厘清背景 明晰本源 培養(yǎng)思維品質(zhì)
——以圓錐曲線中一類動(dòng)圓過雙定點(diǎn)問題為例

廣東省惠州仲愷中學(xué)(516229) 陳偉流

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 年版2020 年修訂)在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào): 教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,敢于質(zhì)疑、善于思考,理解概念、把握本質(zhì),數(shù)形結(jié)合、明晰算理,厘清知識(shí)的來龍去脈,建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)[1]. 由此可見,教學(xué)實(shí)踐中必須注重并落實(shí)知識(shí)背景,數(shù)學(xué)本源等教與學(xué)的雙向工作,引導(dǎo)學(xué)生秉承整體關(guān)聯(lián)的理念進(jìn)行解題,研題,形成透過現(xiàn)象看本質(zhì)的高觀點(diǎn)整體認(rèn)知思維,從而才能培養(yǎng)并提升關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)等方面的學(xué)科思維品質(zhì).

一、試題剖析

評(píng)析本題以直線與橢圓位置關(guān)系為載體,以定點(diǎn),數(shù)量積為定值的呈現(xiàn)形式考查運(yùn)算求解,邏輯思維及數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力,反映了數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理,數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的測量導(dǎo)向,在難度系數(shù)上歸屬中檔題水平. 但實(shí)際教學(xué)中,多數(shù)學(xué)生卻因概念背景模糊,模型觀念單薄,運(yùn)算能力低弱而屢屢在解析幾何試題的情境中出現(xiàn)卡點(diǎn)棄答,無法獲得良好的解題認(rèn)知能力,欠缺透析一題看一類本質(zhì)的數(shù)學(xué)抽象思維.

解題中發(fā)現(xiàn),P,Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值,而P,Q由直線AM,AN所生成,lMN過橢圓的右焦點(diǎn)(定點(diǎn)), 因右頂點(diǎn)A的特殊性, 進(jìn)一步探索知:kAM·kAN= ?(e+1)2(e為橢圓的離心率), 所以筆者初斷這是存在定點(diǎn)S滿足的根源所在;而,動(dòng)弦PQ攜定點(diǎn)張直角,以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)是形異質(zhì)同的多種外在形式,在邏輯上抽象為類題歸一并入同一探索主線.

二、背景探索

三、發(fā)散推廣

四、應(yīng)用提升

題1(2023 屆廣西梧州柳州統(tǒng)考理科第20 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;

(2)當(dāng)x≥0 時(shí),記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,過F的直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),直線OP,OQ與直線x= 1 分別交于A,B兩點(diǎn),試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.

五、結(jié)束語

高考解析幾何試題多次以經(jīng)典的高等幾何知識(shí)為命題依據(jù),極具豐富的研究價(jià)值,如2022 年全國高考試題便以經(jīng)典的手電筒模型,圓錐曲線垂徑定理,米勒最大張角問題,圓錐曲線極點(diǎn)極線理論等高深背景而成為廣大師生愛不釋手,樂于耕耘的一片沃土, 具備師生備考上的典范性與指導(dǎo)性.所謂一題一世界,一變千萬面. 只有明晰每道試題的一般命制背景,厘清其知識(shí)本源,師生共同觸摸問題本質(zhì),才能實(shí)現(xiàn)試題背后的教育價(jià)值,幫助學(xué)生夯實(shí)運(yùn)算求解,邏輯思維等關(guān)鍵能力, 提升數(shù)學(xué)運(yùn)算, 邏輯推理, 數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),從而才能培養(yǎng)好思維品質(zhì)!