由一道錯(cuò)題談參變分離方法的運(yùn)用和啟示

廣東省汕尾市陸河縣河田中學(xué)(516700) 李國(guó)振 李岸模

一、引言

一節(jié)課上恰好講到一道函數(shù)導(dǎo)數(shù)題目,課堂上講完它的一般解法后,突發(fā)奇想這道題能不能用參變分離方法解決?然后帶著學(xué)生用參變分離的方法按部就班的往下推進(jìn),到了最后也順利解決了問題. 這時(shí),一個(gè)學(xué)生指向圖像的左半部分問:“老師,左邊是不是也有符合條件的解? ”順著他的思路,題目果然出錯(cuò). 然后就是各個(gè)書籍和網(wǎng)上去查這道題,發(fā)現(xiàn)所有地方這道題解答都是一樣,出現(xiàn)了問題.

二、題目與參考答案

題目已知不等式(kx+3k)ex

參考答案原不等式(kx+3k)ex

當(dāng)x<0 時(shí),f′(x)>0,所以在(?∞,0)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時(shí),f′(x) < 0, 所以在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 又f(?1) = 0, 且x> 0 時(shí),f(x) > 0,因此g(x) =k(x+3)與的圖象如圖1, 當(dāng)k≤0 時(shí), 顯然不滿足條件, 當(dāng)k> 0 時(shí),只需要滿足即,解得,故答案選D.

圖1

三、徹底的參變分離解決方案

x(?∞,x1)x1(x1,?3)(?3,x2)x2(x2,+∞)f′(x)?0++0?f(x)↘極小值↗↗極大值↘

圖2

四、錯(cuò)誤成因及方法優(yōu)缺點(diǎn)分析

題目的參考答案顯然是忽略了g(x) =k(x+3) 與在第三象限相交時(shí)也有兩個(gè)符合條件的解. 實(shí)際上,在左半部分異常陡峭的圖像上, 如果沒有徹底的參變分離,而通過肉眼發(fā)現(xiàn)符合條件的解確實(shí)有一定的難度.

圖3

參考答案的方法其實(shí)非常好, 它把已知條件通過化簡(jiǎn),化歸為兩個(gè)簡(jiǎn)單常見的函數(shù), 這兩個(gè)函數(shù)比較容易作圖,這是該方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn). 但是在求解的過程中, 因?yàn)槁湓趚= ?3 左邊圖像過于陡峭, 未在圖中得以呈現(xiàn), 導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的解被遺漏,而后題目設(shè)計(jì)的時(shí)候也就出錯(cuò)了. 而我們?nèi)绻樦鴺?biāo)準(zhǔn)答案的求解過程,也覺得這個(gè)過程非常完美. 而當(dāng)實(shí)現(xiàn)完全的參變分離,當(dāng)整個(gè)函數(shù)的圖像完全畫出來,因?yàn)閥=k太容易與之對(duì)比求解了,所以在求解的時(shí)候更不容易出錯(cuò). 但是完整的參變分離往往其中一個(gè)函數(shù)圖像會(huì)非常難畫,這是徹底的參變分離的缺點(diǎn).

五、另外一種不完全的參變分離方法

原不等式(kx+3k)ex

①當(dāng)x= ?3 時(shí),不等式等價(jià)于0 < ?2e3,顯然不符合條件.

②當(dāng)x> ?3 時(shí), 不等式等價(jià)于,設(shè)f(x) =(如圖4),即kex

圖4

③當(dāng)x< ?3 時(shí), 不等式等價(jià)于,即kex>f(x).

對(duì)于y=kex,是經(jīng)過定點(diǎn)(0,k)的單調(diào)函數(shù). 當(dāng)k< 0時(shí),y=kex是單調(diào)遞減函數(shù),整個(gè)圖像落在x軸下方,此時(shí),有無數(shù)個(gè)整數(shù)點(diǎn)符合條件, 這與有且只有兩個(gè)整數(shù)解矛盾,不符合條件. 當(dāng)k> 0 時(shí),y=kex是單調(diào)遞增函數(shù),整個(gè)圖像落在x軸上方,此時(shí),有兩種可能.

圖5

圖6

六、學(xué)以致用——編制基于參變分離方法的訓(xùn)練題

根據(jù)2021 年北京高考數(shù)學(xué)卷第15 題,我們編制了對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)相結(jié)合的考題:

訓(xùn)練題已知函數(shù)f(x)=|lgx|?kx?2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若k=0,f(x)恰有2 個(gè)零點(diǎn);

②存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有個(gè)1 零點(diǎn);

③存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有個(gè)3 零點(diǎn);

④存在正數(shù)k,使得f(x)恰有個(gè)3 零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____.

解答對(duì)于f(x)的零點(diǎn), 我們把它分離成y=kx+ 2 和y= |lgx|兩個(gè)函數(shù), 轉(zhuǎn)變成兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)問題,y= |lgx|如圖7.

(1)y=kx+2 經(jīng)過定點(diǎn)(0,2), 當(dāng)k= 0 時(shí), 直線與y=|lgx|顯然有兩個(gè)零點(diǎn),所以①正確.

(2)當(dāng)k< 0 時(shí),由圖7 可知,有三種可能,在0

(3)當(dāng)k>0 時(shí),如下圖,也有三種可能,在x>1 處相切時(shí)一個(gè)零點(diǎn),在相切與平行x軸之間有三個(gè)零點(diǎn),其余零個(gè)零點(diǎn),以下求相切時(shí)的斜率.

同上可得直線y=kx+ 2 與曲線y= lgx(x>1) 相切于點(diǎn)P(t,lgt), 由函數(shù)y= lgx得, 由題意可得解得, 所以, 當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn),故④正確.

故答案為: ①②④.

評(píng)注原函數(shù)十分的復(fù)雜,難以處理,利用分段函數(shù)處理也非常麻煩,但是利用參變分離后的兩個(gè)函數(shù)相對(duì)來說簡(jiǎn)單很多,y= |lgx|是一個(gè)很常見的函數(shù),y=kx+2 是過定點(diǎn)(0,2)的直線,我們可以直觀的從圖像中觀察出直線斜率對(duì)于交點(diǎn)的影響,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題. 這種化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,化不常見為熟悉的化歸思想,在解決這類問題時(shí)十分的有用.

七、教學(xué)啟示

(一)體現(xiàn)化歸思想,培養(yǎng)邏輯推理能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出,邏輯推理能力的主要表現(xiàn)為:“掌握推理基本形式和規(guī)則,發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,探索和表述論證過程,理解命題體系,有邏輯地表達(dá)和交流.”[1]參變分離方法,能培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力,是化歸思想的體現(xiàn). 通過觀察、理解問題,對(duì)問題進(jìn)行有條理、合乎邏輯的變形,進(jìn)而從復(fù)雜的思路中找到解決問題的方向.

(二)重視方法本質(zhì),突破教學(xué)難點(diǎn)

面對(duì)一個(gè)含參變量的函數(shù),我們使用參變分離方法,能把復(fù)雜的函數(shù)變成兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù). 以上所采用的三種不同的分離方法,大同小異. 至于說哪一種簡(jiǎn)單,需要視解題者對(duì)每種不同函數(shù)的熟悉程度而定. 參變分離的方法能降低運(yùn)算量,但其教學(xué)難點(diǎn)是把一個(gè)函數(shù)圖像的問題轉(zhuǎn)變成兩個(gè)函數(shù)圖像的問題. 在教學(xué)中,需要在比較圖像這個(gè)地方對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化突破.

(三)重視方法的使用,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力

任何一種方法, 如果沒有把問題簡(jiǎn)單化都不是好方法,參變分離方法也一樣. 我們的著力點(diǎn)是簡(jiǎn)化函數(shù),簡(jiǎn)化運(yùn)算.同時(shí),參變分離方法也是數(shù)形結(jié)合的一種體現(xiàn),把零點(diǎn)問題,不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系問題. 在處理這一類問題的時(shí)候,唯有數(shù)與形的完美結(jié)合,我們才能找到最簡(jiǎn)單的方向,快速有效地解決它. 正因?yàn)閰⒆兎蛛x方法的實(shí)用性和有效性,在平時(shí)的教學(xué)中,我們應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生能夠熟練掌握這一方法.