2022 年高考天津卷導數壓軸題的探究

廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

一、題目呈現

題目(2022 年高考天津卷第20 題) 已知函數f(x) =ex?asinx,.

(1)求函數y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;

(2)若y=f(x)和有y=g(x)公共點,

(ⅰ)當a=0 時,求b的取值范圍;

(ⅱ)求證:a2+b2>e.

試題的知識方面主要考查導數的運算,函數的切線方程,不等式等相關問題;思想方面主要考查轉化與化歸,方程與函數等思想. 綜合考查考生對函數、方程、導數、不等式等基礎知識的掌握和理解,推理論證及運算等方面的能力.

試題分步設問,逐步推進,試題的問題(1),問題(2)(ⅰ)較為簡單,本文不作討論;試題的問題(2)(ⅱ)的綜合性較強,較好地達到了考查目的. 試題的思維過程體現了能力立意的命題思想,對于考生運用所學知識,尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求. 本題層次分明,區分度高,作為試卷的壓軸題,是一道能突出選拔學生功能的好題.

下面從不同視角,給出問題(2)(ⅱ)的幾種證法.

二、證法探析

分析因為y=f(x) 和有y=g(x) 公共點, 故方程有實數解,顯然x= 0 不是方程的解,所以只需考慮x>0.

視角1: 絕對值不等式與均值不等式

評注證法1主要利用sin2x 0)等. 究其主要原因有三: 首先,此類函數的導數可以和多項式函數結合到一起,體現轉化與化歸思想;其次,此類函數能體現微積分的一個思想: 以直代曲,無限逼近;另外,此類函數與高等數學的級數結合比較緊密.

視角2: 柯西不等式

評注證法2 與證法3 利用柯西不等式進行放縮,思路巧妙,運算量較少,具有直觀、簡捷的特點. 所以在平時的學習中要善于鉆研,重視方法的積累和知識的儲備,熟練掌握一些有用的結論,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達到事半功倍的效果.

視角3: 主元法

評注在處理不等式有關問題時,若題目中有多個變量,且以x為主元解答較困難時,可以嘗試改變分析問題的角度,重新確立主元,排除參數的干擾. 這樣往往會有“山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村”的豁然開朗之感, 從而可化繁為簡,化難為易.

視角4: 直線方程與點到直線的距離

評注本證法數形結合,思路獨特,過程簡捷,明了,令人叫絕. 數形結合思想的應用十分廣泛,著名數學家華羅庚先生曾用一首詩完美的闡述了數形結合的價值和本質,即“數形本是相倚依,焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直覺,形缺數時難入微. 數形結合百般好, 隔裂分家萬事休. 幾何代數統一體,永遠聯系莫分離. ”在運用數形結合解題時,要注意“以形助數,以數解形”,用直觀的幾何反應抽象的公式,用精確的代數規范幾何圖形.

視角5: 三角換元與輔助角公式

評注本證法利用三角換元,借助三角函數的輔助角公式與正弦函數的有界性進行放縮. 證法新穎,能簡化推理和運算過程.

視角6: 反證法與柯西不等式

評注本證法采用反證法,借助柯西不等式,ex>x+1,sin2x

一題一世界,試題的解答分別應用均值不等式、柯西不等式、主元法、三角函數、反證法、數形結合等高中核心知識,證法各具特點,各自精彩.“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”,從不同的思維角度分析同一道題目,得到不同的解題方法,一題多解的方式增加了題目涉及的知識廣度,體現了知識的橫向聯系. 從數學知識的角度來看,通過解題發現知識的相互聯系,體會知識之間的轉化過程,從多角度地思考和發現問題,從而構建知識的網絡體系. 因此要對典型的題目要深入挖掘,探求試題背后的思想方法,注重一題多解,力求對所學的知識融會貫通.

三、鏈接高考

縱觀近幾年的高考試卷,函數不等式的證明是熱門的考點之一,有綜合性強,思維量大,方法繁多,技巧性強等特點,特別是以ex,lnx,sinx(或cosx)為背景的函數不等式證明,倍受命題者青睞,常作為壓軸題頻頻亮相. 例如:

四、結語

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進行了充分考量,是知識、能力和思想方法的載體,是命題思想、命題理念的程序化展現,具有典型性、示范性和權威性. 高考試題有良好的導向性,要了解高考動向、把握高考脈搏,高考試題的研究分析是重要的路徑. 因此要充分認識高考題所蘊含的價值,對典型的高考題要深入挖掘,探求試題背后的思想方法,精學一題,妙解一類,進而形成一個條理化、有序化的高效的認知結構,從而提煉出數學思想與方法,使思維得到發展.