“畫數學”——表達思維的別樣方式

倪琛

2022年頒布的《義務教育數學課程標準》指出，要培養學生會用數學的語言表達現實世界。“畫數學”對于學生來說，意味著用數學的眼光看世界，用別樣的方式表達思維，用豐富的想象創造精彩，所以“畫數學”的本質就是學生的知識認知“數學化”的過程。在小學數學課堂教學中，學生借助“畫數學”這種別樣的方式，直觀地展示自己對概念、計算、思路、猜測、結構的理解和思考，達到“千江有水千江月”的境界。在“畫數學”中畫出了學生被激活的已有經驗，畫出了學生被激活的數學思維，也畫出了學生被激活的數學素養提升的樣子。

一、畫概念——化虛為實，把握概念本質

對于學生來說，數學概念往往是“虛”的，概念的認識是一個抽象化和舉例的過程，需要在學生的頭腦中將之轉化成具體的可感、可視、可觸、直觀的畫面才能夠理解和感悟。畫概念就是在概念教學中，啟發學生化虛為實，把自己對某個數學概念的理解和感悟畫出來，變成可以感悟、便于思考的畫面，從而易于把握概念的內涵與外延。畫概念的關鍵是充分經歷列舉和抽象，把握概念的本質。

例如，教學“小數的初步認識”時，在學習了小數的讀寫法之后，教師拿出一個紙杯，介紹它的價格是0.1元，問學生：“0.1元也就是多少錢？”學生異口同聲回答說：“1角。”教師說：“是的，同學們都知道了，原來這1角就是0.1元，換句話說這0.1元就是1角。一年級的時候我們換過人民幣，這1元可以換成10角。”同時，課件展示一張一元紙幣兌換成10張1角紙幣。這時，教師提出：“如果用一個長方形來表示1元，那怎么表示0.1元呢？你們能畫圖來表示嗎？”學生們用不同方法來表示0.1元，有的學生把長方形豎著平均分成10份，將其中的1份涂上陰影就是0.1；也有的學生先把長方形豎著平均分成5份，再把每一份橫著平均分成兩份，也就是平均分成10份，將其中一份涂上陰影，就是0.1元。在此基礎上，通過交流，學生知道了把表示1元的長方形平均分成10份，其中的1份就是0.1元，如果用分數表示就是1/10。

在借助米尺引導學生理解零點幾就是十分之幾的基礎上，設計“我寫你畫”的游戲：同桌兩人分別寫一個學過而且知道它的意義的分數，給對方畫出這個數字的意義，然與同桌進行交流。

在全班匯報交流時，教師展示了大部分學生選擇畫的零點幾的幾幅圖：有的學生把一個長方形平均分成10份，將其中的5份涂上陰影表示0.5；有的學生把一個正方形平均分成10份，將其中的4份涂上陰影表示0.4；有的學生把一個圓平均分成10份，將其中的9份涂上陰影表示0.9，還有的學生把一條線段法平均分成10份，將其中的8份涂上陰影表示0.8。接著讓學生觀察，并說一說看懂了什么。這四幅圖中，學生們分別用長方形、正方形、線段或者圓表示1，把他們平均分成10份，涂了或者選擇了其中的幾份，就可以表示成零點幾。這時，教師進一步讓孩子思考：“同學們畫的零點幾都差不多，除了用長方形、正方形、線段或者圓來表示1，還可以用其他來表示1嗎？”有的學生想到了還可以用橢圓、三角形……這時，教師提醒道：“橢圓或者三角形似乎不太容易平均分成10份。”學生馬上發現：“圓也不太容易平均分成10份，有的圖沒有真的平均分。如果沒有平均分的話，就不能正確地表示這個小數了。”

在這個片段中，教師化虛為實，將抽象的零點幾的小數的意義用看得見、摸得著、直觀的圖形表征出來，引領學生在畫圖、說圖、析圖、比圖中，體驗感悟到必須進行等分才能表示零點幾的小數，從而把握了小數的十進本質。

二、畫計算——化理為形，直觀理解算理

對于學生來說，數學計算往往是枯燥的，算理往往也是深奧的，計算的理解是解決怎樣算以及為什么這樣算的問題，也就是計算過程中的思維方式，需要在學生的頭腦中將之轉化成具體的可探究、可操作、可表征的場景才能夠掌握算法和理解算理。畫計算，就是在計算教學中，啟發學生化理為形，把自己對計算方法的探究和算理的理解畫出來，變成便于充分比較、觀察的畫面，從而易于觀察、比較、歸納出算法并理解算理。畫計算的關鍵是圖畫與算式結合，相互對照說明。

例如，教學“異分母分數加減法”時，算理很抽象，可以讓孩子畫計算。課一開始出示例題：有一塊長方形的試驗田，其中1/2種黃瓜，1/4種番茄。黃瓜和番茄的面積一共占了這塊地的幾分之幾？教師首先讓學生讀題，自己列式并嘗試算一算。在匯報時出現了兩種不同的想法：一種認為1/2+1/4=3/4，因為1/2是2個1/4，也就是2/4，所以1/2+1/4=3/4；另一種認為1/2+1/4=2/6，因為分數計算和小數計算一樣，1+1是分子，2+4是分母。那么哪種方法是正確的呢？于是教師請同學們畫圖來解釋說明。

一學生展示他畫的圖，并解釋道：“第二種方法是錯的，我先畫出是一塊長方形地的1/2，又畫出同樣大的長方形的1/4，還畫出了同樣大的長方形的2/6，同樣的長方形地的2/6比這塊地的1/2要小，這是沒有道理的。”這時，教師補充：“一塊地的2/6就是它的1/3，的確是比1/2小，和比加數還小？能這樣算嗎？”學生很肯定地表示不能分子加分子、分母加分母。這時，又一學生提出了第三種算法，并出示他的圖：1/2+1/4=5/8。先畫一塊長方形試驗田，1/2種黃瓜，所以分一半給黃瓜，還有1/4種番茄（將剩下的一半平均分成4份，取其中一份種番茄），這樣就有5個1/8，也就是5/8。另一個學生著急了，也拿出他畫的圖說道：“這是錯的，左邊的1/2，種黃瓜沒錯，它是整塊試驗田的1/2，右邊種番茄的部分也應該是整塊試驗田的1/4，而不是剩下的那一半的1/4，所以應該是1/2+1/4=3/4。”

教師進一步引導，還有其他方法嗎？學生又展示了新的畫圖并解釋說明：“我也贊成1/2+1/4=3/4，我用圓表示一個整體，第一個圓中的陰影部分是1/2，第二個圓中的陰影部分是1/4，把它們合在一起就是3/4。”甚至還有一位同學用線段圖來解釋了1/2+1/4的計算方法：“把一條線段平均分成兩份，其中的1份是1/2，再把剩下的線段平均分成兩份，其中的1份是1/4。”教師質疑：“從你的圖來看，圖中的1/2是1份，1/4也是1份，合起來不就是三份中的兩份，和不就是2/3，又怎么會是3/4？”這時，又引發了學生的辯論：“這位同學沒有平均分，每一份是不同的，可以把前面的1/2平均分成2份，變成2個1/4，2個1/4加上1個1/4就是3個1/4，就是3/4，”從而引導學生發現分數單位相同才能相加。

這個片段中，教師啟發學生化理為形，通過“畫計算”進行“說理”，而且在說理時不僅結合錯例引導學生正確畫圖表示題意，還注意啟發學生用長方形、圓、線段等不同的圖表征出通分的實質，就是把異分母分數通過等值變換轉化成同分母分數。學生不僅看到了“數”的轉化，還看到了“形”的轉化，借助“形”的變換直觀理解“數”的變換。

三、畫思路——化靜為動，突破思維難點

對于學生來說，問題解決的呈現往往是“靜”的，而其中的數學問題或數量關系又蘊含著動態的過程，問題解決是理解、分析和應用數量關系的過程，需要在學生的頭腦中將之轉化成可動、可變、有軌跡可循的畫面，才能夠易于把握解決問題的關鍵，突破思維難點。畫思路，就是在問題解決教學中，啟發學生化靜為動，把自己所理解的題意、分析的思路用畫圖的方式表征出來，從而厘清數量關系，找到解決問題的方法。畫思路的關鍵是充分表征問題和分析問題，厘清思維路徑。

例如，教學“空瓶換飲料”這一問題時，教師首先出示情境圖：光明超市在開展清涼夏日飲節的“空瓶換飲料”活動。讓學生用畫圖的方式表征“3個空瓶換一瓶飲料”這句話的意思。學生獨立畫圖后，教師展示了學生三幅作品：第一幅圖，學生畫了三個空瓶子和一瓶飲料，中間用箭號連接，箭號上面寫“換”；第二幅圖用空白圓表示空瓶，用黑色圓表示飲料，三個空瓶換一瓶飲料；第三幅圖用空白長方形表示空瓶，用多行波浪線表示飲料，三個空瓶等于一個空瓶加上一份飲料。

接著啟發學生觀察比較：這三幅圖，除了畫的圖形不同，還有什么不同的地方？學生發現這里的“3個空瓶換一瓶飲料”的意思是用3個空的瓶子換一份飲料，同時產生了1個新的空瓶，也就是3個空瓶=1份飲料+1個空瓶。

在明確了換的規則之后，教師提出問題：“小丁有12個空瓶，最多可以喝到多少瓶飲料呢？”讓學生用畫圖、算式或者文字，把自己思考的過程畫出來。在匯報交流時，發現學生展示了不同的“換”的方法：有的同學用12個空瓶換了4瓶飲料，有的同學用了不同的方法把12個空瓶換成了5瓶飲料，有的同學用12個空瓶換了6瓶飲料。

這時，教師提問都是用12個空瓶來換飲料，怎么換的結果不一樣呢？有的同學換了4瓶，有的同學換了5瓶，甚至還有的同學換了6瓶呢？于是有的學生說：“只換了4瓶飲料的同學，會產生4個空瓶，還可以繼續換。”教師追問：“那有的同學結果都是換了5瓶，可是‘換的方法卻不一樣，他們‘換的過程區別在哪兒？”學生在比較中發現他們換飲料的策略不同，有的同學是換成4瓶飲料全部喝掉，再拿新的空瓶換1瓶飲料，一共換了4瓶飲料；而有的同學則是邊換邊喝飲料，一個新空瓶跟兩個舊空瓶再換一瓶飲料，喝完又有新空瓶，又繼續換。不管哪種策略，每次都是用三個空瓶換1個空瓶和1份飲料。最后，教師再次啟發：“竟然有同學換成6瓶，你們能看懂嗎？”學生思考了一會兒，得意地說：“剩下2個空瓶，向老板借一瓶飲料，然后還給老板。”教師笑著說：“借的是飲料，還的是空瓶子，要是你是老板，你樂意嗎？”學生遲疑了一下說：“那我就借一個空瓶，這樣就可以用三個空瓶換一瓶飲料，喝完再還老板一個空瓶。這樣，借一空瓶還一空瓶，老板應該會愿意了吧！”教師再次引導學生并啟發學生，借助“借一還一”的方法實際上是實現了用2個空瓶換1份飲料。

在這個教學片段中，教師啟發學生化靜為動，借“畫思路”把動態的思維過程展示出來，這樣通過交流與圖畫表征相結合的方式，從理解“3個空的瓶子換一份飲料”到建立“3個空瓶=1份飲料+1個空瓶”的等量信息的基礎上，最終形成“2個空瓶=一瓶飲料”的思維，突破了“空瓶換飲料”問題中“借一還一”這個難點。

四、畫猜測——化給為引，形成思維模型

對于學生來說，課堂講解的知識往往是“給”的，而學生自己探究獲得的知識，才更有感覺，也更有感情。猜測的驗證是需要將主動權交給學生，讓學生自己去探尋，需要學生將之轉化成體驗、思維、探索的畫面，才能根據猜測進行推理和驗證，最終形成思維模型的過程。畫猜測，就是在圖形教學中，教師化給為引，適當“點化”，拓展學生的思維，使學生的探究實踐得到不斷提高和完善。畫猜測的關鍵是學生從自身的體驗和獨立的思維加工中獲取知識的本質。

例如，教學“圓的面積公式”時，教師首先讓學生回答：“你認為圓的面積與什么有關？”學生一致認為跟半徑有關，甚至還有學生結合面積單位，推測出圓的面積可能與半徑的平方有關系。于是教師引導學生想一想，嘗試畫一畫并找一找圓的面積與半徑的平方之間的關系。展示時發現有的學生在半圓上畫出一個最大的三角形，三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，那么三角形的面積就是半徑的平方，半圓的面積比這樣的三角形的面積大，但是又比這樣的三角形的2倍小，于是推測圓的面積可能是半徑的平方的3倍多一些；有的學生在圓心角為90°的扇形上畫一個邊長為半徑的正方形，那么正方形的面積就是圓的半徑的平方，正方形的面積大于圓心角為90°的扇形的面積，于是推測圓的面積比半徑的平方的4倍要小一些。

接著，教師啟發學生結合之前平行四邊形面積公式的推導過程及書上的提示，引導學生繼續畫圖進行驗證，并尋找聯系：“在轉化的過程中什么沒變，什么變了？圓和近似的長方形之間有什么聯系？”。學生畫出從圓轉化成近似長方形的過程，對照圖示，探究它們之間內在的聯系。很快就發現，在轉化的過程中，面積不變，近似長方形的長相當于圓周長的一半也就是πr，寬相當于圓的半徑，從而推導出圓的面積等于半徑的平方的π倍，驗證了之前的猜測的正確性。最后回顧推測、驗證的過程，自主推導出圓的面積公式是S=πr2。

在這個教學片段中，教師不是直白地把圓的面積計算公式給了學生，而是引導學生直觀畫圖，獨立思考，并交流自己的新想法和新體會，逐步驗證推理，領悟數學思想，從而實現形成思維模型，自主推導出圓的面積計算方法。

五、畫結構——化點為線，建立思維結構

對于學生來說，數學知識的獲取往往是“散”的，而知識體系中的各個知識點卻是相互關聯的。學生的學習最終是要整體觀照，形成知識結構網絡，需要在學生的頭腦中將之轉化成循序、聯通、綜合的畫面，才能易于建立關聯結構。畫結構，就是在復習教學中，啟發學生化點為線，把自己所學的知識點串聯成線，在串聯中融入并聯，梳理關系、整理歸類、綜合提煉，從而整體建立關聯。畫結構的關鍵是提煉重點和建立關聯，實現從整體到分散再到整體。

例如，教學“多邊形的面積”整理復習第一課時，一開始就開門見山問學生這個單元主要學習了什么？都是通過什么方法進行探究學習的？貫穿始終的一條線索是什么？然后讓學生四人為一小組梳理本單元的學習內容，并用思維導圖的形式畫出自己的理解和想法，并展示匯報交流。學生借助思維導圖，用自己的方式從不同的角度詮釋了對本單元的理解，在展示交流的過程中，教師啟發學生整體觀照本單元知識點，并適時舉例說明驗證，探尋關系聯通，從而形成完整的多邊形面積的知識網絡。

這個教學片段中，教師啟發學生化點為線，借“畫結構”經歷“整—分—整”的知識梳理過程，尋找到各個平面圖形面積計算公式推導過程中的內在聯系，進一步感悟“轉化”的魅力，整個學習由“浪漫”走向“準確”，最終走向“綜合”，從而實現思維結構的建立。

六、結語

對于學生來說，數學是一項“學”的任務，而學生天生喜歡想象、涂鴉和創造。因此，學生的學習是需要被吸引的、心情愉悅的，需要在學生的頭腦中形成親近的、有趣的、富于想象的畫面，才能易于促進思維創新。畫數學，就是在數學教學中，啟發學生發揮想象，化學為戲、化虛為實、化理為形、化靜為動、化給為引、化點為線，將數學與生活編織進自己的圖畫中，從而把握概念本質、直觀理解算例、突破思維難點、形成知識模型、建立關聯結構，以實現思維創新和素養的提升。