絕妙二等分

曾洪根

周末，木木過(guò)生日，小小來(lái)給他慶祝。木木端上來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的生日蛋糕，說(shuō)：“咱倆一刀下去，把蛋糕平分了，一人一半。”“這還不簡(jiǎn)單！”小小拿起刀開(kāi)始切。

把一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的蛋糕平分成兩塊，大多數(shù)人都會(huì)覺(jué)得很簡(jiǎn)單，能立馬給出四種不同的分法。

這四種分法有一個(gè)共同點(diǎn)：它們的分割線(xiàn)都會(huì)經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)就是蛋糕表面矩形的中心點(diǎn)。只要通過(guò)中心點(diǎn)，無(wú)論怎么作直線(xiàn)，我們都能把表面矩形二等分。

那么，如果給你的是這樣一個(gè)不規(guī)則的六邊形蛋糕，你會(huì)怎樣平分它？

有趣的平分

乍一看，上面的方法似乎不再適用了。但是仔細(xì)一想，這個(gè)蛋糕表面的六邊形可以看成是兩個(gè)矩形的組合圖形，而且每個(gè)矩形的中心點(diǎn)可以通過(guò)它們的對(duì)角線(xiàn)找到。既然只要通過(guò)中心點(diǎn)作線(xiàn)就能將一個(gè)矩形二等分，那么我們不妨這樣作圖，如圖3所示。

首先將蛋糕表面的六邊形分成兩個(gè)矩形，再利用矩形的對(duì)角線(xiàn)分別找出它們的中心點(diǎn)。最后，只要用直線(xiàn)連接兩個(gè)矩形的中心點(diǎn)，就能將六邊形二等分了。所以，只要沿著直線(xiàn)切開(kāi)，就能平分蛋糕。

但是，并不是所有類(lèi)似形狀的六邊形都可以用這種方法來(lái)二等分。如果需要二等分的六邊形蛋糕如圖4所示，而你還是照?qǐng)D3的方法去分的話(huà)，就會(huì)鬧出笑話(huà)啦。瞧，如果把圖4的蛋糕表面的六邊形看成是兩個(gè)矩形的組合圖形，分別找出它們的中心點(diǎn)并連線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)將會(huì)把六邊形蛋糕分成三塊而不是兩塊，如圖5所示。

這完全違背了“圖形二等分”的要求，是一種錯(cuò)誤的分法。那么，出路在何方呢？俗話(huà)說(shuō)：“山不轉(zhuǎn)水轉(zhuǎn)。”我們不妨這樣想：既然不能把圖4的蛋糕表面的六邊形看成是兩個(gè)矩形的組合圖形，那么能不能把它看成是一個(gè)被剪去了一個(gè)小矩形的大矩形呢？

我們把圖4的蛋糕表面的六邊形看成一個(gè)被挖去一角的大矩形。這樣，新的方法就產(chǎn)生了，如圖6所示。用直線(xiàn)連接兩個(gè)矩形的中心點(diǎn)，就可以將六邊形二等分了。因?yàn)橥ㄟ^(guò)大矩形中心點(diǎn)的所有直線(xiàn)都能把大矩形二等分，而通過(guò)被挖去小矩形中心點(diǎn)的直線(xiàn)也能把小矩形本身一分為二，兩者一結(jié)合，經(jīng)過(guò)兩個(gè)矩形中心點(diǎn)的直線(xiàn)不是正好把剩下的六邊形也二等分了嗎？