四邊形外接圓半徑問題的探究

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 鄧清睿 韓彥昌

一、問題背景

外接圓問題是歷年來較為熱門的探究問題, 主要涉及:四點(diǎn)共圓的證明[1]、利用外接圓性質(zhì)處理問題[2-3]以及尋找出或作出輔助圓求解問題[4]. 對(duì)四邊形外接圓問題的探究方面,已經(jīng)取得一些研究成果: 圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)面積公式[5]: 已知四邊形四邊的長(zhǎng)度,得到該四邊形面積公式;四邊形外接圓的半徑公式[6]: 已知四邊形四邊的長(zhǎng)度,得到其外接圓的半徑公式等.

二、原題呈現(xiàn)與解法

題目1(2022 年“大夢(mèng)杯”福建省青少年數(shù)學(xué)水平測(cè)試第7 題)如圖1,ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形, 且AC⊥BD, 若AB= 10,CD= 8, 則圓O的面積為____.

圖1

構(gòu)圖分析對(duì)角線互相垂直,一組對(duì)邊AB,CD的長(zhǎng)度確定(可以想象線段AB的長(zhǎng)度固定,A,B兩點(diǎn)分別在對(duì)角線CA,BD上滑動(dòng))這樣的四邊形不確定,當(dāng)然面積也不確定. 再附加四點(diǎn)共圓的條件這樣的四邊形唯一. 換一個(gè)角度分析: 在半徑大于10 的圓上找兩點(diǎn)A,B,使其弦長(zhǎng)為10,過A,B引兩條互相垂直的弦,會(huì)產(chǎn)生唯一的圓內(nèi)接四邊形ABCD,當(dāng)CD=8,外接圓的面積唯一確定.

解法1如圖2,延長(zhǎng)AO交圓O于點(diǎn)F,連接BF,記AC與BD交點(diǎn)為E. 因AF為圓O直徑,故∠ABF=90?.由AC⊥BD,則∠AED= 90?= ∠ABF. 由弧AB所對(duì)圓周角∠ADB= ∠AFB, 則Rt?ABF∽R(shí)t?AED. 同理可得,Rt?ABE∽R(shí)t?DCE,則. 由于Rt?ABF∽R(shí)t?AED,則,則,則BF=8. 故.

圖2

解法2如圖3, 延長(zhǎng)AO交圓O于點(diǎn)F, 連接BF,CF, 記AC與BD交點(diǎn)為E. 則AB⊥BF,AC⊥CF. 由AC⊥BD,則BD//CF,BFCD為圓內(nèi)接梯形,則為等腰梯形,因此BF=DC=8. 故.

圖3

三、推廣結(jié)論

結(jié)論1如圖4,已知AB、CD及對(duì)角線夾角∠AFB= 90?, 則四邊形ABCD的外接圓半徑為.

圖4

結(jié)論2如圖5.1 和圖5.2,已知AB、CD及對(duì)角線夾角∠AFB=√α(α90?),則四邊形ABCD的外接圓半徑為.

圖5.1

圖5.2

結(jié)論3如圖5.1 和圖5.2,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD,夾角∠AFB=α及外接圓O的半徑r,則.特別地,當(dāng)α=90?時(shí),.

注記結(jié)論1 是結(jié)論2 和3 的特例. 因此,以下我們只證明結(jié)論2 和3. 結(jié)論2 和3 說明圓內(nèi)接四邊形,固定對(duì)角線夾角和四邊形的一條邊,則該圓半徑和這個(gè)圓內(nèi)接四邊形一邊的對(duì)邊長(zhǎng)是個(gè)一一映射;進(jìn)一步地,圓內(nèi)接四邊形,固定對(duì)角線夾角和四邊形的一條邊,則圓和這個(gè)圓內(nèi)接四邊形也是個(gè)一一映射.

四、結(jié)論證明

結(jié)論2 的證明已知AB、CD及對(duì)角線夾角∠AFB=α(α90?),求外接圓半徑r. 分兩種情況進(jìn)行討論.

圖6

圖7

五、結(jié)論應(yīng)用

例1(2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東預(yù)賽第5 題)若單位圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直,則該四邊形四條邊平方和是____.

圖8

例3設(shè)圓O半徑r為8,圓中一內(nèi)接等腰梯形一邊長(zhǎng)為10,對(duì)角線夾角為60?,求鄰邊長(zhǎng)是多少?

分析根據(jù)結(jié)論2 可知, 若梯形腰長(zhǎng)為10, 則不滿足條件, 故梯形固定(如圖9), 且上底邊長(zhǎng)必為10,下底邊長(zhǎng)確定,因此問題即為求梯形的腰長(zhǎng).此時(shí),將AC=BD=x代入結(jié)論3公式可得,可計(jì)算出腰長(zhǎng)為8.

圖9