雙參數C半群及其生成和表示定理

秦喜梅　張玉　陳佩樹　葛國菊

摘 要：算子半群作為泛函分析的一個分支，在微分方程、概率論、量子理論等方面有著廣泛的應用。如何利用生成元的特性來研究算子半群與生成元之間的依賴關系、根據指數公式涉及的表達形式來研究算子半群的表示問題，這些都是算子半群理論討論的經典話題。因此對每一個半群，它的生成定理、表示定理都是算子半群理論中研究的重要內容。本文利用經典的算子半群理論和雙參數C0半群中的方法，把強連續半群生成元的相關特性推廣至雙參數C半群，討論了雙參數C半群生成元的性質及生成定理；受強連續半群表示定理中指數公式的啟發，根據單參數C半群的表示定理和C預解式的性質，證明了雙參數C半群的表示定理。

關鍵詞：雙參數C半群；生成元；指數有界

中圖分類號：O177.2? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2023）05-0029-07

1 引言

為求解無窮維空間上的算子值函數方程

T（s+t）=T（s）T（t），s，t∈R+，T（0）=I

Hille于1936年開啟了對一些特殊算子半群的研究，使得Banach空間上的算子半群得以蓬勃發展。1948年K.Yosida和E.Hille提出的無窮小生成元的概念，建立了基本的表示定理，得到了算子半群很多重要的結論，其在發展方程、調和分析、散射理論、量子場論等領域中有著廣泛地應用。而繼C0半群之后，Arent提出的積分半群[1]和Davis和Pang提出的C半群[2]是單參數算子半群理論逐漸發展起來的兩個主要分支，其理論已日臻完善[3-7]。近年來，雙參數以及n參數半群理論也得到了很多重要的結論，并有著廣泛地應用[8-18]。而算子半群中的生成定理和指數公式、表示問題依然是多參數算子理論中的兩類熱門且有意義的數學問題。C半群是強連續半群的一個重要推廣。M.Janfada定義了雙參數C半群，并且討論了兩參數抽象柯西問題解的存在和唯一性[10]；Mohamed Akkouchi等展示了Banach空間上雙參數半群的理論框架，并推廣了單參數算子半群的Hille-Yosida定理[11]；薛雙、趙華新等在Banach空間上以單參數C0群為基礎，結合雙參數C半群的無窮小生產元與C群的性質，提出雙參數C群的無窮小生成元概念，并討論了雙參數有界C群無窮小生成元的性質，得出雙參數有界線性算子在（0，0）處的全微分與C-1的積即為雙參數有界C群的無窮小生成元[12]；姚嵐、趙華新等不僅把單參數的C半群推廣到多參數的C半群，而且討論了多參數的C半群對生成元的連續依賴等一些關于多參數半群生成元的性質[13]；根據經典算子半群理論中的方法，畢偉在多參數n階？琢次積分C半群概念的基礎上，引入了多參數n階？琢次積分C半群無窮小生成元的定義，并給出了多參數n階？琢次積分C半群的生成定理[14]；蔡亮、宋曉秋等根據單參數C0半群的指數公式和Yosida逼近，證明了雙參數C0半群的表示問題中的指數公式[15]；趙華新、趙拓等利用C半群的Yosida逼近，討論了雙參數C半群的Yosida逼近指數公式，其證明方法類似于C0半群表示定理中拆分積分區間的辦法[16，17]；倉定幫等借助概率論這一工具，采用Riemann-Stieltjes積分、矩生成函數等方法，給出了雙參數算子半群的概率逼近指數公式[18]。本文把強連續半群生成元的相應性質推廣至雙參數C半群，得到雙參數C半群生成元的性質及生成定理，并借助C半群的表示定理和C預解式的性質，證明了雙參數C半群表示問題中的指數公式，此證明方法更具一般性。

設空間X是一個Banach空間，且C∈B（X）是單射算子，其中B（X）表示X上的有界線性算子全體所構成的Banach空間。所有算子均為線性算子。R+表示非負實數集。

2 半群的基本概念和表示定理

3 雙參數C半群

3.1 雙參數C半群的定義

3.2 雙參數C半群生成元的性質

3.2 雙參數C半群的生成定理

3.3 雙參數C半群的表示定理

4 結語

本文主要介紹了指數有界的雙參數C半群生成元的一些性質和雙參數C半群的生成定理及表示定理，這些結果有利于以后關于雙參數C半群、雙參數C群等相關領域的擾動、逼近和齊次抽象柯西問題及非齊次抽象柯西問題的研究。

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