關注問題本質,促進深度學習發生
——以初中函數教學為例

北京師范大學昌平附屬學校(102206) 秦虹柳

2016年,我國提出了發展學生的核心素養,以培養“全面發展的人”為教育的根本出發點和最終歸宿.深度學習是我國全面深化課程改革、落實核心素養的重要路徑.深度學習的一個特征是“本質與變式”,既對學習對象進行深度加工,學生能夠抓住教學內容的本質屬性,全面把握知識的內在聯系,并能由本質推出若干變式.

在初中數學中,函數部分的學習對學生來說困難很大,這與函數知識本身難度較大有關,也與教師的教學有關,有些教師在教學中并沒有抓住問題的本質,過渡關注表淺的問題和方法,忽略了對學生思維能力的培養.本文結合實例,對基于函數本質的教學進行深度思考,以促進學生的深度學習.

1 提出問題

1.1 2020年北京中考數學第24 題第(1)問

原題小云在學習過程中遇到一個函數y=|x|(x2-x+1)(x≥-2).

下面是小云對其探究的過程,請補充完整:

(1)當-2≤x＜0 時,對于函數y1=|x|,即y1=-x,當-2≤x＜0 時,y1隨x的增大而____,且y1＞0; 對于函數y2=x2-x+1,當-2≤x＜0 時,y2隨x的增大而____,且y2＞0;

結合上述分析,進一步探究發現,對于函數y,當-2≤x＜0 時,y隨x的增大而____.

分析本題答案是＜,＜,＜.前兩空用一次函數和二次函數的知識可以解決,第三空需要分析函數表達式的特征,結合前兩空的分析結果以及y1＞0,y2＞0,從而分析出結論.本題難度不算大,但是根據調研,學生普遍感到困難,沒有解題思路,尤其是第3 空根本無從下手.學生之所以對本題感到困難,一個重要原因是題目“新”,其中,函數表達式新、問法新、解決辦法新,尤其是第3 空,雖然題目已經進行了難度拆分,但是學生依然對這個函數表達式感到很陌生.學生感到困難的第二個原因是缺乏分析函數表達式的意識和能力,很多學生習慣了借助函數圖象解決問題,習慣了根據函數表達式畫圖象,雖然這個習慣很好,但是,反復進行“列表、描點、連線”畫圖象,很多學生卻忽略了對函數表達式的分析,忽視了從“數”的角度分析函數關系,忽視了“數”和“形”之間的對應關系.就本題而言,畫函數圖象顯然比較困難,但是,如果將問題拆分,結合函數y1=-x和y2=x2-x+1 的圖象,對函數表達式進行分析就比較容易得出結論.函數圖象與函數表達式之間存在對應關系,函數表達式中的自變量與因變量之間的關系是函數的核心,在教學中,不能忽視對函數表達式的關注,也不能表淺地認識函數圖象,應該抓住問題本質,在此基礎上靈活變通,實現深度學習.

1.2 2020年西城區初三年級期末考試數學試題第25 題(1)—(3)問

原題下面給出六個函數解析式:y=2x2-3|x|-1,y=-x2+2|x|+1,y=-3x2-|x|-4.

小明根據學習二次函數的經驗,分析了上面這些函數解析式的特點,研究了它們的圖象和性質.下面是小明的分析和研究過程,請補充完整:

(1)觀察上面這些函數解析式,它們都具有共同的特點,可以表示為形如y=____,其中x為自變量;

(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,畫出了函數y=-x2+2|x|+1 的部分圖象,用描點法將這個函數的圖象補充完整;

(3)對于上面這些函數,下列四個結論:

①函數圖象關于y軸對稱

②有些函數既有最大值,同時也有最小值

③存在某個函數,當x＞m(m為正數)時,y隨x的增大而增大,當x＜-m時,y隨x的增大而減小

④函數圖象與x軸公共點的個數只可能是0 個或2 個或4 個.所有正確結論的序號是____;

分析本題答案: (1)①y=ax2+b|x|+c(a,b,c是常數,a≠0).(2)圖象如圖1所示.(3)①③.

圖1

本題更加關注學生對函數表達式的分析和理解,第(1)問引導學生觀察一組函數表達式的共同特征,抽象出函數表達式的一般形式,考察學生的總結、歸納能力和數學抽象能力.學生普遍作答情況很不好,這也體現了教師在日常教學中欠缺對知識生成過程的關注,在教學中,教師應該注重對學生數學抽象能力的培養,尤其要抓住問題的本質.第(2)問是補全函數圖象的問題,對學生而言難在取點,學生習慣了題目中給出部分點的坐標直接進行描點,由于本題并沒有給出相應點的坐標,學生便想到自己取若干x值,根據函數表達式進行計算確定點的坐標,但顯然運算時間較長.作答中出現了很不規范的圖象,甚至是看似“荒唐”的圖象,主要是學生在計算中出錯,完全依賴描點、連線來畫函數圖象.如果學生能夠關注函數表達式的特征,容易分析出函數是關于y軸對稱的軸對稱圖形,補全圖象并不難,卻被很多學生忽視.第(3)問需要綜合根據函數表達式和函數圖象解決問題,顯然,通過畫出所有函數圖象來解決問題的困難較大.解決本題的關鍵是分析函數表達式,抓住函數中變量間的本質關系,進而分析函數的對稱性、最值、增減性和圖象與坐標軸交點的情況.

2 問題解決

綜上分析,學生缺乏對函數表達式的重視,過度依賴函數圖象解決問題,認為函數表達式的作用只是用來計算點的坐標.由于缺乏對函數表達式的分析,對函數圖象與表達式間的對應關系理解不透徹,導致學生過渡依賴于“形”而忽視了“數”的本質.下面以正比例函數、反比例函數和二次函數的教學為例淺談關于數學本質的教學.

數形結合思想在函數教學中極其重要,在進行一次函數教學時,老師會引導學生通過列表、描點、連線來畫出函數圖象.通過觀察,可以發現一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,正比例函數y=kx(k≠0)的圖象是經過原點的直線;當k＞0 時,圖象“左低右高”;當k＜0 時,圖象“左高右低”.通過觀察函數圖象,學生容易得出一次函數的增減性、最值、經過象限等性質,但是,這樣的教學顯然不夠深入,函數的數形結合思想中“數”的作用不應該僅僅是由函數表達式畫出函數圖象.

教師在教學中可以追問“為什么函數的圖象是一條直線? 為什么k取不同數值時,函數圖象有差別? 正比例函數與小學學的正比例關系有聯系嗎?”通過對函數表達式的分析可知,當k＞0 時,對于x取任意值,y都與x同號;當k＜0 時,對于x取任意值,y都與x異號.當|k|發生變化時,對于x取相同的數值,y的值會增大或者減小,因此,圖象會變“陡峭”或者平緩.正比例函數的圖象之所以過原點,是因為對于任意的k(k≠0)值,函數圖象都經過點(0,0).在此過程中,學生能夠感受到函數圖象及性質與函數表達式之間存在密不可分的對應關系.在反比例函數和二次函數的教學中,教師同樣應該引導學生分析函數表達式的特征,將函數圖象與表達式建立緊密聯系,如果僅關注函數圖象,而忽略了函數表達式,就失去了對函數本質的關注.

除此之外,教師應該關注學生的認知水平,關注學生的元認知能力.元認知能力的實質是對認知的認知,是個體對自己的認知加工過程的自我覺察、自我反省、自我評價與自我調節.它包括元認知知識、元認知體驗和元認知監控三個成分.元認知的發展水平直接制約著個體智力的發展,對學生的學習有著重要影響,因此,教學中對學生進行元認知開發并提高學生的元認知發展水平對于教會學生學會學習,促進學生智力發展無疑具有重要作用.在函數教學中,教師應對學生進行充分調研,通過教學設計,幫助學生自覺地把已有的認知結構納入到新的認知結構中,在知識轉化的過程中加深對原有認知的認識,也就是對原有認知的認知.經歷這樣的過程,學生能夠不斷建構知識體系,逐步實現深度學習.

以正比例函數為例,學生清楚函數y=kx(k≠0)的圖象是一條經過原點的直線,但是是否清楚其中的奧秘呢? 對于正比例學生并不陌生,小學階段就學習過相關知識,兩種相關聯的變量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量相對應的比值一定,那么這兩個變量之間的關系就叫做正比例關系,顯然,若y與x成正比例,則=k(k為常量),反之亦然.在此基礎上,引導學生理解正比例函數y=kx(k≠0)的本質是兩個變量y與x成正比例關系,只是因為函數研究的是隨著一個變量的變化,另一個變量也隨之變化的對應關系,因此正比例函數表示為y=kx(k≠0)的形式.在此認知基礎上,學生很容易理解正比例函數的圖象特征.當k＞0 時,的比例是一個固定的正數,當k＜0時,的比例是一個固定的負數,這樣,函數圖象的形狀、經過的象限、增減性等便容易理解.

相比之下,反比例函數y=(k≠0)的圖象稍難理解,為什么是兩條雙曲線? 為什么圖象與坐標軸無交點? 增減性為何與直線情況不同? 學生在小學已經學習過反比例關系.反比例,指的是兩種相關聯的變量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定,那么他們就叫做成反比例的量,他們的關系叫做反比例關系,用xy=k(k≠0)來表示.因為函數研究的是隨著一個變量的變化,另一個變量也隨之變化的對應關系,因此,反比例函數表示為y=(k≠0)的形式.抓住反比例函數中xy=k(k≠0)的本質,反比例函數的圖象及性質便容易理解.

二次函數的對稱性是二次函數很重要的性質,在教學中,教師一般引導學生根據函數表達式畫出函數圖象,通過觀察圖象發現其對稱性,顯然這是從“形”的角度理解二次函數的對稱性,但是,為什么二次函數的圖象關于y軸對稱呢? 顯然教師應引導學生抓住問題本質,從“數”的角度進行分析,將函數圖象與表達式建立聯系.以二次函數y=ax2(a≠0)為例,因為x取相反數時,y的結果相同,因此圖象是關于y軸對稱的軸對稱圖形;因為x2≥0,所以a＞0 時,函數值都是非負數;根據x2的特點,底數的絕對值越大,函數值隨之增加的幅度越大,底數的絕對值越小,函數值隨之增加的幅度越小(不再贅述a＜0 的情況).通過上述分析,學生能更深刻地理解拋物線的圖象特征和相關性質,只有深入分析表達式y=ax2(a≠0)的特點,關注函數表達式與函數圖象之間的對應關系,學生才會對函數的本質有更深認識.

在教學中,既要關注對函數表達式的分析,又要關注函數表達式與函數圖象之間的聯系,真正將“數”與“形”相結合.

總體來說,函數不管是在初中還是高中,亦或者更高等的學府之中,都是非常困難、復雜的知識,因此,在初中階段教師應該給學生打下良好基礎,在教學過程中,教師應關注學生的元認知能力,關注問題本質,滲透數學思想,堅持科學的教學原則,引導學生對數學本質加以關注,學會用數學的觀點看世界,用數學的思維分析問題,用數學的語言表達問題,通過這樣的教學促進學生深度學習,全面提升學生綜合素養.