人教A版新舊教材的對比分析與教學建議
——以“平面向量數量積”為例

廣東省廣州市第六十五中學(510450) 肖寶霞

自2019年7月實施第一版新教材以來,廣大教師都接觸了新教材,感受到新教材的巨大變化,也感受新教材變化所帶來的不適應.所以作為一線的教師要積極思考“新教材改變了些什么?”,“新教材為何要如此改變?”這樣一些問題,以促進對新教材的理解,適應新教材并對實際教學作出相應調整.

1 教材編排的對比

1.1 內容編排順序的比較

從表1可以看出,舊教材數量積共安排兩個課時,第一課時是向量數量積的物理背景和含義,第二課時是向量數量積的坐標表示.而新教材向量的數量積相關概念就安排了兩個課時,數量積的坐標表示安排一個課時,共三個課時.在內容編排順序上,新舊教材在平面向量這章都大致遵循向量概念→向量運算→向量基本定理及坐標表示→向量應用的順序進行編排,但向量數量積在新舊教材中的編排發生較大的變化.在舊教材中,考慮平面向量基本定理與線性運算的聯系比較密切,所以線性運算后面安排了平面向量基本定理,而數量積則被安排在坐標表示之后,且單獨成一節內容學習;而新教材將向量的數量積歸到平面向量的運算中,學生在學習完向量的加減數乘運算后,自然會想向量和向量能否相乘,所以數量積是平面向量的一種運算,這樣的安排更合理,符合學生的認知.

表1 新舊教材向量知識點比較[1]

1.2 知識范圍的比較

從表2可以看出,新舊教材有共同的6 個知識點,約占總知識點的75%,但共有的“兩向量夾角的概念”、“向量數量積的性質”也存在不同.

表2 新舊教材數量積教學內容比較[2]

表3 新舊教材兩向量夾角比較

表4 新舊教材數量積投影比較

表5 新舊教材數量積性質比較

表6 新舊教材數量積例習題量比較

(1)在數量積相關概念的教學中,舊教材按“功→數量積→投影→數量積性質→數量積幾何意義→數量積運算律”的順序進行講解,而新教材對相關知識點進行調整,按“功→兩向量夾角→數量積→投影向量→數量積性質→數量積運算律”的順序進行講解,新教材的安排更合理,知識點之間一環扣一環,環環相扣,緊密聯系.

(2)對于“兩向量夾角的概念”舊教材僅提了一句“其中θ是a與b的夾角”,在以往教學中我們常常要補充夾角的范圍等內容.而新教材在介紹向量數量積概念前,著重給出了兩向量夾角的定義,對向量夾角的范圍(0≤θ≤π),符號表示＜a,b＞,θ=0,,π等特殊夾角下兩向量的位置關系都一一做了明確的規定.兩向量的夾角問題是數量積概念的關鍵,也是學生做題過程中的易錯點,新教材的改進體現對學生易錯點的重視以及從根本概念上去突破它.

(3)對于“投影”新舊教材都有提到,但是有很大的區別.舊教材里定義|a|cosθ(|b|cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)的投影.“投影”應該指的是圖形投到一條線或一個面上的影子,但這里的投影卻是個可正可負的數量,容易引起學生理解障礙.而舊教材定義“投影”的目的是為帶出向量數量積的“幾何意義”: 數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上投影|b|cosθ的乘積.這個幾何意義就更奇怪了,和“幾何”沒什么關系,就是兩個實數在相乘[4].所以新教材刪除數量積的幾何意義,用較大篇幅來介紹向量的投影和投影向量,定義了一個向量向另一個向量投影是一種“變換”.“變換”即非空集合A到自身的一個映射f:A→A,也就是說一個向量到另一個向量的投影還是一個向量,所以投影結果稱為投影向量.而且新教材還利用幾何直觀幫助學生理解投影向量的意義.投影向量這個概念是新教材新增加的一個知識點,更合理科學地解釋了向量投影的相關問題,為后面數量積的運算律證明做準備.

(4)“向量數量積的性質”在新舊教材里都以探究的形式引導學生思考兩個非零向量在平行或垂直時的數量積特殊性,但新教材里多了向量a與b方向上單位向量的數量積,還多了旁白思考如果a·b=0,是否有a=0 或b=0 的追問.

1.3 例、習題的比較

(1)例題比較: 新舊教材在例題上的安排大致相同,數量比舊教材多增加兩道.新教材在第一道例題處將舊教材的120°改為需要學生對弧度與角度靈活轉化,并熟練求解特殊角的余弦值,學生易將錯算成新教材將舊教材的習題2.4A 組第6 題設置為例10,鞏固對向量數量積公式的逆運用,引導學生掌握可利用數量積來求夾角問題,并規范求解過程,要注意兩向量夾角的范圍為[0,π];在數量積的坐標表示這節內容中,增加了例題12 補充利用向量證明兩角差的余弦公式.

(2)習題比較: 舊教材在2.4.1,2.4.2 分別設有3 個小題的練習,后面再統一在2.4 的習題中分別設A 組11 題,B 組5 題的練習.而新教材將6.2.4 分成2 個課時,所以每個課時各安排3 道練習題,再在6.2 中安排了相應的數量積習題.由于新教材將數量積歸入向量的運算,數量積坐標表示歸入向量的坐標表示中,所以數量積在課后的習題比較分散,但題目內容和舊教材大致相同.新教材將2.4.1 的第3 小題的求投影改為6.2.4.1 的第3 小題求投影向量.舊教材對例3 運算律的應用,例4 已知垂直求參數沒有相應的練習.而新教材由于將6.2.4 分為2 個課時,多出3 道針對運算律,向量垂直問題,數量積無結合律等內容的習題.

1.4 內容呈現方式的比較

新教材的概念引入更顯自然.比如在數量積概念引入時,新舊教材都是利用物理背景“功”引入,但舊教材給出功的計算公式后,直接就給出數量積的計算公式,這樣的引入略顯突兀.而新教材的引入就比較自然,由已學的加、減運算引入,提問向量能否相乘? 同樣由“功”的概念來引出“數量積”,且具體分析到功的計算公式涉及到力和位移的夾角,所以先定義向量夾角的概念,然后再引出數量積的計算公式,這樣的引入更加自然.

新教材的探究要求更明確.比如數量積性質的探究,雖然新舊教材都以探究的形式來引導學生進行思考,但舊教材直接給出“由向量數量積的定義,你能否得出下面的結論? ”這樣的結論是教材直接給出的,要求學生進行證明而已,這樣的引導略顯僵硬,怎么就是這幾個性質,為什么要證明這幾個性質,證明這幾個性質有什么用.而新教材很自然,言簡意賅地寫明探究的目的,“兩個非零向量相互平行或垂直時,向量a在向量b上的投影是有特殊性的,它們的數量積又有什么特殊性”,這樣的問法更具導向性.

2 教學編排的思考和建議

以上通過對新舊教材內容編排順序、知識范圍、例習題、內容呈現方式等方面進行細致的比較,筆者對數量積的教學提出如下思考與建議.

2.1 注重類比學習,培養學生遷移推理能力

向量的概念是類比于數的概念來學習的,向量的運算則類比數的運算來進行學習.數可以進行加減乘除等運算,前面已經學習了向量的加減數乘運算,自然會思考向量與向量是否可以相乘,如何定義向量的相乘,相乘的結果會是什么等相關問題.物理中功的概念涉及到力與位移兩個矢量的運算,給向量的相乘一定的啟示,向量與向量可以相乘.向量的相乘不能僅僅是兩向量的模相乘,這樣不能體現向量是既有長度又有方向的量這一特殊性.向量相乘應與向量的長度和方向都有關,所以先定義了兩向量的夾角來刻畫向量的方向,再類比功的計算公式得到向量與向量相乘的計算公式.而向量相乘的結果是一個數量,所以將這種運算稱之為數量積.因此在數量積教學過程中要重點抓住類比這一轉化的數學思想,培養學生遷移推理能力,為后續空間向量數量積的學習墊底基礎[5].

2.2 注重數形結合,提升學生直觀想象核心素養

數形結合是一種重要的數學思想,本節的“兩向量夾角”、“投影向量”、“數量積分配律的證明”等內容充滿幾何元素,在教學過程中應注重數形結合,可利用幾何畫板或GGB 等可視化軟件輔助教學,提升學生直觀想象的核心素養.兩向量的夾角教學過程中,要讓學生抓住“共起點”這一關鍵,可利用軟件展示平面中任意兩向量通過平移使得共起點的夾角形成過程,并動態展示兩向量夾角0°,銳角,90°,鈍角,180°五種不同情況.在講解投影向量的概念時,也可利用軟件展示其變換過程,學生就能非常自然地根據前面兩向量夾角的五種不同情況對其進行分類討論,并歸納總結出投影向量的計算公式.在證明數量積的分配律時,利用到向量投影的方法來進行證明,也要注意數形結合,充分利用幾何直觀,幫助學生理解,提升學生直觀想象的核心素養.

2.3 注重應用向量方法解決問題,增強學生分析問題解決問題的能力

用向量方法解決問題是本章的主線,在講解數量積的過程中,應充分分析數量積公式的作用,可計算,可求模長、夾角等.而數量積的性質,可以判斷兩向量的位置關系,垂直或共線等.在教學過程中,應引導學生去總結這些作用,在后面解決相關問題時,學生自然能聯系所學解決問題.比如新教材將證明兩角差余弦公式放到講完數量積的坐標表示后,就是有意引導學生嘗試利用向量方法解決之前所學的問題,突出利用向量方法解決問題的優勢所在.

2.4 注重例習題教學,強化學生運算核心素養

新教材的例9 除了對公式的簡單應用,將120°改成也考察學生的運算能力.本節數量積是一種運算,并且學習了其運算律,自然要考察學生的運算能力,所以教師在教學過程中,應注意例習題的選擇,變式教學,有意增強學生的運算核心素養.

2.5 注重讓學生從物理、代數、幾何三個角度去理解向量

從物理的角度,向量與向量相乘是類比力與位移相乘,數量積的計算公式是類比功的計算公式;從代數的角度,向量與向量相乘是類比數與數相乘,數量積的運算律是類比數的運算律;從幾何的角度,數量積的概念類比功的概念,可以作圖幫助學生理解;另外夾角的概念,投影向量的概念注意數形結合;數量積可以解決有關模長、角度等幾何問題.

3 結束語

平面向量數量積的教學中,舊教材的設計有其特點,但存在不嚴謹、不合理等缺陷.新教材針對舊教材出現的問題,增加“兩向量夾角”、“投影向量”等概念,優化“數量積分配律的證明”,邏輯更清晰.引入自然,探究要求明確,且新教材每年都會針對一線教師提出的意見建議,對教材繼續進行修改,體現新教材的科學性.作為一線教師的我們,要盡快適應新教材,不斷揣摩教材的設計意圖,抓住知識點間的聯系,理解新教材,才能在教學過程滲透教材所要求培養的學生數學核心素養,立德樹人.