等軸雙曲線的若干有趣性質

江蘇省常州市宋劍湖高級中學(213011) 蔡立艷

山東省鄒平雙語學校(256200) 姜坤崇

我們知道,實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,它的兩條漸近線互相垂直,其離心率為.等軸雙曲線是特殊的雙曲線,它除了具備一般雙曲線的所有性質外,還具有一些特殊的性質,本文給出筆者探尋的等軸雙曲線的若干有趣性質(這些性質是非等軸雙曲線所不具有的),以饗讀者.

性質1設F1、F2是等軸雙曲線Γ :x2?y2=a2(a> 0)的兩個焦點,O是Γ 的中心,P是Γ 上的任意一點,則|PF1|、|OP|、|PF2|成等比數列.

證法1如圖1,設F1(?c,0),, 當點P不在Γ實軸的端點時, 在?PF1O、?POF2中分別使用余弦定理得

圖1

性質2設P是等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0)上的任意一點,l1、l2是過Γ 中心O且關于Γ 的一條漸近線對稱的兩條定直線,則P到l1、l2的距離的平方差為一定值.

證明如圖2, Γ 的兩條漸近線方程為y=±x. 設P(x0,y0),則由點P在Γ 上知. 不妨設l1、l2是關于直線L:y=x對稱的兩條定直線,當l1、l2不為兩條坐標軸時,設其方程分別為kx?y= 0、x?ky= 0(k為常數,且k?1),則P到l1、l2的距離d1、d2的平方分別為

圖2

當l1、l2為兩條坐標軸時,由等軸雙曲線的方程知結論顯然成立.

性質3給定等軸雙曲線Γ :x2?y2=a2(a> 0),l1、l2是過Γ 中心O且關于Γ 的一條漸近線對稱的兩條定直線,A、B分別是l1、l2上的一點,且AB中點P在Γ 上,則|OA|2?|OB|2為一定值.

圖3

性質4設P是等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0)上異于頂點的任意一點,A(?a,0),B(a,0)是Γ 的兩個頂點,PA、PB與y軸的交點分別為C、D,則|PA|·|PC|=|PB|·|PD|.

圖4

性質5給定等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0),F是它的一個焦點,過F引互相垂直的兩條弦AB、CD,且AB的兩端點都在F對應的Γ 的同一支上,CD的兩個端點分別在Γ 的兩支上,則|AB|=|CD|.

性質6給定等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0),其中心為O,左、右頂點分別為A1、A2,F是Γ 的右焦點,過F作垂直于x軸的直線交Γ 在第一象限于點P,直線A1P與Γ的漸近線在第一象限的交點為M,設kA2M、kA2P分別為直線A2M、A2P的斜率,則

(1)?OA2M為等腰三角形;

(2)kA2M+kA2P=0;

(3)?PMA2為等腰直角三角形.

圖5

圖6

性質7設AB是等軸雙曲線Γ 過中心O的任意一條弦,P是Γ 上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交兩條漸近線于點C、E;D、F,則|PC|=|PD|,|PE|=|PF|.

證法1設等軸雙曲線的方程為Γ:x2?y2=a2(a>0),由Γ 是等軸雙曲線知兩條漸近線方程為y=±x,其斜率分別為1、?1. 如圖7,不妨設C、D在漸近線l1:y=x上,則E、F在漸近線l2:y= ?x上. 設P(x,y),則x2?y2=a2.又設直線AB的方程為y=kx(|k| < 1),則與Γ 的方程聯立解得

圖7

同理可證|PE|=|PF|.

證法2如圖8,以Γ 的兩條漸近線為坐標軸建立直角坐標系,不妨設C、D在x軸上,則E、F在y軸上,設Γ 的方程為xy=m(m>0),P(x,y),則xy=m. 又設直線AB的方程為y=kx(k>0),則

若設直線PA、PB的斜率分別為kPA、kPB,則

即kPA= ?kPB, 由此得∠PCD= ∠PDC, ∠PEF=∠PFE, 即?PCD和?PEF均為等腰三角形, 從而|PC|=|PD|,|PE|=|PF|.

說明對于性質7 中的等軸雙曲線問題, 一般是通過建立坐標系使其方程為x2?y2=a2(a> 0)(如證法1)來解決,但這樣做對于此問題不但要使用直線的到角公式,而且整個解題過程的運算量較大. 而以上證法2 另辟蹊徑,以兩條漸近線為坐標軸建立直角坐標系(其雙曲線的方程為xy=m(m> 0))來進行,則不僅方法新穎巧妙而且其證明過程相對于證法1 大為化簡.