基于類平衡矩陣的桁架構件重要性計算方法

周雅，王方，蔡建國，馮健

［混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室（東南大學），江蘇 南京210096］

近年來，突發事件引起的結構連續性倒塌問題已受到國內外的廣泛關注.偶然荷載下建筑結構的連續性倒塌會對生命、財產安全造成極其巨大的傷害和損失，而此時增強結構抵抗局部破壞持續引發其他構件連續性破壞的能力即魯棒性，則往往比直接抵抗偶然荷載更有效和實用［1］.國內外學者對魯棒性的定義仍有較大爭議［2］，但總體上魯棒性反映了結構對局部破壞的不敏感性.對魯棒性理論進行研究是提高結構抗連續性倒塌性能的基礎.目前國內外針對結構魯棒性的定量分析主要從兩個方面出發：結構屬性及結構性能［3］.前者涉及結構體系拓撲和剛度分布，后者主要基于結構承載力與變形.如Blockley 等［4］通過分析不同初始破壞對結構系統的影響，識別其薄弱環節，提出了結構脆弱性評價理論；Jiang 等［5］提出判斷關鍵桿件的方法以及基于線性靜態分析程序的安全評估方法；葉列平等［6］通過理論推導定義了考慮荷載作用的廣義結構剛度以進行構件重要性計算；黃靚等［7］從結構承載力出發建立了魯棒性量化方法；陳永亮等［8］基于抗力利用率，提出了構件易損性系數量化方法；霍靜思等［9］定義節點延性系數，提出了采用該系數評估連續倒塌過程中節點延性的方法；Tavakoli 等［10］針對框架結構體系，提出基于能量理論的魯棒性指標.目前魯棒性理論已應用于各類框架結構［10-12］、空間網格［13-15］等結構體系的設計計算中.

對于簡單結構如桁架結構體系，采用基于結構屬性的魯棒性指標具有簡潔清晰、計算方便的優勢，雖然無法考慮彈塑性動力效應的影響，但仍廣泛應用于空間結構中.構件重要性系數能體現突發事件下單一構件破壞對整體結構性能的影響程度，因此一些學者建議采用構件重要性系數作為評價魯棒性的指標［3］.如Nafday［16］通過比較拆除單一構件后剩余結構的剛度矩陣行列式與原始結構的整體剛度矩陣行列式，判別此構件失效對結構整體剛度的影響；蔡建國等［17-19］通過基于概念判斷的敏感性分析方法對網架結構進行重要構件評估，并利用剛度矩陣的特征值分析空間桁架結構的構件重要性.另外，數值方法也常應用于構件重要性判斷，如Brunesi 等［20］將有限元方法與數值方法相結合，模擬柱構件拆除后的結構損傷機制.目前，關于構件重要性系數的計算方法較多，可基于結構剛度矩陣［6］，也可引入結構承載力系數［21］或結構內力轉化矩陣［22］等.如朱南海等［23］建立了構件冗余度及其易損性評價指標，并將構件的重要性指標定義為構件易損性系數與冗余度系數的比值；蔣淑慧等［24］利用剩余結構冗余度分布系數，定量分析桿系結構中的構件重要性；張立森等［25］將構件內力分項計算值與抗力分項值之比定義為構件重要性系數，以體現構件抗力的利用水平.

現有研究中，基于剛度的重要構件判斷方法主要采用初始剛度或變形后的材料剛度，適用于一般的框架結構.然而，空間網格結構跨度較大、桿件數目較多且具有幾何非線性特征，材料剛度與幾何剛度的計算過程較為復雜.為了簡化計算過程、提高計算效率，在基于剛度的重要構件判斷方法基礎上，選取剛度矩陣行列式作為結構的響應.在假設各桁架桿件線剛度近似相等、不考慮結構應力剛化作用或應力剛化所貢獻的剛度很小的前提下，通過數學推導，將基于剛度的重要構件判斷方法簡化為基于類平衡矩陣的重要構件判斷方法，并進行算例分析驗證.

1 類平衡矩陣

假定結構體系中任一自由節點k分別與其他N個節點（編號為k1，…，kN）連接，形成某鉸接桿件體系（圖1）.當該結構體系處于平衡狀態時，自由節點k處各桿件的內力與外力互相平衡.將桿件內力作為基本未知量，建立節點平衡方程為：

圖1 節點連接示意Fig.1 Connecting joint diagram

式中：xk、yk、zk為節點k在整體坐標系中的三向坐標值；xkw、ykw、zkw為其他N個節點中任一節點kw在整體坐標系中的三向坐標值；Lkkw為連接節點k、kw的桿件長度；Fkkw為連接節點k、kw的桿件實際內力；Fkx、Fky、Fkz分別為節點k的外力在x、y、z方向上的分量.

進行規整化處理時采用力密度代替實際內力.連接節點k、kw的桿件力密度可表示為：

對于整個結構體系，可以依次對每一個自由節點建立如式（1）所示的平衡方程，集成整合后的整體平衡方程為：

平衡矩陣的組成元素包含了結構體系的節點坐標信息和節點連接關系.矩陣行元素為各桿件內力在節點某一自由度上的分量系數，矩陣列元素為某桿件內力在各節點自由度上的分量系數.

對節點平衡方程重新進行規整化處理，將桿件實際內力作為未知量，把桿件長度融入平衡矩陣中，則平衡方程可改寫為：

式中：F為桿件內力向量；A為類平衡矩陣，維數為dn×m；L-1為由桿件長度倒數組成的對角矩陣.

2 構件重要性系數與類平衡矩陣的關系

對于某鉸接桿件體系，若不考慮應力剛化的影響或應力剛度所貢獻的剛度很小，則切線剛度矩陣表達式可以簡化為：

式中：G為由桿件線剛度組成的對角矩陣，維數為m×m；Q為由力密度向量組成的對角矩陣.由此可見，切線剛度矩陣可以轉化為材料剛度矩陣.

令li、ei、ai分別為結構體系中任一桿件i的長度、彈性模量和截面面積.若結構體系中各桿件的線剛度都相等，即eiai/li=g，則其線剛度矩陣可表示為G=gI，其中g為桿件的線剛度，I為m×m的單位矩陣.切線剛度矩陣可簡化為：

基于桿件敏感性分析，將無荷載作用下結構體系中桿件i的重要性系數αi定義為：

式中：γ0為正常情況下結構的初始響應；γi為桿件i失效后結構的響應.

將簡化后的剛度矩陣（6）代入式（7）中可得：

式中：K0、A0分別為完整結構的剛度矩陣與類平衡矩陣；Ki、Ai分別為桿件i失效后的結構剛度矩陣與類平衡矩陣.由此可知，當鉸接桿件體系的各桿件線剛度相等、不考慮結構應力剛化作用或應力剛化所貢獻的剛度很小時，構件重要性系數只與類平衡矩陣有關.

3 類平衡矩陣的奇異值分解

矩陣奇異值分解是矩陣對角化分解的一種類型，廣泛應用于最優化問題、系統理論和控制及圖像處理等領域中.對于某矩陣B∈Rs×t，矩陣的秩為r，矩陣B的奇異值為t階方陣BTB（或s階方陣BBT）的正特征值的平方根，在Matlab 軟件中可通過［USV］=svd（B）對B進行如下形式的奇異值分解：

式中：U和V為2 個相互正交矩陣，分別為左奇異矩陣和右奇異矩陣；Λ=diag（σ1，σ2，···，σr，），其中為奇異值，λp為方陣BTB的特征值，且p∈［1，r］.

當結構體系處于平衡臨界狀態時，結構剛度矩陣的最小特征值為0.當最小特征值小于0 時，表明結構無法維持平衡.因此，一般情況下，結構的剛度矩陣特征值均大于0.由此可知，對于第1 節中處于平衡狀態的自由節點總數為n的結構體系，剛度矩陣K∈Rdn×dn的秩r=dn，為滿秩矩陣.剛度矩陣的特征值列向量可表示為：

若結構中各桿件的線剛度均相等，則根據式（6）可知，方陣AAT∈Rdn×dn的特征值列向量為：

式中：桿件的線剛度g＞0.

如果某鉸接體系具有足夠的外部約束，基于Maxwell 準則進行幾何穩定性分析時，其靜定、動定的必要條件為：

若體系滿足式（12），則其平衡方程數與未知量數相等，方程組有唯一解，即結構存在唯一的內力態和變形態.

依照Maxwell 準則，一般情況下，鉸接體系滿足條件m≥dn，因此矩陣A的秩r≤dn，即其奇異值階數小于或等于dn.根據矩陣奇異值分解的數學定義，類平衡矩陣A∈Rdn×m的奇異值σq是方陣AAT正特征值的平方根，則由矩陣A奇異值組成的列向量為：

式中：σiq、σq分別為桿件i失效后及失效前類平衡矩陣A的第q個奇異值.由式（15）可知，提出的構件重要性系數可以直接利用類平衡矩陣A的奇異值進行計算，而無須集成整體剛度矩陣，故可簡化步驟，提高計算效率.

若將構件i的重要性系數重新定義，將響應更改為類平衡矩陣A的奇異值乘積，則構件i的重要性系數為：

綜上所述，在假設條件下，可根據式（15）計算基于剛度的構件重要性系數αi，修正結構響應的表達后，可根據式（16）計算基于類平衡矩陣的構件重要性系數αiA.比較式（15）與式（16），雖然兩者計算的重要性系數值不同，前者稍大于后者，但構件在整體結構上的重要性排序一致.因此，可以采用式（16）來判斷構件在整體結構中的重要性.

4 算例分析

算例1 為如圖2 所示的某二維桁架結構.圖中，N1～N4為該桁架的節點，M1～M6為該桁架的桿件單元，該桁架結構的自由節點數為2，滿足Maxwell準則，因此剛度矩陣的特征值階數為2×2=4.為簡化說明，參數均采用無量綱.假定桿件M3、M4的截面剛度為1.414，桿件M1、M2、M5、M6的截面剛度為1，長度均為1，則各桿件的線剛度均為1.算例1 中完整結構體系的剛度矩陣特征值和類平衡矩陣的奇異值見表1.根據式（15）和（16）計算得到的構件重要性系數見表2.表2 中αi與αiA為該桁架結構中桿件i分別基于剛度及類平衡矩陣的構件重要性系數.

表1 算例1的特征值與奇異值計算結果Tab.1 Eigenvalues and singular values of example 1

表2 算例1的構件重要性系數計算結果Tab.2 Calculated component importance coefficients of example 1

圖2 算例1的桁架體系示意圖Fig.2 Schematic diagram of truss system of example 1

由表1 可知，剛度矩陣特征值與類平衡矩陣奇異值的平方呈線性關系，結果與式（14）一致.由表2可知，算例1 中M2、M5、M6為最重要的桿件，M3、M4桿件次之，M1桿件最不重要.雖然基于類平衡矩陣的構件重要性系數αiA小于基于剛度的構件重要性系數αi，但兩種重要性構件判斷方法的計算結果一致.

算例2 為3 個相同網格單元組成的某二維桁架結構，如圖3 所示.圖中，P1～P8為該桁架的節點，E1～E16為該桁架的桿件單元，其中自由節點數為6，滿足Maxwell準則，因此剛度矩陣的特征值階數為2×6=12.為計算方便，采用無量綱參量表示截面剛度與幾何參數，假設單網格的跨度和高度均為1，桿件的線剛度均為1.分別計算算例2 完整結構體系的剛度矩陣特征值和類平衡矩陣的奇異值，結果見表3.分別按照式（15）和式（16）計算構件的重要性系數，利用結構體系的對稱性，可只計算左半側的桿件，結果見表4.

表3 算例2的特征值與奇異值計算結果Tab.3 Eigenvalues and singular values of example 2

圖3 算例2的桁架體系示意圖Fig.3 Schematic diagram of truss system of example 2

由表3 可知，剛度矩陣特征值與類平衡矩陣奇異值的數學關系與式（14）一致，特征值與奇異值的平方成正比，因此在計算重要性系數時可以直接代入類平衡矩陣的奇異值.由表4 可知，算例2 半結構中E1、E7為最重要的桿件，E5為最不重要桿件.同算例1，基于類平衡矩陣的構件重要性系數αiA小于基于剛度的構件重要性系數αi.雖然兩種重要性構件判斷方法采用的結構響應不同，但基于類平衡矩陣與基于剛度的重要構件判斷方法計算結果一致.

算例3 為如圖4 所示的一三維桁架結構.其中，J1～J12為節點，H1～H31為桿件單元，其中自由節點數為8，因此剛度矩陣的特征值階數為3×8=24.參數均采用無量綱，則各桿件的線剛度均為1，底部共有4 個約束點.計算三維算例3 剛度矩陣特征值和類平衡矩陣的奇異值，見表5.利用結構體系的對稱性，半結構構件的重要性系數見表6.

表5 算例3的特征值與奇異值計算結果Tab.5 Eigenvalue and singular values of example 3

表6 算例3的構件重要性系數計算結果Tab.6 Calculated component importance coefficients of example 3

圖4 算例3的桁架體系示意圖Fig.4 Schematic diagram of truss system of example 3

表5 中剛度矩陣特征值與類平衡矩陣奇異值的關系與算例1、2 相同.由表6 可知，算例3 半結構中H3、H5、H13、H16、H17同為最重要的桿件.H12重要性系數最小，為0，因其連接在兩個約束之間，屬于不受力構件，證明了重要性系數計算的正確性.基于類平衡矩陣的構件重要性系數αiA總體上小于基于剛度的構件重要性系數αi.基于數值排序，其重要構件判斷方法計算結果一致.

根據以上3 個典型算例的分析結果可知，當不考慮結構應力剛化作用或應力剛化所貢獻的剛度很小且各桿件線剛度相同時，可采用以類平衡矩陣奇異值乘積為響應的重要性系數來判斷鉸接桿件體系的構件重要性.

5 結論

1）當鉸接桿件體系的各桿件線剛度近似相等，且不考慮結構應力剛化作用或應力剛化所貢獻的剛度很小時，構件重要性系數只與類平衡矩陣有關.

2）對類平衡矩陣進行奇異值分解，建立剛度矩陣特征值與類平衡矩陣奇異值的數學關系式.以類平衡矩陣奇異值乘積為響應，提出了一種基于類平衡矩陣的重要性構件判斷方法.

3）算例分析結果表明，基于類平衡矩陣的重要構件判斷方法與基于剛度的重要性構件判斷方法計算結果一致.

4）基于類平衡矩陣的重要構件判斷方法是一種切實可行的空間結構重要構件快速計算方法.