基于Dandelin 雙球模型對一道高三調(diào)研試題的溯源探究

福建省南平市高級中學(xué)(353000) 江智如 陳美婷 蔡 珺

1 試題呈現(xiàn)

試題(2023 屆廣州高三年級調(diào)研測試B 卷第16 題)如圖1, 是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型. 在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面與截面都相切, 設(shè)圖中球O1, 球O2的半徑分別為4 和2, 球心距離,截面分別與球O1,球O2相切于點E,F(E,F是截口橢圓的焦點),則此橢圓的離心率等于____.

圖1

2 試題分析

本試題以Dandelin 雙球模型為載體,考查圓錐曲線內(nèi)容,要求考生會根據(jù)對幾何圖形的分析,探索解決問題的思路[1].考查圓錐與球相切、截面、橢圓第一定義和離心率等相關(guān)知識, 考查考生數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力,突出試題的區(qū)分與選拔功能.

3 試題溯源

2019 版人教社A 版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第104 頁第三章章頭圖中(如圖2)用一個不垂直于圓錐軸的平面截圓錐,當(dāng)圓錐軸與截面所成角不同時,可以得到橢圓、雙曲線、拋物線三種不同的曲線,因此把這三種線統(tǒng)稱為圓錐曲線[2]. 但這種聯(lián)系在后續(xù)的圓錐曲線定義中,均未再體現(xiàn),而在2005 版人教社A 版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1》第42 頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中,介紹數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin 利用兩個球的切線長相等(如圖3),可以證明截口曲線是橢圓[3]. 基于這些背景知識,本文依循數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin 的思路,在直觀素養(yǎng)指引下,對試題進行溯源探究與推廣.

圖2

4 解法探究

引理在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球,使得它們分別與圓錐側(cè)面相切. 若不垂直于圓錐軸的截面分別與兩個小球相切,則截面截圓錐所得的截口曲線是以兩切點為焦點的橢圓.

證明如圖3, 在Dandelin 雙球中, 兩個小球與圓錐面的交線分別為一個圓, 并與圓錐的底面平行, 記這兩條交線圓分別S1,S2, 且所在平面分別為π1,π2, 與圓錐軸不垂直的截面π與圓錐面的截口曲線為S, 且分別與兩個小球相切于點E,F. 在截口曲線S上任取一點A,過點A的圓錐母線分別與圓S1,S2相交于點B,C, 則BC長度是兩個小球的外公切線長, 是定值, 即(其中d是球心距,r1,r2分別是兩個小球的半徑). 另一方面, 由球的切線性質(zhì)可得,AE=AC,AF=AB, 于是AE+AF=AC+AB=BC>EF,即曲線S上點到兩切點的距離和為定值,所以由橢圓第一定義知,截口曲線S是以E,F為焦點的橢圓.

圖3

圖4

圖5

試題解析(一)依據(jù)引理的推導(dǎo)過程, 試題1 可以轉(zhuǎn)化為分別求橢圓的焦距2c=EF, 長軸2a=BC. 如圖4, 在圓錐的軸截面中, 連接O1O2交EF于點H, 連接O1E,O2F, 則Rt?O2FH∽Rt?O1EH, 于是, 故,從而,所以2c=EF= 3FH= 2,即c= 1. 過點O2作O2D//BC,交O1C于點D,則由圓的外公切線性質(zhì)可求,,即2a=BC= 6, 所以a= 3, 因此, 橢圓的離心率為.

5 溯源推廣

6 高考應(yīng)用

在歷年高考與各地的質(zhì)檢中也出現(xiàn)Dandelin 雙球模型的試題,可以引導(dǎo)考生根據(jù)對問題情境的分析,運用已有數(shù)學(xué)思維方法分析問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系,調(diào)動相關(guān)知識與能力解決問題[5].

題目(2021 年成都七中高三二診模擬理12) 如圖6所示, 在圓錐內(nèi)放入兩個球O1,O2, 它們都與圓錐相切(即與圓錐的每條母線相切),切點圓(圖中粗線所示)分別為⊙C1,⊙C2. 這兩個球都與平面α相切,切點分別為F1,F2,丹德林(G·Dandelin)利用這個模型證明了平面α與圓錐側(cè)面的交線為橢圓,F1,F2為此橢圓的兩個焦點,這兩個球也稱為Dandelin 雙球.

圖6

圓錐的母線與它的軸的夾角為30?,⊙C1,⊙C2的半徑分別為1,4,點M為⊙C2上的一個定點,點P為橢圓上的一個動點,則從點P沿圓錐表面到達點M的路線長與線段PF1的長之和最小值是( )

解題思路根據(jù)Dendelin 雙球模型,可以把問題轉(zhuǎn)化兩個內(nèi)切球的外公切線長.

題目解析連接VP, 分別交⊙C1,⊙C2于點Q,R, 連接PF1, 則由球的切線性質(zhì)可得,PF1=PQ. 設(shè)點P沿圓錐表面到達點M的路線長為dPM, 則PF1+dPM=PQ+dPM≥PQ+PR=QR,當(dāng)且僅當(dāng)點P是母線VM與交線橢圓的交點時取等號,而QR為兩個球O1,O2的外公切線長,故,所以最小值為3√3,因此選A.

評析本試題將圓錐、球、橢圓、動點的軌跡等內(nèi)容有機結(jié)合,考查考生對Dendelin 雙球模型的理解與應(yīng)用,突出考查考生運用數(shù)形結(jié)合的思想方法和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,對幾何直觀能力、邏輯推理能力、運算求解能力有一定的要求,重基礎(chǔ)、重能力,對引領(lǐng)數(shù)學(xué)課程改革有導(dǎo)向作用.

7 結(jié)語

在高考評價體系[5]指引下, 高中幾何教學(xué)應(yīng)由傳統(tǒng)的“結(jié)果性教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意的“過程性教學(xué)”,這就要求學(xué)生不僅要知其然,更要知其所以然,同時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究問題的“本源”,學(xué)會舉一反三,夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 一方面,教師通過探尋幾何問題的本“源”,追溯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的源泉,可以提升自身數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和專業(yè)水平[6];另一方面,教師把握幾何問題的“流”[7],登高望遠,拓展視野,可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度. 通過設(shè)置精致練習(xí)[8],摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,挖掘?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的潛能,促進數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升[9].