利用“拋物線與三角形”再探投籃動作

熊海金 吳梓俊 黎燕琪 覃麗英 楊立英

［摘 要］文章基于《利用“拋物線與三角形”增進投籃動作之初探》一文的研究，在“投球”動作三角形模型與籃球運動軌跡“拋物線”模型的整體模型中新增籃球運動軌跡最高點模型，通過模型分析與求解，推算一定身高、肩高、臂長的未成年男子的投籃速度范圍、投籃角度范圍以及籃球最高點的范圍，同時增添未成年人人體尺寸數據，研究年齡帶來的手臂變化對“舉球”動作的影響。

［關鍵詞］拋物線；三角形；投籃動作；模型

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0031-05

一、緒論

籃球運動對人體健康具有積極的促進作用，規范的投籃動作可以促進籃球運動的發展。因此，規范的投籃動作值得深入探究。發表在中文國際期刊《國際應用數學進展》中的《利用“拋物線與三角形”增進投籃動作之初探》（簡稱《初探》）一文，在籃球運動軌跡“拋物線”模型的基礎上，以數理分析法與函數分析法建立投籃動作“三角形”模型，對單手肩上投籃動作的“投球”和“舉球”兩個要點進行初步探索［1］。在投籃動作模型的研究中，關于球員的肩高、前臂和上臂數據選自2021年修改的標準編號為20200842-T-469的《中國成年人人體尺寸》（征求意見稿），并采用取中位數的方法從中選擇了百分位數P50數據，最終通過模型推導得出如下結論：

第一，投籃距離不等于球員與籃筐的距離，投籃距離與球員的手臂長度相關；球員的身高不等于投籃的高度，投籃高度與球員肩部高度和手臂長度相關。

第二，“投球”動作結束時，手臂與水平地面的夾角[α]與出手后籃球獲得的初速度方向與水平地面的夾角[θ]（即投籃角度）不相等。當投籃高度[H0]一定時（球員的手臂長度不變，手臂與水平地面的夾角[α]也不變），投籃角度[θ]的最直接的影響因素是投籃距離。

第三，肩高[138.9 cm]、手臂長[79.7 cm]的成年男子進行中遠距離投籃時，投籃角度越小，投籃速度越大，其中，投籃角度的最佳范圍是[53.87°<θ<61.32°]，投籃速度的最佳范圍是[5.86 m/s

第四，隨著年齡的增長，中國成年人單手肩上投籃動作中的“舉球”動作會受到年齡帶來的手臂變化的影響。成年男子的影響范圍在[0.0107]～[0.0472]，成年女子的影響范圍在[0.00183]～[0.00851]，相比之下，成年男子受到年齡的影響略大于成年女子，但總體而言影響較小。

第五，“舉球”動作中的發力角[β]與球員的前臂和上臂長度相關，而在由前臂與上臂構成的直角三角形中發力的投籃效果優于在前臂與上臂構成的銳角三角形和鈍角三角形中。

基于此，我們試在《初探》一文的基礎上，細化模型求解的過程，填補模型中沒有求解的投籃拋物線的最高點以及增加《中國未成年人人體尺寸》的數據，比較未成年人和成年人的投籃動作與肩高、前臂和上臂的相關性。我們試建立如圖1所示的工作模型。

我們在通過《初探》中的文獻綜述可知，很多學者熱衷于籃球運動軌跡的研究，對于投籃動作的研究大多以教師為主，且均是從生物力學角度進行研究。在籃球運動軌跡的研究中，就目前查閱到的文獻來看，1984年，籍傳翔是首個以“拋物線曲線方程”模型對籃球運動軌跡進行分析的學者，他認為出手速度與投籃高度、投籃距離相關，出手角度的范圍在45°左右［2］。此后的數十年間，諸如王浩羽、李霏雯、張鶴揚等不少學者在籍傳翔的“拋物線曲線方程”模型的基礎上對投籃角度、籃球運動軌跡、籃球入射的角度、籃球運動軌跡高度、后旋球投籃以及投籃命中率等問題進行了研究，雖然取得了一定的研究成果，但是研究跨度時間較長，而且較為散亂。2021年，在前人的研究基礎上，劉旭光、趙汝卿、張雅男以籃球受到的重力、空氣阻力和瑪格努斯力三種力為基礎建立“三力”模型，利用仿真求解籃球的飛行軌跡，通過命中率得到投籃時的最佳出手狀態［3］。至此，劉旭光、趙汝卿、張雅男的研究開始涉及投籃動作。總體而言，在之前的研究中，學者們均是將“投籃動作”和“籃球運動軌跡”脫離開來，對于將投籃動作與籃球運動軌跡高度相結合的模型研究基本空白。為此，我們嘗試在《初探》中所論述的模型中增補籃球運動軌跡的最高點，從而細化模型，并對前期模型求解過程的細則進行補充。另外，增補《中國未成年人人體尺寸》的數據，以比較未成年人與成年人之間的差異。

四、研究討論與結果

本研究模型中，關于未成年人的肩高、前臂和上臂數據，均采用全國標準信息公共服務平臺2011年7月1日的標準號為GB/T 26158-2010的《中國未成年人人體尺寸》中的數據。其中人體尺寸用百分位數表示，稱為人體尺寸百分位數，并分別給出了人體基礎尺寸數據11個百分位數統計值，分別為P1、P2.5、P5、P10、P25、P50、P75、P90、P95、P97.5、P99。本研究采用取中位數的方法選擇了百分位數P50數據，如表2所示［4］。

根據表2中的數據，結合“投球”動作三角形模型與籃球運動軌跡“拋物線”模型的整體模型，假定一個未成年男子在11歲至12歲之間，其身高為[146.6 cm]、肩高為[116.9 cm]、臂長為[47.4 cm]，若該男子進行中距離（三分線內三秒區外）投籃，實際測量其投籃出手點為[H0=157 cm]，可求得[sinα≈0.84599]，[cosα≈0.28430]，反解得[α≈1.00842]，將其轉化為角度制得[α≈57.77°]。當該男子進行中距離投籃時，[2.75 m≤J<6.75 m]；當[J=2.75 m]時，投籃角度的范圍為[61.06°<θ<79.33°]便可進球，此時投籃速度的范圍是[5.24 m/s

將表2中的數據代入“舉球”動作三角形模型方程（方程（1））可得未成年人手臂變化對“舉球”動作的影響數據，再將其與《初探》一文中成年人手臂變化對“舉球”動作的影響數據進行比較，結果如表3所示。

通過以上模型推導得出如下結論：

第一，身高為[146.6 cm]、肩高為[116.9 cm]、臂長為[47.4 cm]的未成年男子，進行中距離投籃，即[2.75 m≤J<6.75 m]時，投籃角度越小，投籃速度越大，則該男子的中距離投籃由遠到近的最佳投籃角度為[52.76°<θ<60.74°]，最佳出手速度由近到遠的范圍是[5.33 m/s

第二，身高為[146.6 cm]、肩高為[116.9 cm]、臂長為[47.4 cm]的未成年男子，進行中距離投籃時，籃球運動軌跡的最高點豎直方向上距離地面在[3.112]～[3.204 m]，水平方向上距離籃筐在[1.026]～[3.366 m]，這樣的情況下投籃命中率較高。

第三，未成年人隨著年齡的變化，肩上單手投籃的“舉球”動作會受到年齡帶來的手臂變化的影響，未成年男子的影響范圍為[0.01071]～[0.04717]，未成年女子的影響范圍為[0.0065]～[0.5822]，總體來說未成年女子受到年齡的影響略大于未成年男子，但總體而言影響較小。

第四，成年人“舉球”動作中的發力角[β]大于未成年人，近乎是未成年人的2倍。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?宋方珺，熊海金，林宜甲，等.利用“拋物線與三角形”增進投籃動作之初探［J］.國際應用數學進展，2022（1）：16-24.

［2］ ?籍傳翔.投籃模型［J］.數學的實踐與認識，1984（1）：60-62.

［3］ ?劉旭光，趙汝卿，張雅男.“三力”模型下籃球投籃最佳角度的實驗研究［J］.四川體育科學，2021（5）：57-61.

［4］ ?全國標準信息公共服務平臺.中國未成年人人體尺寸：GB/T 26158-2010［S/OL］.［2011-07-01］http：//std.samr.gov.cn/gb.

（責任編輯 黃春香）