2水平運動

在水平方向上，由牛頓第二定律可知

-Cdvh=mdvhdt（4）

式中：vh為水平速度。

對式（4）積分可得

vh=v0hexp（－c0t）（5）

式中：v0h為初始水平速度。

從投放位置開始的水平位移為

x=∫t0vhdt=v0hc0（1－exp（－c0t））（6）

當y=0時，計算彈著條件，得出

1c0v0v－gc0（1－exp（－c0t））+gtc0=0（7）

將式（7）變形為

t=1c0－v0vg（1－exp（－c0t））+c0h0g（8）

式中：h0為初始高度。

然后，利用迭代算法計算炸彈空中下落時間。

彈著點的速度計算公式為

v=v2v+v2h（9）

相對水平面的彈著角：

I=atanvvvh（10）

2瞄準誤差

精度分析時，通常假設縱向、橫向分布服從高斯分布或正態分布，并且縱、橫向相互獨立。由標準正態分布的概率密度函數可知，當均值為0時，在一倍標準差（±1σ）范圍內包含了68%的樣本值，將其轉換為以概率偏差REP或DEP為單位時，則有

bREP=0.6745σx

bDEP=0.6745σy（11）

當σx=σy=σ時，有

bCEP=1.1774σ（12）

式中：bREP為縱向偏差；bDEP為橫向偏差；bCEP為圓概率偏差；σx為縱向標準差；σy為橫向標準差。

除炸彈垂直下落外，空中其他方式投放的炸彈彈藥在基面上的最終散布均不服從圓正態分布。通常將彈道偏差定義為σb，其是彈道散布在法平面的標準偏差，同時假定在法平面上服從高斯分布。該標準差可以轉換為基平面上的縱向、橫向偏差，然后分別同bREP和bDEP的平方和根，得到瞄準誤差。

將彈道偏差轉換為基面上具有同等含義的標準差，轉換時最好使用炸彈的實際軌跡長度，但計算量很大，因此使用斜距kSR作為近似值：

x=bDEP×kSR1000=0.6745×kSR×σb1000

y=bREP×kSR1000sinI=0.6745×k2SR×σb1000sinI（13）

b′REP=b2REP+x2

b′DEP=b2DEP+y2（14）

3卡爾頓函數

炸彈爆炸時，距爆點不同距離，毀傷概率不同，相應地可以繪出毀傷概率的等值線［9］。這些等值線在縱向和橫向上的分布情況與高斯分布相似，用卡爾頓函數表示，其表達式為

P（x，y）=exp－x2R2x+y2R2y（15）

式中：Rx為縱向上炸彈的毀傷半徑；Ry為橫向上炸彈的毀傷半徑。

炸彈的殺傷面積可表示為

AKILL=AF=∫+∞－∞∫+∞－∞exp－x2R2x+y2R2ydxdy=

π×Rx×Ry（16）

因此，殺傷面積等于橢圓面積。

將炸彈毀傷半徑的比率定義為

a=RxRy（17）

一般來講，該比率是炸彈彈著角的函數，并且由經驗公式可得

a=max（1－0.8cosI，0.3）（18）

有時，殺傷面積表示為有效目標長度L′EA和有效目標寬度W′EA的形式，而不同于毀傷半徑的形式：

L′EA=2Rx=1.128AF×a

W′EA=2Ry=L′EAa（19）

卡爾頓毀傷函數可用有效目標長度和寬度的形式來表示，即

P（x，y）=exp-4x2L′2EA+4y2W′2EA（20）

還可將橢圓形的殺傷面積近似為矩形。此時有效目標長度和寬度為

LEA=AF

WEA=LEAa（21）

注意：AEA≠L′EAW′EA，而是AEA=LEAWEA。LEA，WEA和L′EA，W′EA的關系如圖2所示。

需要注意的是，L′EA和W′EA與高斯或橢圓毀傷函數相關，而LEA和WEA則定義了矩形毀傷函數。

4預期相對毀傷

每個子目標均勻分布在集群目標邊界范圍之內。打擊單個目標時，沒考慮目標尺寸，但對于集群目標來說，打擊該類目標需要考慮其尺寸。本文中，集群目標縱向尺寸定義為LA，橫向為WA，如圖3所示。

圖4表示了單枚炸彈打擊集群目標的情況。可以看出，由于考慮單個目標尺寸，所以對單個目標的毀傷函數不一致，導致目標右側比左側的毀傷值大。解決這個問題的辦法有兩種，第一種方法是采用矩形卡爾頓毀傷函數；第二種方法是采用蒙特卡洛法［10］。本文采用第一種方法。

處理集群目標時，把毀傷情況計算轉化為求預期相對毀傷（EFD），這是因為集群目標內有多個子目標，而研究只關注了被毀傷的子目標。如圖5所示，集群目標的40%被炸彈矩形殺傷的區域覆蓋。假設有100個目標，這樣40個目標會受影響。如果炸彈殺傷區域內的毀傷概率為0.8，則有32個目標被毀傷。因此，預期相對毀傷（EFD）定義為

dEFD=E（FC）×PCD（22）

式中：E（FC）表示相對覆蓋；PCD表示矩形殺傷區域內的條件毀傷概率。

因此，問題可以分解為計算炸彈的縱向和橫向相對覆蓋，用E（FR）和E（FD）分別表示。

4.1采用矩形cutter毀傷函數

對于爆炸沖擊波敏感的目標，采用cutter毀傷函數，在矩形框內，毀傷概率PCD=1，其余為0，如圖6所示。

根據美軍《聯合彈藥效能手冊》，多枚炸彈打擊集群目標時，瞄準點為目標區內的隨機點，在縱向和橫向都服從均勻分布。

本文假設集群目標范圍大于炸彈的殺傷區。為了計算預期相對毀傷，假設把單枚炸彈殺傷區區域擴大到目標尺寸。擴大的炸彈殺傷區域尺寸（等于目標尺寸）由LDA和WDA代表，即有效散布區：

LDA=max（LEA，LA）

WDA=max（WEA，WA）（23）

這樣，擴大殺傷區域的條件概率變為

PCD=AEALDA×WDA（24）

式（24）能確保炸彈的毀傷效能不變。

預期相對毀傷為

dEFD=E（FC）×PCD×R=E（FC）×AEALDA×WDA×R（25）

4.2相對覆蓋

首先考慮縱向相對覆蓋，矩形殺傷區域實際上可能有三種情況，這取決于武器相對于目標中心的落點，如圖7～9所示。

圖7中，相對覆蓋FR=0。

圖8中，FR=LDA×WDALA×WA。

圖9中，炸彈殺傷區部分覆蓋目標，可考慮以下兩種情況。

（1）炸彈殺傷區覆蓋目標上方

從圖9可以看出，FR的值只是被殺傷區覆蓋一部分，在［0，1］范圍內變化：

FR=βWA（26）

從圖9可得

－WA2+β=y+WDA2（27）

將式（27）代入式（26）得到

FR=WA+WDA2WA+yWA（28）

設定FR=0，則

ymax=－WA+WDA2（29）

設定FR=1，則

ymin=-WDA-WA2（30）

當FR∈（0，1）時，有

-WDA-WA2

（2）炸彈殺傷區覆蓋目標下方

此時有

FR=WA+WDA2WA－yWA（32）

同理，當FR∈（0，1）時，有

WDA-WA2

令

s=WDA+WA2

t=WDA-WA2（34）

圖10中，相對覆蓋區簡化為函數y，即橫向上到目標中心的距離。

因為落點x是隨機變量，其均值、期望值或平均相對覆蓋值為

E（FR）=∫y=+∞y=－∞FR（y）g（y）dy（35）

式中：g（y）=1σy2πexp［－y22σ2y］。

為了求積分，可以將FR的分段函數代入計算，則

E（FR）=∫y=+∞y=－∞FR（y）g（y）dy=

1σy2π×

∫t－texp－y22σ2ydy+∫t－sLDA+LA2WA+yWA·

exp－y22σ2ydy

∫stWDA+WA2WA－yWA·exp

－y22σ2ydy（36）

同理，橫向的預期相對覆蓋為

E（FD）=∫x=+∞x=－∞FD（x）g（x）dx=1σx2π×

∫t－texp－x22σ2xdx+

∫t－sLEP+LA2LA+xLA·

exp－x22σ2xdx

∫stLEP+LA2LA－xLAexp－x22σ2xdx（37）

式中：σx，σy可由式（11）計算得到，此時bDEP，bREP為修正后的b′DEP，b′REP。

將縱向和橫向的值相乘，得出總預期相對覆蓋：

E（FC）=E（FR）×E（FD）（38）

將式（38）代入式（22），可計算出預期相對覆蓋。

假設集群目標中的目標數為m，利用計算出的dEFD，便可計算出被毀傷的目標數：

ND=dEFD×m（39）

圖11為單枚炸彈打擊集群目標的dEFD計算流程。

5算例

某飛機使用一枚炸彈（殺爆彈）打擊集群裝甲車，瞄準目標后，在2000m高度，以600km/h的速度、30°的俯沖角進行投放。已知炸彈阻力系數c0=0.005，瞄準精度bREP=bDEP=15m，彈道偏差σb=5m，殺傷面積AF=2500m2，殺傷區長寬比a=0.556，可靠性R=0.90。集群目標尺寸LA=100m，WA=60m，包含9個子目標，計算EFD和毀傷目標數。

按照計算預期相對毀傷（EFD）步驟，最終得到毀傷目標的數量為1.69個。

文獻［3］研究了炮兵打擊集群目標毀傷程度預測問題，首先建立了射彈散布坐標系、分析射擊幅員大小和毀傷幅員散布規律，最后通過計算炮兵覆蓋集群目標的概率和毀傷目標的條件概率，建立了目標毀傷程度預測模型。采用文獻［3］的方法，算例的計算結果是1.821。相比而言，本文提出的方法由于充分考慮了炸彈未覆蓋、部分覆蓋、完全覆蓋目標這三種情況，所以計算結果要更合理。

改變算例中飛機的投彈高度、速度，計算結果如圖12～13所示。可以看出，隨著高度和速度增加，EFD逐漸減小。原因是瞄準誤差隨著高度和速度增加，造成了EFD減小。

6結束語

本文分析了當前各種武器打擊集群目標的效能評估方法的優缺點，并在此基礎上針對航空炸彈打擊集群目標的特點，提出一種評估航空炸彈對集群目標毀傷效能的新方法。該方法充分考慮航空炸彈威力半徑覆蓋集群目標的各種可能范圍，因此能獲得更準確的評估結果。但航空炸彈的矩形毀傷函數計算難度較大，不同的彈種，以及不同的投彈速度、高度、彈目交會條件，都會影響該函數的大小。下一步，將建立一個通用表格，通過查表就能找到對應毀傷面積。

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ANewMethodtoEvaluateAerialBombDamage

EffectivenessHittingClusterTargets

ZengSonglin*，HanYulong，ChenRong，XingLi

（NavalAviationUniversity，Yantai264001，China）

Abstract：Inordertosolvetheproblemofeffectivenessevaluationofaerialbombshittingclustertargets，thispaperfirstlymakesmodelingofthemovementprocessoftheaerialbombfromdroptoexplosion，getstheparametersofimpactangleandobliquedistance，anddealswiththeballisticdeviationoftheaerialbomb，thenobtainstheaimingerrormodelonthebaseplane.Byusingrelativecoveragefunctionandprecisionfunctionintegral，theexpectedrelativedamage（EFD）ofasingleaerialbombhittingclustertargetiscalculated，andanexamplecalculationiscarriedout.Thismethodovercomesthedisadvantagethatthetraditionaleffectivenessevaluationmethodfailstoconsiderthepowerradiusofaerialbombcoveringallkindsofclustertargets，andcanrealizethescientificevaluationofthedamageeffectivenessofaerialbombattackingclustertargets.

Keywords：clustertarget;aimingerror;ballisticdeviation;EFD;effectivenessevaluation;aerialbomb

收稿日期：2022-03-01

基金項目：國家社會科學基金項目（2022-SKJJ-C-027）

*作者簡介：曾松林（1982-），男，湖南汨羅人，講師，博士。