無筋超高性能混凝土板的受彎性能及承載力計(jì)算

蘇捷，陳俊廷，方志，3?，陳佳醒，曹清，周騰

［1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082；2.綠色先進(jìn)土木工程材料及應(yīng)用技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（湖南大學(xué)），湖南 長沙 410082；3.風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（湖南大學(xué)），湖南 長沙 410082；4.廣東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院集團(tuán)股份有限公司，廣東 廣州 510507］

超高性能混凝土（Ultra High Performance Concrete，UHPC）以其高強(qiáng)、高韌和高耐久性等特征有望在工程結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用［1-3］.由于基體內(nèi)鋼纖維的存在，即使不配置鋼筋，UHPC 受彎構(gòu)件受拉區(qū)的鋼纖維也可有效抑制裂縫的開展并使構(gòu)件具有較高的抗彎承載力［4-7］.采用無筋UHPC可使結(jié)構(gòu)輕薄、易于成型并大幅簡化施工［8-9］，因此無筋UHPC 板在國內(nèi)外非重載的板殼結(jié)構(gòu)中得到較廣泛的應(yīng)用.如國內(nèi)多條高速鐵路或客運(yùn)專線上使用的無筋UHPC 人行道板、電纜槽蓋板和軌道板［10-13］；Shawnessy 輕軌車站采用了板厚僅為20 mm 的無筋UHPC 薄殼屋蓋［14］；Millau Viaduct 收費(fèi)站使用無筋UHPC 建造了面積達(dá)2 800 m2的屋蓋［15］.

國內(nèi)外學(xué)者對無筋和配筋UHPC 板的受力性能進(jìn)行了研究.余自若等［4］對5 塊鋼纖維摻量為3.5%的無筋UHPC 單向板進(jìn)行了受彎試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)板在開裂后仍能承擔(dān)較大的荷載；Duque 等［5］對18 塊鋼纖維摻量為2%的無筋UHPC 單向板進(jìn)行了彎曲破壞試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)相比于鋼纖維取向垂直板帶方向的試件，鋼纖維取向沿板帶方向試件的受彎承載力提升約1.4 倍；Harris［16］對12 塊鋼纖 維摻量 為2%的無筋UHPC 方板進(jìn)行了局部加載試驗(yàn)，其中5 塊板發(fā)生受彎破壞、7 塊板發(fā)生沖切破壞，確定了避免發(fā)生沖切破壞的臨界板厚；樊健生等［17］對11 塊鋼筋UHPC 單向板進(jìn)行了局部加載試驗(yàn)，基于塑性極限法提出了配筋UHPC 單向板的抗彎承載力計(jì)算方法；Zohrevand 等［18］對局部后澆鋼筋UHPC 方板進(jìn)行了局部加載試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)利用塑性鉸線法能較好地預(yù)測板的抗彎承載力；周凱［19］對10 塊局部后澆鋼筋UHPC 方板進(jìn)行了沖切試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)UHPC 的加入能使板由脆性的沖切破壞轉(zhuǎn)為延性的彎曲破壞；方志等［20］對9 塊局部荷載作用下鋼筋UHPC 方板的抗沖切性能進(jìn)行了試驗(yàn)研究，提出了可考慮局部荷載作用位置影響的抗沖切承載能力計(jì)算方法.目前對于無筋UHPC單向板的受力性能研究較多，但鮮見關(guān)于無筋UHPC方板抗彎性能的研究報(bào)道.

預(yù)測UHPC 受彎構(gòu)件的抗彎承載能力時(shí)，宜考慮截面受拉區(qū)UHPC 的抗拉作用以反映UHPC 較高抗拉強(qiáng)度的有利作用.為簡化UHPC 構(gòu)件的抗彎承載力分析，一般將極限狀態(tài)時(shí)截面受拉區(qū)較復(fù)雜的拉應(yīng)力分布等效為矩形分布來計(jì)入U(xiǎn)HPC 的抗拉作用，其應(yīng)力大小為kft，ft為UHPC 的抗拉強(qiáng)度，k為受拉區(qū)等效均布應(yīng)力折減系數(shù).楊劍等［21］基于9 根配筋UHPC 梁的彎曲性能試驗(yàn)結(jié)果，建議k取0.5；劉超等［22］基于5根配筋UHPC梁的彎曲破壞試驗(yàn)結(jié)果，建議k取0.9；瑞士超高性能混凝土設(shè)計(jì)指南建議k取0.9［23］；彭飛等［24］分析了配筋率、梁高、鋼纖維長度和預(yù)應(yīng)力水平等參數(shù)對配筋UHPC 梁系數(shù)k的影響，提出了考慮構(gòu)件尺寸效應(yīng)影響的系數(shù)k的取值方法.現(xiàn)有關(guān)于構(gòu)件受拉區(qū)UHPC 等效均布應(yīng)力折減系數(shù)k的研究主要集中在配筋的梁式構(gòu)件且其取值范圍變化較大.

不同于UHPC 梁式構(gòu)件中鋼纖維的三維分布，UHPC 薄板中的鋼纖維更趨向于二維分布狀態(tài)并有利于構(gòu)件彎曲性能的改善［25］；不同于配筋UHPC 梁的極限狀態(tài)一般由受壓區(qū)UHPC 達(dá)到其極限應(yīng)變控制，極限狀態(tài)時(shí)無筋UHPC 板受壓區(qū)應(yīng)力將遠(yuǎn)低于其抗壓強(qiáng)度，板的破壞通常由受拉區(qū)UHPC 達(dá)到其極限拉應(yīng)變所控制，因此鋼纖維的影響會(huì)更趨顯著［26］，受拉區(qū)UHPC 等效均布應(yīng)力折減系數(shù)k的取值亦可能會(huì)有所不同.

基于此，本文首先對無筋UHPC 單向板和方板分別進(jìn)行彎曲破壞試驗(yàn)，以期明確相應(yīng)的受力破壞特征；再基于UHPC 的軸拉試驗(yàn)結(jié)果，提出不同鋼纖維摻量UHPC 的受拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系并用其對單向板的受彎性能進(jìn)行數(shù)值分析，以期確定UHPC 受拉區(qū)等效均布應(yīng)力折減系數(shù)k的合理取值，并建立無筋UHPC單向板截面抗彎承載力的簡化計(jì)算方法；最后依據(jù)方板的破壞特征選取合理的破壞機(jī)構(gòu)對其進(jìn)行塑性極限分析，以期明確塑性鉸線法確定無筋UHPC方板極限承載能力的適用性.

1 試驗(yàn)概況

1.1 試件設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)和制作了無筋UHPC 單向板和方板各1 塊.單向板試件尺寸（長×寬×厚）為900 mm×430 mm× 60 mm，方板試件尺寸（長×寬×厚）為900 mm× 900 mm×80 mm，計(jì)算跨徑均為800 mm，如圖1 所示.其中方板試件采用了較大的板厚（80 mm）和較小的跨厚比（1/10），以使板在集中荷載作用下發(fā)生期望的受彎破壞而非沖切破壞.

圖1 截面尺寸（單位：mm）Fig.1 Dimension of section（unit：mm）

1.2 材性試驗(yàn)

試件所用UHPC 材料為商品預(yù)混料.配合比（質(zhì)量比）見表1.UHPC 中所摻鋼纖維為鍍銅平直鋼纖維，體積摻量為2%，直徑為0.2 mm、長度為13 mm、長細(xì)比為65，抗拉強(qiáng)度大于2 000 MPa.

表1 UHPC配合比Tab.1 Mixture ratios of UHPC

依據(jù)《活性粉末混凝土》（GB/T 31387—2015）［27］，立方體抗壓強(qiáng)度采用邊 長100 mm 的立方體進(jìn)行測量，棱柱體抗壓強(qiáng)度和彈性模量采用100 mm×100 mm×300 mm 棱柱體測量，抗折強(qiáng)度采用100 mm× 100 mm×400 mm 棱柱體測量；UHPC 軸拉性能參考《超高性能混凝土基本性能與試驗(yàn)方法》（T/CBMF 37—2018）中建議的狗骨頭形狀試件確定［28］，如圖2 所示.實(shí)測UHPC 的抗壓強(qiáng)度、抗折強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度和彈性模量見表2.

表2 實(shí)測UHPC的性能Tab.2 The measured properties of UHPC

圖2 軸拉性能試件尺寸及加載裝置（單位：mm）Fig.2 Axis tension specimen dimension and loading device（unit：mm）

1.3 加載方式與測點(diǎn)布置

單向板一端為固定鉸支座，另一端為滑動(dòng)鉸支座；方板相鄰兩邊的支承為固定鉸支座，另外兩邊為滑動(dòng)鉸支座以實(shí)現(xiàn)方板的四邊簡支.由50 t 液壓千斤頂進(jìn)行加載，采用壓力傳感器測定荷載大小.如圖3（a）所示，單向板加載裝置中借助橫向分配梁及其下方寬10 cm的矩形橡膠墊塊實(shí)現(xiàn)跨中橫向線荷載的施加；如圖3（b）所示，方板加載裝置中千斤頂下放置鋼制球鉸以保證加載方向垂直于試件表面，板跨中局部加載板邊長為70 mm×70 mm，加載板下放置與加載板大小一致的橡膠墊塊以保證荷載由加載鋼板均勻傳至試件.

圖3 加載裝置Fig.3 Loading derice

試驗(yàn)采用分級加載.峰值荷載前采用力控制加載，峰值荷載后改為位移控制加載，當(dāng)荷載下降至峰值荷載的85%時(shí)終止加載.板的實(shí)測抗彎承載力均取峰值荷載.

采用百分表測量試件加載位置和支承中心處的豎向位移，單向板跨中截面左、右兩側(cè)對稱位置設(shè)2個(gè)位移測點(diǎn)；在單向板試件跨中沿截面高度布置應(yīng)變片以測量截面的應(yīng)變分布，在方板試件頂面沿加載板周邊布置應(yīng)變片以測試板頂不同位置的混凝土應(yīng)變.測點(diǎn)布置如圖4所示.

圖4 測點(diǎn)布置（單位：mm）Fig.4 The measuring point layout（unit：mm）

2 試驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 UHPC軸拉性能

不同鋼纖維摻量UHPC 軸拉性能試驗(yàn)結(jié)果如 表3 和圖5 所示.定義圖5 所示軸拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線初始線性上升段末端的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為基體開裂點(diǎn)或彈性極限點(diǎn)，對應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變分別為初裂應(yīng)力σte和初裂應(yīng)變?chǔ)舤e，斜率為彈性模量Ec；受力過程中經(jīng)歷的最大應(yīng)力點(diǎn)為峰值點(diǎn)，對應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變分別為峰值應(yīng)力σtp和峰值應(yīng)變?chǔ)舤p；峰值應(yīng)力點(diǎn)后應(yīng)力下降至峰值應(yīng)力85%處的點(diǎn)定義為極限點(diǎn)，相應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變稱為極限應(yīng)力σtu和極限應(yīng)變?chǔ)舤u.基體開裂點(diǎn)、峰值點(diǎn)和極限點(diǎn)間的曲線近似呈線性變化.不同于不含鋼纖維的素UHPC 開裂后即斷裂，即使1%鋼纖維摻量的UHPC，基體開裂后仍能繼續(xù)耐受變形，但曲線呈現(xiàn)軟化特征；當(dāng)鋼纖維摻量增加到2%時(shí)，基體開裂后表現(xiàn)出應(yīng)變強(qiáng)化特征.基于文獻(xiàn)［29］及本文試驗(yàn)結(jié)果，分別采用如圖6 所示的雙折線和三折線來描述應(yīng)變軟化和硬化UHPC的軸拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.

表3 UHPC軸拉性能試驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Test results of UHPC under axial tensile

圖5 不同鋼纖維摻量UHPC軸拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.5 Axial tension stress-strain relationship of UHPC with different steel fiber content

圖6 UHPC軸心受拉本構(gòu)關(guān)系Fig.6 Constitutive model of UHPC under axial tension

采用纖維特征參數(shù)λf［如下述式（4）］來描述鋼纖維對UHPC 抗拉性能的影響［30］.為明確纖維特征參數(shù)對圖6所示UHPC軸拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線中峰值應(yīng)變?chǔ)舤p和極限應(yīng)變?chǔ)舤u的影響，收集了國內(nèi)外文獻(xiàn)中的120 個(gè)UHPC 軸拉試驗(yàn)數(shù)據(jù)［4，29-39］，如圖7 和圖8 所示.樣本試件的鋼纖維摻量為1%～4%，纖維長度為9～25 mm，長徑比為45～125，相應(yīng)的鋼纖維特征參數(shù)變化范圍為0.65～2.6.從圖中可以看到：當(dāng)λf≤0.8 時(shí)，UHPC 表現(xiàn)為應(yīng)變軟化，峰值應(yīng)變?chǔ)舤p即為初裂應(yīng)變且 受λf的影響較小；當(dāng)纖維 特征參數(shù)λf＞0.8 時(shí)，UHPC表現(xiàn)為應(yīng)變硬化，其峰值應(yīng)變則隨纖維特征參數(shù)增大而接近線性增大；無論是應(yīng)變軟化型還是硬化型，極限應(yīng)變?chǔ)舤u均隨纖維特征參數(shù)的增大接近線性增加.基于試驗(yàn)結(jié)果，可確定圖6 所示應(yīng)力-應(yīng)變曲線上各特征點(diǎn)的取值如式（1）～式（4）所示.

圖7 峰值應(yīng)變-纖維特征參數(shù)Fig.7 Peak strain-fiber characteristic parameter

圖8 極限應(yīng)變-纖維特征參數(shù)Fig.8 Ultimate strain-fiber characteristic parameter

式中：εte、εtp和εtu分別為UHPC 軸拉彈性極限（初裂）應(yīng)變、峰值應(yīng)變和極限應(yīng)變；ft為UHPC 的軸拉強(qiáng)度；ρf、lf和df分別為鋼纖維的體積摻量、長度和直徑.

圖7 和圖8 表明：基于式（4）所示的鋼纖維特征參數(shù)，按式（2）和式（3）確定的UHPC 軸拉峰值應(yīng)變和極限應(yīng)變，在鋼纖維規(guī)格參數(shù)處于樣本數(shù)據(jù)所包含的范圍內(nèi)（長度9～25 mm，長徑比45～125）時(shí)，尚能較好地反映試驗(yàn)結(jié)果的變化特征.但需要說明的是，當(dāng)UHPC 中配置的鋼纖維長度較短（lf＜9 mm）、長徑比較小（lf/df＜30）時(shí)，僅依據(jù)鋼纖維特征參數(shù)λf，不足以完全確定UHPC 的受拉變化特征，尚與鋼纖維的長徑比有關(guān)［40］.為此，需要確定式（2）和式（3）適用的鋼纖維長徑比.

日本JSCE 相關(guān)規(guī)程建議［41］UHPC 中鋼纖維長度取值范圍為10～20 mm，直徑為0.1～0.25 mm，長徑比一般為40～100［41］；國內(nèi)相關(guān)規(guī)程建議UHPC 中的鋼纖維規(guī)格為：直徑0.12～0.2 mm，長度8～20 mm，長徑比一般為60～100［42］；工程實(shí)際中，常用鋼纖維的長度、直徑和長徑比一般分別約為13 mm、0.2 mm和65.

參考國內(nèi)外相關(guān)技術(shù)規(guī)程的規(guī)定及工程實(shí)際常采用的鋼纖維規(guī)格，規(guī)定所提UHPC 受拉本構(gòu)適用的鋼纖維長徑比為40～100，且這一取值范圍亦包含在回歸式（2）和式（3）所用的樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi).

2.2 UHPC板的抗彎性能

2.2.1 破壞形態(tài)

圖9是單調(diào)加載下單向板試驗(yàn)結(jié)束后的板底裂縫形態(tài).開裂荷載時(shí)，板底面首先出現(xiàn)2條短細(xì)裂縫，其寬度約為0.03 mm；繼續(xù)加載，裂縫寬度和數(shù)量逐漸增加，裂縫逐漸延伸至板邊，其中一條裂縫發(fā)展較快形成主裂縫；峰值荷載時(shí)，主裂縫寬度增至0.43 mm，隨后試件較快喪失承載能力而破壞.板底裂縫較多，平均裂縫間距約為5 cm.由于板底線性支座欠平整或板頂條形荷載沿板橫向施加欠均勻，因此板內(nèi)存在一定的扭轉(zhuǎn)作用，使得如圖9 所示板底橫向裂縫走向與支座中心線或條形加載板縱向有所偏離，但偏離較小，板最終仍然發(fā)生期望的彎曲破壞，且板開裂后跨中截面左、右兩側(cè)對稱位置處的實(shí)測位移增量相近，表4 中撓度值取為兩側(cè)位移實(shí)測值的平均值，以盡可能消除實(shí)測結(jié)果中扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響.

表4 UHPC板試驗(yàn)結(jié)果Tab.4 Test results of UHPC slabs

圖9 UHPC單向板破壞形態(tài)Fig.9 UHPC one-way slab failure mode

圖10 是單調(diào)加載下方板試驗(yàn)結(jié)束后的板底裂縫形態(tài)，主裂縫近似呈“十”字形.加載到開裂荷載時(shí)，板底跨中位置出現(xiàn)兩條縱、橫交叉的短細(xì)裂縫；繼續(xù)加載，裂縫逐漸加寬并向板邊延伸，同時(shí)裂縫出現(xiàn)分叉；峰值荷載時(shí)，兩條主裂縫擴(kuò)展至板邊緣，形成縱、橫通長裂縫，隨后試件也較快喪失承載能力，破壞時(shí)板底裂縫較少.

圖10 UHPC方板破壞形態(tài)Fig.10 UHPC square slabs failure mode

2.2.2 荷載-撓度曲線

兩類試件的荷載-撓度曲線及曲線各特征點(diǎn)的數(shù)值分別如圖11 和表4 所示，試件受力均可分為彈性階段、裂縫發(fā)展階段和失效階段.

圖11 荷載-跨中撓度曲線Fig.11 Load-midspan deflection curves

1）開始加載到基體開裂為彈性階段.荷載與撓度呈線性關(guān)系，開裂荷載時(shí)，板底受拉區(qū)UHPC 達(dá)到材料的初裂應(yīng)變，試件出現(xiàn)裂縫.單向板和方板試件的開裂荷載分別為峰值荷載的38.1%和28.7%.

2）基體開裂到峰值荷載為裂縫發(fā)展階段.荷載-撓度曲線呈現(xiàn)非線性特征，試件剛度逐漸降低，加載過程中可聽到鋼纖維被拔出的響聲，主裂縫逐漸形成.定義峰值荷載和開裂荷載時(shí)的撓度比為延性系數(shù)，則單向板和方板試件的延性系數(shù)分別為5.2 和13.0.可見：超靜定方板內(nèi)存在的彎矩重分布過程，可使方板的延性得以明顯加強(qiáng).

3）峰值荷載后為失效階段.峰值荷載后，伴隨更明顯的纖維拔出響聲，鋼纖維的橋接作用快速退化，曲線進(jìn)入下降段，試件因主裂縫快速發(fā)展而破壞，但受壓區(qū)UHPC較加載前無明顯變化.

實(shí)際上，無筋UHPC單向板的抗彎承載力本質(zhì)上反映的是板的抗折強(qiáng)度.由表2 可知：UHPC 棱柱體（400 mm×100 mm×100 mm）的抗折強(qiáng)度為24.8 MPa，基于單向板S1（900 mm×430 mm×60 mm）的極限承載能力，確定的UHPC抗折強(qiáng)度為25.6 MPa，二者相近，僅相差3.2%.

2.2.3 UHPC應(yīng)變

單向板試件受力過程中跨中截面的應(yīng)變分布如圖12（a）所示.可見：直到峰值荷載，截面應(yīng)變沿高度均接近線性分布，平截面假定較好地得到滿足；截面受壓區(qū)高度由開裂前的30 mm（50%板厚）降低到開裂后的約15 mm（25%板厚）后基本保持不變，反映了截面開裂至峰值荷載期間開裂截面受拉區(qū)鋼纖維橋接作用的穩(wěn)定發(fā)揮.

圖12 UHPC應(yīng)變曲線Fig.12 Strain curves of UHPC

方板試件受力過程中板頂面中心、1/4 跨以及角部對角線處的UHPC 應(yīng)變變化如圖12（b）所示.考慮結(jié)構(gòu)和應(yīng)變測點(diǎn)布置的對稱性，且對稱位置處應(yīng)變測點(diǎn)壓應(yīng)變實(shí)測值亦較接近，為降低測點(diǎn)應(yīng)變值的離散性，圖中12（b）將相同區(qū)域?qū)ΨQ布置應(yīng)變測點(diǎn)的實(shí)測結(jié)果予以平均.H1～H4 為繞板中心對稱布置在局部加載板周邊的4 個(gè)應(yīng)變測點(diǎn)，H5～H8 為繞板中心對稱布置在板1/4 跨的4 個(gè)應(yīng)變測點(diǎn)，H9～H12 為繞板中心對稱布置在1/4 對角線長度位置處的4 個(gè)應(yīng)變測點(diǎn).可見：中心處的應(yīng)變增長最快，1/4跨處應(yīng)變次之，角部對角線處應(yīng)變增長最慢.另從圖12（b）中1/4板跨和角部1/4對角線長度處的應(yīng)變發(fā)展比較可知：約65%峰值荷載以前，雖然角部對角線處的應(yīng)變發(fā)展稍慢，但二者極為接近；其后1/4 板跨處的應(yīng)變發(fā)展明顯加快，使得板底主裂縫主要沿平行板邊方向而非沿對角線方向發(fā)展，與圖10 所示板底裂縫接近十字形的分布相對應(yīng)，也與雙向正交等強(qiáng)配筋鋼筋混凝土方板極限狀態(tài)時(shí)的主裂縫一般沿對角線發(fā)展的形態(tài)存在明顯區(qū)別［43］.這主要是源于鋼纖維在板平面內(nèi)任一方向上的隨機(jī)分布，使得無筋UHPC方板沿正交和對角線方向單寬截面上的抗彎承載能力基本一致，但板頂荷載主要沿路徑較短的正交方向傳遞，因而板正交方向承受較大的單寬彎矩而更趨不利，使得破壞截面沿正交方向發(fā)展而接近十字形.文獻(xiàn)［16］發(fā)生彎曲破壞的四邊固支無筋UHPC方板試驗(yàn)中，也出現(xiàn)了類似的破壞形態(tài).

峰值荷載時(shí)單向板板頂?shù)膲簯?yīng)變?yōu)? 337 με，方板板頂跨中、1/4 跨和角部等位置處的壓應(yīng)變分別為1 716 με、1 038 με 和604 με，均遠(yuǎn)未達(dá)到相應(yīng)UHPC 的極限壓應(yīng)變（一般不小于4 500 με［42］），表明受壓區(qū)的UHPC并未壓碎，與試驗(yàn)現(xiàn)象吻合.

總之，無論是單向板還是方板，破壞均由臨界截面受拉邊緣附近區(qū)域UHPC 開裂、鋼纖維受拉失效導(dǎo)致，而截面受壓邊緣的UHPC 均遠(yuǎn)小于其極限壓應(yīng)變而不可能被壓碎，這里將這種破壞形態(tài)定義為受拉破壞.由于UHPC內(nèi)鋼纖維的增強(qiáng)作用，無筋UHPC板的抗彎承載能力和極限變形分別較相應(yīng)的開裂荷載和開裂變形顯著提高且表現(xiàn)出較好的延性破壞特征.

3 單向板截面的抗彎承載力

3.1 基本假定

計(jì)算無筋UHPC 單向板正截面抗彎承載力時(shí)，采用如下基本假定：

1）截面應(yīng)變分布符合平截面假定.

2）因極限狀態(tài)時(shí)，受壓板邊緣應(yīng)變遠(yuǎn)小于UHPC的極限壓應(yīng)變，故UHPC 受壓本構(gòu)采用如圖13 所示的線性關(guān)系，即為：

圖13 UHPC受壓本構(gòu)關(guān)系Fig.13 Compressive constitutive model of UHPC

式中：σc為應(yīng)變?chǔ)與時(shí)的應(yīng)力；fc為UHPC 的抗壓強(qiáng)度，MPa；ε0為峰值應(yīng)力fc對應(yīng)的應(yīng)變；Ec為UHPC的彈性模量，MPa.

3）不同鋼纖維配置時(shí)UHPC 的軸拉本構(gòu)關(guān)系分別采用如圖6所示的雙折線和三折線.

4）板在受拉邊緣應(yīng)變達(dá)到UHPC 的極限拉應(yīng)變（εtu）時(shí)達(dá)到其極限狀態(tài)，即板發(fā)生受拉破壞［44］.

3.2 數(shù)值分析方法及驗(yàn)證

圖14 為極限狀態(tài)下板截面的應(yīng)變和應(yīng)力分布，沿高度將截面劃分為n層單元，截面的應(yīng)變協(xié)調(diào)條件可表示為：

圖14 極限狀態(tài)下截面應(yīng)變和應(yīng)力分布Fig.14 Strain and stress distribution on the section at ultimate state

式中：φ為截面曲率；x表示受壓區(qū)高度，mm；xo表示中性軸高度，mm；h表示截面高度，mm；hi為第i層單元重心距受壓邊緣的距離，mm；εci為高度hi處的UHPC 應(yīng)變；εcf為受壓邊緣UHPC 的應(yīng)變；σci和σti分別為第i層UHPC 單元的壓應(yīng)力和拉應(yīng)力；bi為第i層單元的寬度.

圖15為單向板S1跨中截面彎矩-曲率關(guān)系的計(jì)算和實(shí)測結(jié)果對比，其中截面的實(shí)測曲率系基于平截面假定依據(jù)圖12（a）截面的實(shí)測應(yīng)變確定.即基于板頂壓應(yīng)變和有效測點(diǎn)應(yīng)變測值確定的受壓區(qū)高度按式（7）近似計(jì)算截面應(yīng)變分布的截面曲率.可見計(jì)算和實(shí)測結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了計(jì)算方法的適用性.

圖15 單向板S1彎矩-曲率曲線Fig.15 Moment versus curvature curves of one-wayslab S1

3.3 纖維特征參數(shù)影響分析

不同纖維特征參數(shù)λf下截面的彎矩-曲率計(jì)算結(jié)果如表5 和圖16 所示.定義截面的曲率延性系數(shù)為極限曲率φu（受拉邊緣達(dá)到UHPC 極限拉應(yīng)變時(shí)的曲率）與開裂曲率φcr之比.可見，隨纖維特征參數(shù)λf的增大，截面的開裂彎矩Mcr、極限彎矩Mu和延性系數(shù)均相應(yīng)提高.當(dāng)纖維特征參數(shù)λf由0.65 分別增加到1.3、1.95和2.6時(shí)，開裂彎矩相應(yīng)增加18%、34%和59%；極限彎矩相應(yīng)增大39%、64%和98%；延性系數(shù)相應(yīng)增大158%、283%和367%.這是UHPC的抗拉強(qiáng)度和極限拉應(yīng)變均隨著纖維特征參數(shù)的增大而提高所致.

表5 不同纖維特征參數(shù)下板計(jì)算結(jié)果Tab.5 Calculation results of different λf

圖16 不同纖維特征參數(shù)M-φ曲線Fig.16 M-φ curves under different λf

3.4 截面抗彎承載力簡化計(jì)算

將受拉區(qū)UHPC 拉應(yīng)力分布等效為矩形分布，相應(yīng)的拉力T如式（10）所示.

系數(shù)k隨纖維特征參數(shù)λf的變化規(guī)律如圖17 所示.可見：系數(shù)k隨纖維特征參數(shù)λf的增大而增大.λf由0.65 增加到2.6 時(shí)，k由0.84 增加到0.96.表明隨鋼纖維體積摻量和長徑比的增大，極限狀態(tài)時(shí)受拉區(qū)的應(yīng)力分布更趨完全的塑性分布.對k進(jìn)行曲線擬合可得到式（11）.

圖17 k-λf 曲線Fig.17 k-λf curve

基于極限狀態(tài)時(shí)截面的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件可得方程（12）～（14），并可據(jù)此確定截面的極限抗彎承載能力Mu.

式中：εcf為極限狀態(tài)時(shí)受壓邊緣UHPC 的應(yīng)變；εtu為UHPC的受拉極限應(yīng)變，按式（3）確定.

對本文中S1 及國內(nèi)外文獻(xiàn)中22 塊無筋UHPC單向板的抗彎承載能力進(jìn)行了分析.這23 個(gè)試件（包含本文S1）的鋼纖維體積摻量為1%～2%，板厚為40～60 mm，分析結(jié)果如表6所示.

表6 UHPC單向板截面抗彎承載力試驗(yàn)值和計(jì)算值對比Tab.6 Comparison of experimental and calculated values for the flexural bearing capacity of UHPC one-way slabs

1）試驗(yàn)值與數(shù)值分析值及簡化公式計(jì)算值之比的均值和均方差分別為1.02 和0.13 及1.02 和0.13.可見：簡化分析方法和數(shù)值分析具有相近的精度，且均能較好地預(yù)測無筋UHPC板的抗彎承載力.

2）文獻(xiàn)［5］中試件B1～B12 的UHPC 實(shí)測極限拉應(yīng)變?yōu)? 381 με，B13～B18 的UHPC 實(shí)測極限拉應(yīng)變?yōu)? 952 με，與式（3）計(jì)算得到的極限拉應(yīng)變（4 350 με）相差較大.這源于試驗(yàn)中人為地控制了UHPC 基體內(nèi)纖維取向，B1～B12中控制鋼纖維沿縱向取向，能提高極限拉應(yīng)變，而B13～B18中控制鋼纖維沿橫向取向，則會(huì)降低極限拉應(yīng)變.而本文所提極限拉應(yīng)變公式（3）是基于纖維分布近似于隨機(jī)分布的試件，故實(shí)測值與計(jì)算值相差較大.當(dāng)極限拉應(yīng)變?nèi)閷?shí)測值時(shí)，B1～B12抗彎極限承載力試驗(yàn)的平均值約為計(jì)算值的1.07倍，B13～B18試驗(yàn)平均值約為計(jì)算值的94%.考慮纖維取向影響后計(jì)算值吻合較好.

4 方板的極限承載能力

4.1 塑性極限解

上述試驗(yàn)和數(shù)值分析結(jié)果均表明無筋UHPC 板截面和方板均表現(xiàn)出一定的塑性性能，故首先采用塑性極限分析方法來確定無筋UHPC 方板的極限承載能力，并分別采用機(jī)動(dòng)法和靜力法獲得無筋UHPC方板極限荷載的上、下限解，以評價(jià)此時(shí)塑性極限分析方法的適用性.

參考板中部局部荷載作用下普通鋼筋混凝土方板的塑性破壞機(jī)構(gòu)［45］，對于無筋UHPC 方板，采用 圖18所示的“X”形破壞模式確定相應(yīng)的極限荷載.

圖18 方板破壞模式Fig.18 Failure mode of square slab

采用機(jī)動(dòng)法分析時(shí)，取圖18 塑性破壞機(jī)構(gòu)的板塊①為脫離體，其受力狀態(tài)如圖19所示［45］.根據(jù)脫離體的極限平衡條件可得無筋UHPC方板的極限荷載為：

圖19 機(jī)動(dòng)法中板塊①極限平衡狀態(tài)圖Fig.19 The limit equilibrium state of plate ①in kinematic method

采用靜力法分析時(shí)，對于中部局部荷載作用下的方板，假定極限狀態(tài)時(shí)連接板中和支座間任一板帶內(nèi)的彎矩均為圖20 所示的線性分布且忽略截 面上的扭矩作用，則圖示的彎矩分布同時(shí)滿足平衡方程、邊界條件和屈服準(zhǔn)則［45］，并可確定此時(shí)無 筋UHPC方板的極限荷載為：

圖20 靜力法中板塊①極限平衡狀態(tài)圖Fig.20 The limit equilibrium state of plate ①in static method

上述式中和圖中：mu和分別為無筋UHPC 方板單寬截面上的正、負(fù)極限彎矩，均按式（12）～式（14）計(jì)算；四邊簡支時(shí)，取0.

采用式（15）和式（16）分別對文獻(xiàn)［16］中發(fā)生彎曲破壞的四邊固支無筋UHPC 方板和本文試驗(yàn)的簡支無筋UHPC 方板S2 的極限承載力進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)值列于表7.可見：基于機(jī)動(dòng)法或塑性鉸線法的式（15）計(jì)算值與試驗(yàn)值之比的均值和均方差分別為1.59 和0.19，計(jì)算值與試驗(yàn)值相差較大，表明塑性鉸線法并不適用于預(yù)測無筋UHPC 方板的極限承載力，即受拉UHPC 的塑性尚不足以在無筋UHPC方板中形成完全的塑性鉸線機(jī)構(gòu)［16］；基于靜力法的式（16）計(jì)算值與試驗(yàn)值之比的均值和均方差分別為0.79 和0.10，雖然靜力法預(yù)測值偏小，但較機(jī)動(dòng)法能更好地預(yù)測無筋UHPC方板的極限承載力.

表7 方板的極限承載能力比較Tab.7 Comparison of ultimate bearing capacity of square slabs

4.2 近似分析解

前已述及，基于式（15）的塑性鉸線解會(huì)過高地估計(jì)無筋UHPC 方板的極限承載力，表明極限狀態(tài)時(shí)，沿圖18 所示無筋UHPC 方板各破壞線上并非任一處截面上的彎矩均能達(dá)到極限彎矩.為此，假定板底正彎矩破壞線和板頂負(fù)彎矩破壞線上的彎矩均為如圖21 所示的線性分布，且板底正彎矩由板中點(diǎn)處的截面極限彎矩mu線性變化至支座處的截面開裂彎矩mcr，板頂負(fù)彎矩由支座中心處的截面極限彎矩m'u線性變化至支座邊緣處的截面開裂彎矩m'cr.則參照機(jī)動(dòng)法，根據(jù)圖21 所示脫離體①的受力狀態(tài)，可確定板的極限承載力Pu3如式（17）所示.

圖21 近似分析法中板塊①極限平衡狀態(tài)圖Fig.21 The limit equilibrium state of plate ①in approximate method

式中：mcr和分別為板單寬截面上的正、負(fù)開裂彎矩；mu和分別為板單寬截面上的正、負(fù)極限彎矩.四邊簡支時(shí)，和取0.

采用式（17）計(jì)算文獻(xiàn)［16］中發(fā)生彎曲破壞的無筋UHPC 方板和本文試件S2 的極限承載力，結(jié)果亦列于表7.可見：式（17）計(jì)算值與試驗(yàn)值之比的均值和方差分別為1.13 和0.15，表明所提方法尚能較好地預(yù)測無筋UHPC方板的極限承載力.

值得注意的是，文獻(xiàn)［16］中有不同板厚但仍發(fā)生彎曲破壞的無筋UHPC 試驗(yàn)方板，隨著板厚增加，塑性絞線法對板的極限承載力高估更多，表明板厚越大，板的延性越差，完全的塑性鉸線機(jī)構(gòu)越難形成，即無筋UHPC 方板的極限承載能力存在明顯的尺寸效應(yīng)，這一點(diǎn)無疑值得進(jìn)一步研究.

5 結(jié)論

基于國內(nèi)外無筋UHPC 單向板和方板受彎破壞性能的試驗(yàn)結(jié)果及本文的試驗(yàn)研究和理論分析，可得出以下結(jié)論：

1）雖然無筋UHPC 單向板和方板均發(fā)生由UHPC 抗拉性能所控制的受拉破壞，但由于UHPC 內(nèi)鋼纖維的增強(qiáng)作用，無筋UHPC 板的抗彎承載能力和極限變形分別較相應(yīng)的開裂荷載和開裂變形顯著提高且表現(xiàn)出一定的延性破壞特征；周邊支承超靜定方板內(nèi)存在的彎矩重分布過程，使無筋UHPC 方板的延性性能有所增強(qiáng)，但受拉UHPC 的塑性尚不足以保證板中完全塑性鉸線機(jī)構(gòu)的形成.因此，塑性絞線法并不適用于預(yù)測無筋UHPC 方板的極限承載能力，而靜力法卻能給出相對較好且偏于安全的預(yù)測結(jié)果.

2）基于本文及文獻(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，考慮鋼纖維特征參數(shù)的影響，提出了UHPC 材料的受拉本構(gòu)和無筋UHPC 板截面受拉區(qū)等效均布應(yīng)力折減系數(shù)k的計(jì)算公式，建立了無筋UHPC 單向板截面抗彎承載能力的簡化計(jì)算方法，并以試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了方法的適用性.

3）假定極限狀態(tài)時(shí)沿板破壞線上的彎矩近似呈線性分布，提出了周邊支承無筋UHPC 方板極限承載力的近似估計(jì)方法，試驗(yàn)結(jié)果表明所提方法尚能較好地預(yù)測無筋UHPC方板的極限承載力.

文獻(xiàn)［16］的試驗(yàn)結(jié)果表明，周邊支承無筋UHPC方板的極限承載能力存在明顯的尺寸效應(yīng)，這一點(diǎn)值得進(jìn)一步研究.