由一道試題探究圓錐曲線的一組線段中點性質

北京市第十二中學(100071) 周 瑾 劉 剛

1. 試題與解答

2. 推廣

由以上性質可以得到圓錐曲線的一個統一性質:

性質4已知L是圓錐曲線ω的一條對稱軸,E是L上不同于頂點的一點,E關于圓錐曲線ω的極線是l1,直線l2與L垂直,過點E作與L不重合的直線l交圓錐曲線ω于點A,B(A,B異于l2,L與ω的交點),交l1于點P,過點P作l2的垂線,垂足為Q,直線AQ交L于點C,直線BQ交L于點D,則E是線段CD的中點.

證明如圖,以橢圓為例,連接QE, 因為E關于圓錐曲線ω的極線是l1, 所以P,B,E,A是調和點列, 即QP,QB,QE,QA是調和線束. 因為L//PQ,L∩QA=C,L∩QE=E,L∩QB=D,所以E是線段CD的中點.