高職高等數學教學中學生數學思維的培養研究

李曼瑩

數學知識邏輯嚴密，嚴謹有序，具有高度的抽象性和內在邏輯性，需要具備相應的數學思維從數學的角度進行理性思考，才能清晰準確地表達和解決數學問題。一般來說，常用的數學思維有邏輯思維、類比思維、發散思維、逆向思維、整體思維等，有重點地培養學生的數學思維，可以助力學生更科學、合理、高效地學習高職數學。高職高等數學是高等教育的重要內容，就目前而言，在實際教學中學生的數學思維意識不足，不能較好地運用數學思維解決高等數學問題，數學思維的培養亟待優化。

1 高職高等數學教學中學生數學思維培養的意義

高職高等數學理論難、邏輯強、使用廣，深化了數學學習的難度，在高等數學教學中學生數學思維的培養意義深遠。具體說來，一是，有利于提高學生的學習興趣。高職學生的數學思維能力普遍較弱，在高等數學學習中面對抽象的“數”與“形”相關知識的學習，往往存在較大的畏難情緒，不能較好地解決數學問題。數學思維的培養可以讓學生理性看待數學問題，在解題思路上從數學視角分析問題，找準數學問題的切入點，幫助學生循序漸進解決數學問題，學生的畏難情緒也會隨之下降，取而代之的是學習數學過程中的成就感和滿足感，進而形成數學學習的內驅動力，高等數學學習的興趣也將得到提高。二是，有利于提高學生的數學素養。數學素養是基于數學學科的重要思維品質，在高職高等數學教學中培養學生的數學思維，讓學生建立起用數學思考問題和解決問題的思維，學生的數學抽象能力、邏輯推理能力、數學運算能力等綜合素養都會得到提高，對提高學生的數學素養大有裨益。三是，有利于學生學以致用。數學是一門實用性很強的學科，高等數學也是如此，高職高等數學教學中培育學生的數學思維，有利于讓學生學會用高等數學的思想解決實際的生活問題，掌握數學應用能力，從而基于數學思維理論聯系實踐地學以致用。

2 高職高等數學教學中學生數學思維概述

數學思維培養具有長期性和復雜性，在高職高等數學教學中，培養學生的數學思維任重道遠，主要的數學思維有邏輯思維、類比思維、發散思維、逆向思維和整體思維，其具體內容如下：

2.1 邏輯思維

邏輯思維是人的理性認識的高級階段，主要借助于概念、判斷、推理等思維形式，綜合運用比較、分析、綜合、抽象、概括等思維方法，在認識客觀世界中對思維規律進行歸納分析，遵循邏輯規律有條理、有步驟、有根據地形成一個相對完整的思想，邏輯思維規范且嚴密。高職高等數學教學中培養學生的邏輯思維，主要是從數學的角度進行邏輯推理，培養學生對數學對象和數學內容的理性認識，即對數學概念中的空間形式、數量關系、結構關系等內容，有條理、分步驟、有根據地理性思考和嚴密求證，按照邏輯思維規律準確表達數學語言，得出新的數學判斷和概念。

2.2 類比思維

類比思維是一種創造性的思維，根據兩個具有相同或相似特征的事物對比，比較二者之間的關聯和差異，深入挖掘不同對象間存在的相似關系，異中求同或同中求異，其中隱含有觸類旁通的涵義。數學中許多定理、公式和法則通過類比之后經過深度思考，往往能發現它們的一般規律，數學課堂教學中讓學生嘗試觀察和類比，在類比思維的作用下提煉問題表象背后本質的東西，可以使高等數學教學中在類比中聯想，在類比聯想中升華思維，基于類比思維強化對高等數學概念的認知。

2.3 發散思維

發散思維是指思維呈現多維發散狀，多指思維視野寬廣，由點及面發散性地思考，在解決問題過程中需求多種方法，如“一題多解”的方式，對現有信息進行規劃和研究，同時采用不同形式進行解題。發散思維以新穎獨特的思維活動揭示問題，能對原命題進行拓展和創新，具備獨創性、變通性、多樣性的思維特點。高職高等數學教學中發散思維的培養至關重要，探究和了解數學的過程中將題目結構進行變式，往往需要靈活運用多種解題方法，發散思維突破常規考慮問題的固定思維模式，有助于學生打開思路，激勵學生進行積極的思維活動。

2.4 逆向思維

逆向思維是相對于正向思維而言的，正向思維是常規的思維模式，遵循客觀事物發展的一般規律去思考的方式。而逆向思維顧名思義是指朝相反的方向思索的思維，深入研究思維的相反方向，反其道而思之，從反向思考的角度另辟蹊徑，從問題的相反面深入地進行探索，出其不意地打破常規思維的束縛，給人耳目一新的感覺，最終以“出奇”去達到“制勝”的目的。在高等數學中培養學生逆向思維，解題時從結論往回推，倒過來思考，讓思維向對立面的方向發展的思維方式，以不同視角探究數學問題，反過去想或許會使問題簡單化，使問題獲得創造性的解決。

2.5 整體思維

整體思維又稱系統思維，即以整體和全面的視角把握對象，從整體上注重更為全面、綜合、系統的思考。整體思維具有高度綜合性，也是更為高階的思維方式，在觀察分析和研究處理問題時，對問題的整體形式、整體結構、已知條件和所求綜合考慮。整體思維是一種數學思維形態，高職高等數學教學中培養學生的整體思維，就是在解析數學問題的時候從問題的整體性質出發，用“集成”的眼光看待數式或圖形，有目的、有意識地看成一個整體，強調整體與局部的關系，綜合考慮后得出結論。

3 高職高等數學教學中學生數學思維的培養困境

3.1 邏輯思維的培養困境

邏輯思維是數學思維的核心，但在高職高等數學實際教學中，對學生數學思維過程的培養缺乏，教學中過多地傳授和講解數學知識，忽視了學生邏輯思維建立的重要性，導致學生無法運用數學思維解決數學問題，不能用數學語言闡釋數學知識的內在因果關系，不僅如此，還容易使學生思考時沒有頭緒，表達邏輯混亂，數學知識學習的條理化，不足無法清晰、準確、順利地思考數學問題。

3.2 類比思維的培養困境

類比思維重在比較兩個具有相同或相似特征的事物，高職高等數學教學中教師忽視了對學生類比思維的培養，學生掌握定義、定理、定律等知識時缺乏類比思維，新舊知識之間的內在聯系和差異很難區分，同時由于學生自身的數學遷移能力不足，容易造成類比構成錯誤的現象，加之消極定勢思維的不良思維習慣，僅簡單地用類比的過程代替證明的過程，反而容易陷入思維困境。

3.3 發散思維的培養困境

發散思維強調一題多思，有些高職數學教師在教學中忽視了對學生思維的發散和拓展，給予學生的思考空間不夠，高等數學教學中直接講授數學概念方法，學生在數學學習中較為被動，加之學生自身的知識水平局限性，很難自主思考更深層次的數學問題。長遠來看，數學思維不能發散性思考，學生對數學知識的掌握程度有限，容易使數學思維固化，難以從不同角度進行探索數學知識領域，對學生的高等數學學習十分不利。

3.4 逆向思維的培養困境

逆向思維主要相對于正向思維而言的，換言之，就是“反其道而思之”。在高職高等數學教學中，一般采用“建立定理——證明定理——運用定理”的正向思維方式，對學生逆向思維的培養不夠重視，在解決一些數學問題時，不僅需要正向思維還需要逆向思維，實現二者之間的相互轉換和聯想，才能起到輔助數學學習的作用，而缺乏逆向思維的引導，學生不具備逆向考慮數學問題的意識和能力，會給學生帶來了一定的困難，思維轉化不順暢。

3.5 整體思維的培養困境

整體思維尤其適用于高等數學學習中復雜問題的解決，將數學問題整體代入和分析，一直是學生學習的難點。目前，高職高等數學教學中對學生整體性思維的培養有待優化，學生有目的、有意識地整體處理數學問題的思維不足，在數學學習過程中仍然存在單一化、碎片化、片面化的思維局限性，影響對高等數學知識的構建、聯系、整體應用。

4 高職高等數學教學中學生數學思維的培養策略

4.1 邏輯思維的培養策略

數學學科的理論性較強，高職高等數學教學的難度較大，數學教師在講解具體的數學概念和命題的過程中，注重對學生數學邏輯思維的培養，讓學生遵循相應的邏輯發展規律去推理，逐漸構建起邏輯性數學體系，可以有效提高學生的邏輯思維能力。在具體做法上，一是，注重思維過程。數學邏輯思維的培養非常注重思維的過程，對于高等數學學習中的數學問題，在解題之初就應結合所學知識進行初步的判斷和推理，從感性到理性進行抽象概括，讓學生從已獲得的判斷中進行推理得出新的認知。二是，強化聯系與區別。數學知識之間的聯系較強，邏輯思維的建立基于強化數學知識點之間的聯系與區別之中，學生從抽象的概念形成中，通過數學符號、圖形和數字的轉化，遵循數學規律轉變為具體的直觀的數學概念，其思維的過程就是邏輯思維的形成過程，從而形成正確的數學觀念。值得一提的是，特別是容易混淆的法則與概念，在邏輯思維的引導下能讓學生深化認識，記憶深刻。三是，培養思維的活躍性和敏感度。邏輯思維的訓練有一定的方法和技巧，但并非固定不變的，數學學習也是如此，高職高等數學學習中培育學生思維的活躍性和敏感度，讓學生提高對數學符號和數學圖形的敏感度，遇到特殊的符號和圖形可以快速反應推理得出結論，在邏輯思維的培養中至關重要，尤其是數學新舊知識銜接的過程中，積極調動學生思維的積極性，讓學生對數學知識的學習保持積極和活躍的思維狀態，同時指導學生對數學相關知識點進行梳理、分類和整合，可以幫助學生更好地形成邏輯思維體系。

4.2 類比思維的培養策略

在高等數學教學中，數學的運算、證明、作圖內容較多，類比思維的培養必不可少，學生對已有數學知識進行歸類和整理，通過比較新舊知識的差異，迅速找出新舊知識之間的內在聯系，找到相似和相異的地方，啟發學生思路，實現學生新舊知識之間的過渡和轉化。高職高等數學教學中類比思維的培養，可以極大提高學生數學學習的有效性，常見的培養策略，一是，創設類比教學情境。數學教師在特定的數學情境下，如線性代數教學中，很多概念并不是孤立存在的，在學習向量組的秩時，通過類比思維的運用，即通過與向量組所構成矩陣的秩比較，會發現矩陣的秩與其列向量組、行向量組的秩是相等的，從而可以用矩陣的初等變換來求向量組的秩。學生掌握了類比思維之后，可以較好地將各個知識點串聯起來，溫故而知新。二是，激勵類比聯想。類比思維往往和聯想緊密聯系，在數學知識擴展中借助比較和聯想啟發猜想，尋求思維的創新。如極限、導數、定積分的概念教學中，就可以運用類比思維讓學生更好地學習微積分。

4.3 發散思維的培養策略

發散思維是相對集中思維的一種思維方法，發散思維力求打開思維的寬度和廣度，尋求更為廣闊的思維方法，相對于集中思維更具優越性。高職高等數學教學中，發散思維具有多維思維的特點，培養學生的發散思維，就是讓學生從多種思路和多種設想進行思考，讓學生在開放性的思維狀態下，使數學思維面更為廣闊，學生能夠從多個層次探尋數學規律。如高等數學存在很多一題多解的題目，以極限的教學為例，極限是微積分學的基礎，也是整個高等數學課程的難點內容，較好地運用發散思維的方法，多維度考慮數學知識的層次變化，引導學生以多維角度探求解題途徑，讓學生具備發散思維的能力去解題，在一題多解中助力學生想象能力和發散能力拓展，可以幫助學習掌握好極限的概念和運算，實現數學學習能力的“飛躍”發展。

4.4 逆向思維的培養策略

高職高等數學教學中培養學生的逆向思維，引導學生合理利用逆向思維，使問題簡化、證法簡捷、解題清晰，有助于提高學生高等數學學習的質量和效率。逆向思維的培養策略，具體說來，一是逆推法。逆推法就是從結果和結論倒推已知條件，把證明反過來倒推，綜合性較強，算法靈活，常見的加、減、乘、除的驗算，就是逆運算的驗算。二是反證法。即從否定命題的結論入手，證明反論題的虛假。高職高等數學教學中引導學生從反面的角度的證明方法解題，多用于正面的直接論證或反駁比較困難時，“否定得出矛盾→否定”，一個命題與其逆否命題同真假。三是變量代換法。對于一些結構較為復雜、變元較多的數學問題，傳統的常規的思維方法難以解答，采用變量代換法，引入一些新的變量進行代換，可以提高學生的解題能力。如在求積分中的應用，利用中間變量的代換，把復合函數的微分法反過來用于求不定積分，就得到了復合函數的積分法，變量代換法在數學解題中的應用較為廣泛。四是待定系數法。在高職高等數學學習中，遇到有一個或多個數值尚待確定的數學問題時，可采用待定系數法設出某些未知系數，以確定待定系數的值（范圍），待定系數法是高等數學教學中運算、推理論證的重要方法，在實際教學中教師應加強學生靈活使用，用逆向思維的方法解決數學難題。

4.5 整體思維的培養策略

整體思維注重對數學對象的整體性把握，從整體出發將需要解決的問題統籌考慮，常常能起到化繁為簡、變難為易的作用。高職高等數學教學中培育學生的整體思維，有整體代入、整體加減、整體代換、整體聯想等多種表現形式。其中，一是整體代入。整體代入在求代數式值中應用較多，高等數學中矩陣多項式的計算中應用整體代入的方法，可以較好地達到求值的目的。二是整體加減。數學學習中結合方程組的結構特征，對問題進行整體處理，可以打破常規，從全局出發解決數學問題。三是整體代換。即把某個數學式子用一個新的量代換，利用它滿足的等量關系進行解題，可以加強學生數學問題的解決能力。四是整體聯想。整體思維關注學生整體認知結構的建立，為避開繁雜的思維和計算，從分析問題的整體結構出發展開聯想，起到化隱為顯的解題效果。

4 結語

總之，高職高等數學學習不僅需要解題方法和技巧，更重要的是具備數學思維，培養學生的數學思維，對于高等數學學習具有事半功倍的作用，將使學生終身受益。數學思維的培養并非易事，需要數學教師結合教學實際情況，有意識地把數學思維意識滲透在教學的全過程，循序漸進幫助學生建立起數學思維，促使學生從多個角度思考數學問題，只有這樣，才能不斷提高高職學生的數學思維水平，使之具備數學思維能力，更好地解決數學問題，進而攻堅克難，提高高等數學學習的成效。

（作者單位：平涼職業技術學院）