一道預賽題的解法探究與變式推廣

安徽省蕪湖市第一中學(241000) 劉海濤 聶 坤

1 問題呈現與分析

題目1(2021 年全國高中數學聯賽福建省預賽第12 題)已知橢圓的離心率為,A1,A2分別是橢圓C的左、右頂點,B是橢圓C的上頂點,F1是橢圓C的左焦點,且?A1F1B的面積為.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設過點D(1,0)的直線l交橢圓C于E,F兩點(點E在x軸上方),M,N分別是直線A1E,A2F與y軸的交點,求的值.

分析該題橢圓的簡單幾何性質,直線與橢圓的位置關系等知識,考查了學生分析、解決問題的能力及轉化與化歸、數形結合等數學思想,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養. 第(1)問求橢圓方程,屬于常規問題,答案是,此處不再贅述;第(2)問求線段比值,看似結構簡單實則內涵豐富,有著很深的命題背景,筆者通過對該問的解法探析及變式推廣,揭示該問的命題背景.

2 多解探析與解法評注

評注從目標式入手,將問題轉化為M,N兩點縱坐標比的絕對值, 設M(0,m),N(0,n),得到直線A1M,A1N的方程, 與橢圓方程聯立得到E,F兩點坐標(用m,n表示),最后利用向量共線表示D,E,F三點公式,得到2m+n= 0,問題順利解決. 這時,若我們大膽嘗試,過點D作x軸的垂線l′:x= 1,設l′分別與A1E,A2F交于P,Q兩點, 則有,由2m+n=0,得|DP|=|DQ|,這便是著名的蝴蝶定理.

圖1

一般地, 當我們遇到這樣的情形可考慮雙直線方程法,圓錐曲線C上三點A,P,Q,其中A為定點(一般為曲線C與坐標軸的交點),P,Q為兩動點,已知直線PQ過定點,求直線AP,AQ斜率積(或和)為定值;或已知直線AP,AQ斜率積(或和)為定值,求直線PQ過定點. 雙直線方程法的步驟:

(1)寫出直線AP,AQ的點斜式方程y?y0=k1(x?x0),y?y0=k2(x?x0)(其中(x0,y0)為點A坐標,k1,k2為直線AP,AQ的斜率);

(2)寫出雙直線方程[y?y0?k1(x?x0)][y?y0?k2(x?x0)] = 0,與曲線C的方程聯立,得到A,P,Q三點滿足的曲線系方程;

(3) 將步驟(2) 中的曲線系方程因式分解出x?x0(或y?y0),余下即為直線PQ的方程,若已知k1+k2(或k1k2)的值,則可求出直線PQ所過定點坐標;若已知直線PQ所過定點坐標,則可求出k1+k2(或k1k2)的值.

3 一般化推廣,挖掘命題背景

4 變式遷移,解法鞏固

4.1 對非對稱結構處理方法的練習

4.2 對雙直線方程法的練習