2023 屆江蘇七市一模解幾問題的探究及推廣

江蘇省興化市楚水實驗學校(225700) 蔣愛國 袁小強

一、問題呈現

題目(2023 屆江蘇七市高三一模第21題)已知雙曲線的左頂點為A,過左焦點F的直線與C交于P,Q兩點. 當PQ⊥x軸時,,?PAQ的面積為3.

(1)求C的方程;

(2)證明: 以PQ為直徑的圓經過定點.

本題第(1)問本質是三元方程組,由此可得出C的方程:;第(2)問綜合性較強,但是本質仍然是定點定值問題,該題能有效考查學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養,下面對其進行深入探究.

二、解法探究

解法一(萬能設線法) 設P(x1,y1),Q(x2,y2). 當直線PQ斜率不為零時, 設直線PQ為:x=my?2, 將其與雙曲線方程聯立得: (3m2?1)y2?12my+ 9 = 0,(3m2?10,?>0),故

以PQ為直徑的圓的方程為: (x?x1)(x?x2)+(y?y1)(y?y2) = 0. 由對稱性可知,以PQ為直徑的圓所過的定點應該在x軸上. 令y=0,得x2?(x1+x2)x+x1x2+y1y2=0,于是,化簡整理得:,所以x= 1,所以PQ為直徑的圓經過定點(1,0). 當直線PQ斜率為零時,顯然PQ為直徑的圓經過定點(1,0). 綜上,PQ為直徑的圓經過定點.

評注以上是參考答案提供的解法,很自然,依題意用坐標表示出PQ為直徑的圓,由對稱性可知定點必在x軸上,令y=0,解出x即可.

分析由對稱性可知,以PQ為直徑的圓所經過的定點必在x軸上. 當直線PQ斜率不存在時,PQ為直徑的圓:(x+2)2+y2=9 過(1,0),(?5,0),當直線PQ斜率為零時,PQ為直徑的圓:x2+y2= 1 過(1,0),(?1,0),于是PQ為直徑的圓過定點M(1,0), 只需證明MP⊥MQ. 尋此思路,我們采用先充分后必要的策略求解.

解法二(向量坐標化) 設P(x1,y1),Q(x2,y2). 當直線PQ斜率不為零時, 設直線PQ為:x=my?2, 將其與雙曲線方程聯立得: (3m2?1)y2?12my+ 9 = 0,, 故,y1y2=,從而得到(?)式,因此

所以MP⊥MQ,即PQ為直徑的圓經過定點M(1,0).

評注直線過定點在運動,動中有靜,動中求定,這里通過設而不求,達成向量數量積為0.

三、結論推廣