等差等比數列任意三項(數列之和)的等量關系及應用
2023-06-03 03:32:48廣東省惠州市華羅庚中學516000
中學數學研究(廣東) 2023年9期
廣東省惠州市華羅庚中學(516000) 代 軍
文[1] 利用等差數列求和公式Sn=An2+Bn的特性, 用待定系數法證明了任意的n,p,q∈ N+, 有成立. 但這種方法計算量大,不利于把握與進一步學習. 下面給出另一種簡潔的證明方法.
一、引理
平面向量三點共線定理: 若O為平面上任意一點,則A,B,C三點共線的充要條件是.
二、等差數列前n項和性質的另證
三、結論1 的推廣及延伸
四、應用舉例
注從上面的證明可以看到,結論2 和結論3 具有很好的對偶關系,而結論1 和結論4 則沒有這種關系,實際上,這是我們考慮的重點不同所致, 本文的重點是探討等差數列(或等比數列)任意三項an,ap,aq(或者Sn,Sp,Sq)之間的直接等量關系(而非對偶關系). 實際上,根據等差數列與等比數列之間的對偶關系,即加法對應乘法,減法對應除法,乘法對應乘方,除法對應開方,由結論1 是不難得到例4 的結果的,這也正是文[2]的成果之一,有興趣的讀者可以參考文[2]的具體證明,此處省略.
