應(yīng)用“幾何畫板”分析帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

伏軍

【摘要】帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)涉及許多幾何知識(shí)，其中粒子的軌跡圓與磁場(chǎng)區(qū)域圓相互關(guān)系的分析一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，尤其是軌跡圓的動(dòng)態(tài)變化問題更令學(xué)生頭疼不已.本文闡述利用“幾何畫板”這一軟件來分析帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，借助軟件提供的幾何作圖、動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)、追蹤動(dòng)畫功能，逐步熟悉動(dòng)態(tài)圓的建立過程，展現(xiàn)粒子軌跡的動(dòng)態(tài)變化過程，幫助學(xué)生提升分析能力和空間想象能力.

【關(guān)鍵詞】圓形磁場(chǎng)；幾何畫板；帶電粒子

“幾何畫板”軟件是美國(guó)Key Curriculum Press公司開發(fā)并出版的優(yōu)秀教育軟件，它能夠快捷、準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，被譽(yù)為“21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”，在理科教學(xué)上應(yīng)用非常廣泛.教育部全國(guó)中小學(xué)計(jì)算機(jī)教育研究中心將此軟件作為輔助教學(xué)軟件面向全國(guó)中小學(xué)教師進(jìn)行推廣，目前的最新版本是“幾何畫板5.0.7.6”.

筆者在高中物理教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在分析帶電粒子在圓形有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，因大量涉及與圓相關(guān)的幾何知識(shí)，學(xué)生難以找到其中的角、弦、弧之間的聯(lián)系，難以將軌跡圓和磁場(chǎng)區(qū)域圓結(jié)合起來考慮，難以建立“動(dòng)態(tài)圓”思維，因此帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)成為高中物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，特別是當(dāng)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度、入射點(diǎn)或磁場(chǎng)強(qiáng)弱發(fā)生變化時(shí)，粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑和軌跡就會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，用黑板上畫圖、用PPT課件畫圓等常規(guī)的教學(xué)手段不但畫圖過程繁瑣而且很難保證畫出的圓符合幾何規(guī)則，更不用說動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)粒子軌跡變化過程了.利用“幾何畫板”的作圖、動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)、追蹤動(dòng)畫等功能，則可以追蹤到圓的軌跡，分析其圓心和半徑的變化，展現(xiàn)各物理量的幾何關(guān)系，從而使帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的教學(xué)難點(diǎn)得到突破.

筆者將用“幾何畫板”制作的帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的三個(gè)課件實(shí)例，淺析如何用“幾何畫板”來分析帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，展現(xiàn)帶電粒子軌跡圓與磁場(chǎng)區(qū)域圓相互關(guān)系，探究其中的幾何關(guān)系和基本規(guī)律.

案例一 帶電粒子沿著半徑方向射入圓形磁場(chǎng)

當(dāng)帶電粒子沿著半徑方向射入圓形邊界內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中時(shí)，如果粒子的速度大小發(fā)生變化，由r=mvqB可知，軌跡半徑大小會(huì)隨之發(fā)生變化，會(huì)在磁場(chǎng)中形成一系列半徑變化、出射點(diǎn)在磁場(chǎng)邊界上改變的動(dòng)態(tài)圓，確定動(dòng)態(tài)圓的軌跡范圍經(jīng)常是高考的熱點(diǎn)問題.當(dāng)然，還有許多關(guān)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題并不是帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度發(fā)生變化，而是磁感應(yīng)強(qiáng)度B、粒子的比荷qm、粒子的動(dòng)量P、粒子動(dòng)能Ek等物理量發(fā)生變化，但只要分析半徑公式的變形式r=mvqB=PqB=2mEkqB就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些物理量的變化導(dǎo)致的結(jié)果也不過是讓粒子的軌跡半徑發(fā)生變化而已，因此，不管什么原因?qū)е碌陌霃阶兓忸}思想都是大同小異的，都需要分析粒子軌跡圓與磁場(chǎng)區(qū)域圓之間的幾何關(guān)系，這些半徑、弦長(zhǎng)、圓心角、偏向角、弦切角等幾何量之間的相互關(guān)系正是分析這類問題的突破點(diǎn)，也是幫助學(xué)生構(gòu)建解題思維的關(guān)鍵點(diǎn)，需要在制作課件時(shí)逐步展現(xiàn)出來.

通過上述分析不難發(fā)現(xiàn)，分析帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的課件展現(xiàn)出半徑不同時(shí)軌跡的特點(diǎn)、必須展現(xiàn)粒子軌跡中圓心角、偏向角、軌跡半徑、磁場(chǎng)半徑、公共弦的幾何關(guān)系，還得讓課件具有逐步分析運(yùn)動(dòng)過程的能力，用“幾何畫板”制作課件時(shí)必須實(shí)現(xiàn)這樣幾個(gè)基本功能：（1）要設(shè)置調(diào)節(jié)點(diǎn)來改變軌跡半徑大小；（2）要設(shè)置按鈕來控制各個(gè)輔助線、圓弧、角度的顯示與隱藏.（3）要能夠顯示出粒子軌跡范圍.

本案例主要制作步驟如下：

步驟一：建立圓形磁場(chǎng).利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法，通過標(biāo)記向量功能，實(shí)現(xiàn)圓形磁場(chǎng)半徑R可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).在畫出圓形磁場(chǎng)區(qū)域里，用插入文字的方式顯示出方向向里的磁場(chǎng).

步驟二：畫出粒子軌跡.在工作區(qū)畫出水平射線代表入射方向，其端點(diǎn)代表粒子源.讓射線通過圓形磁場(chǎng)的圓心，和磁場(chǎng)圓的交點(diǎn)為粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn).在入射點(diǎn)利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法作出軌跡圓，利用標(biāo)記向量功能實(shí)現(xiàn)粒子軌跡圓半徑r可調(diào).

步驟三：構(gòu)造相關(guān)幾何量.利用幾何畫板構(gòu)建直線、垂線、交點(diǎn)、夾角功能，畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.

步驟四：美化線條，設(shè)置相關(guān)動(dòng)作按鈕.逐個(gè)選取各點(diǎn)、線段、弧線進(jìn)行美化.將輔助線設(shè)置為虛線，調(diào)節(jié)磁場(chǎng)圓、軌跡圓、調(diào)節(jié)點(diǎn)的顏色，確保相關(guān)量顏色統(tǒng)一.逐個(gè)選取幾何量，通過操作類按鈕設(shè)置顯示與隱藏功能.通過軌跡圓上選擇追蹤功能實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)圓展示，從而展現(xiàn)出半徑變化時(shí)粒子軌跡范圍.

課件最終制作效果如圖1所示.

在教學(xué)過程中，遇到帶電粒子的速度方向是沿半徑方向入射的這類問題時(shí)，教師可結(jié)合具體情況通過點(diǎn)擊功能按鈕、打開追蹤功能、拖動(dòng)調(diào)節(jié)半徑大小等方法進(jìn)行演示，逐步展現(xiàn)圓心角、偏向角、軌跡半徑、磁場(chǎng)半徑、公共弦的幾何關(guān)系.通過各種輔助線的顯示與隱藏，可凸顯出，學(xué)生將其中的幾何關(guān)系看得一清二楚，教學(xué)難點(diǎn)從而得到了突破.

案例二 帶電粒子沿著任意方向射入圓形磁場(chǎng)

當(dāng)帶電粒子沿著任意方向射入圓形邊界內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，會(huì)形成射點(diǎn)不同的動(dòng)態(tài)圓.這種情況還可以變形成另外一種表述，即位于磁場(chǎng)邊界的粒子源向各方向發(fā)射出速度大小相同的粒子.當(dāng)軌跡半徑r小于磁場(chǎng)半徑R時(shí)，隨著帶電粒子入射方向的改變，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的距離將出現(xiàn)最大值.當(dāng)軌跡半徑r大于磁場(chǎng)半徑R時(shí)，將出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)（軌跡圓心角最大）的特殊軌跡.典型的問題有：求解粒子出射點(diǎn)的范圍，求解入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的最大距離，求解粒子所有軌跡中最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間等.

對(duì)于學(xué)生而言，以上分析的數(shù)學(xué)原理是容易理解的，難以理解的地方是：當(dāng)速度方向不同時(shí)，粒子的軌跡是如何改變的？何種條件下粒子的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)距離最大？什么條件下出現(xiàn)最長(zhǎng)軌跡？為什么速度是向各方向都有，而軌跡卻分布在一定范圍內(nèi)等等.

通過上述分析不難發(fā)現(xiàn)，要分析不同速度方向軌跡特點(diǎn)，討論粒子的軌跡范圍、最長(zhǎng)時(shí)間等問題，需要在制作幾何畫板的課件時(shí)做到這幾點(diǎn)：（1）設(shè)置按鈕動(dòng)態(tài)控制各個(gè)切線、弦線、弧線、角度的顯示；（2）設(shè)置調(diào)節(jié)點(diǎn)來改變初速度方向；（3）設(shè)置調(diào)節(jié)點(diǎn)改變軌跡半徑大小.

本案例主要制作步驟如下：

步驟一：建立圓形磁場(chǎng).在工作區(qū)畫出圓形磁場(chǎng)區(qū)域.利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法，通過標(biāo)記向量功能，實(shí)現(xiàn)圓形磁場(chǎng)半徑R可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).

步驟二：畫出粒子軌跡.在磁場(chǎng)圓上創(chuàng)建一個(gè)點(diǎn)作為粒子源，并將其設(shè)置為旋轉(zhuǎn)中心.利用幾何畫板兩點(diǎn)法建立軌跡圓，利用標(biāo)記向量功能實(shí)現(xiàn)粒子軌跡半徑r可調(diào)，利用標(biāo)記角度方法實(shí)現(xiàn)速度v方向可調(diào).

步驟三：構(gòu)造相關(guān)幾何量并進(jìn)行美化.利用幾何畫板構(gòu)建直線、垂線、交點(diǎn)、夾角功能，畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.設(shè)置相關(guān)動(dòng)作按鈕.逐個(gè)選取各點(diǎn)、線段、弧線進(jìn)行加粗、改變顏色等，讓線條更美觀.

最終呈現(xiàn)的效果如圖2所示.

教學(xué)時(shí)，教師通過調(diào)節(jié)粒子的初速度方向和軌跡半徑大小，分別探究在軌跡半徑r小于磁場(chǎng)R時(shí)和半徑r大于磁場(chǎng)R時(shí)，隨著速度方向的改變，粒子的軌跡是如何變化的.通過追蹤功能，學(xué)生可清晰觀察到粒子軌跡的范圍，體會(huì)動(dòng)態(tài)圓的形成，借助按鈕打開各種輔助線展現(xiàn)各線、各角、各弧的幾何關(guān)系并進(jìn)行逐步分析，從而幫助學(xué)生構(gòu)建出動(dòng)態(tài)圓思維.

實(shí)例三 軌跡半徑等于磁場(chǎng)半徑時(shí)的“磁聚焦”問題

高中物理所涉及的“磁聚焦”問題是指當(dāng)一束平行的帶電粒子束射向圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，若粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑r恰好等于磁場(chǎng)圓的半徑R，所有進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子將從同一點(diǎn)射出圓形磁場(chǎng)區(qū)域，此射出點(diǎn)的切線與入射的速度方向平行.分析“磁聚焦”問題的難點(diǎn)在于：不同點(diǎn)射入的粒子為什么會(huì)聚焦到同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)？怎樣用簡(jiǎn)單明了的幾何關(guān)系來證明會(huì)聚焦到同一點(diǎn)？其不同入射點(diǎn)軌跡有什么特點(diǎn)？為什么軌跡半徑與磁場(chǎng)半徑不相同時(shí)就不會(huì)聚焦了？

為了實(shí)現(xiàn)上述分析過程，制作課件時(shí)要考慮到這幾個(gè)關(guān)鍵功能：（1）磁場(chǎng)半徑和軌跡半徑都是可以調(diào)整的；（2）要體現(xiàn)出粒子束的速度方向都是平行的；（3）可自由切換切線、弧線、角度的顯示隱藏，方便進(jìn)行幾何分析.

本案例基本制作步驟如下：

步驟一：建立圓形磁場(chǎng).在工作區(qū)畫出圓形磁場(chǎng)區(qū)域.利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法，通過標(biāo)記向量功能，實(shí)現(xiàn)圓形磁場(chǎng)半徑R可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).

步驟二：畫出粒子軌跡.在工作區(qū)畫出豎直線段代表粒子源.水平射線代表入射方向，讓射線通過圓形磁場(chǎng)的圓心.射線和磁場(chǎng)圓的交點(diǎn)為粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn).在入射點(diǎn)利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法建立軌跡圓，利用標(biāo)記向量功能實(shí)現(xiàn)粒子軌跡半徑可調(diào).

步驟三：構(gòu)造相關(guān)幾何量并進(jìn)行美化.利用幾何畫板構(gòu)建直線、垂線、交點(diǎn)、夾角功能，畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.設(shè)置相關(guān)動(dòng)作按鈕.逐個(gè)選取各點(diǎn)、線段、弧線進(jìn)行加粗操作，讓線條更加便于學(xué)生觀察.最終呈現(xiàn)的效果如圖3所示.

圖3

在教學(xué)時(shí)，打開線段的追蹤功能，拖動(dòng)入射點(diǎn)，可讓學(xué)生清晰地觀察到不同入射點(diǎn)射入的粒子都從M點(diǎn)射出.通過顯示軌跡半徑和磁場(chǎng)半徑的輔助線，可清晰地顯示出無論入射點(diǎn)在何處，軌跡半徑和磁場(chǎng)半徑都構(gòu)成菱形，根據(jù)菱形兩邊平行原理，很容易證明得到粒子將從同一點(diǎn)射出這一結(jié)論.

結(jié)語

通過以上三個(gè)案例，不難看出“幾何畫板”軟件功能強(qiáng)大，輔助教學(xué)效果良好.制作出來的課件生動(dòng)形象，讓物理規(guī)律中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí)更為直觀地呈現(xiàn)出來，讓復(fù)雜的幾何關(guān)系變得簡(jiǎn)潔明了，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律，使學(xué)生原本感到枯燥的知識(shí)變得形象生動(dòng).幾何畫板課件展現(xiàn)了物理量動(dòng)態(tài)變化的過程，能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.合理運(yùn)用“幾何畫板”可以提高課堂教學(xué)效果，突破教學(xué)難點(diǎn)，值得物理教師積極探索和大膽嘗試.

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