問題解決視角下中美高中數學教材比較
——以“弧度制與三角函數的概念”為例

赤峰學院數學與計算機科學學院(024000) 郭浩然 李書海

濟南大學數學科學學院(250001) 李麗

1 引言

1980年,繼“New Math(新數運動)”和“Back to Basics(返回基礎教育運動)”之后,美國數學教師聯合會提交了一份《關于行動的議程——關于80年代中學數學的建議》的綱領性報告,報告確定了“問題解決是20 世紀80年代學校數學的核心”[1].自此,“問題解決”成為了國內外數學課程標準的重要主題,同時我國第八次基礎教育課程改革也將培養學生解決問題能力作為主要目標之一[2],《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中同樣強調要將問題解決作為主要內容貫穿于課堂以培養學生核心素養[3].

John Dewey(杜威)從實用主義角度出發,將問題解決分為五個階段: 問題的情境創設、問題的設定、問題的假設與形成、問題的推理與解答、問題的假設與檢驗[4];從人的認知層次出發,美國心理學家 D.P.Ausubel(奧蘇泊爾)將問題解決模式分為四個階段: 呈現問題情境、明確問題目標、填補問題空隙、解答與檢驗[5]; 國內學者喻平提出問題解決應是一個動態的過程,體現問題的多樣化與功能性,并由此提出了問題解決的認知模式[6].教材是學科知識的重要載體,不同國家、版本的教材在教材編寫方面存在諸多差異.“他山之石,可以攻玉”.由此,本文立足于問題解決視角,選擇“弧度制與三角函數的概念”內容對中美高中教材進行比較分析,以期為我國高中教材的修訂及培養學生的問題解決能力提供建議.

2 研究設計

2.1 研究對象

教材不僅是知識文化的載體,也是教師在實踐教育工作中的重要依據[7].因此,本文選取國內使用較廣的、比較典型的、現行使用的人民教育出版社(以下簡稱人教A 版)[8]、北京師范大學出版社(以下簡稱北師大版)[9]、上海教育出版社(以下簡稱滬教版)[10]出版的高中數學教材以及Glencoe/Mc Graw Hill 公司2009年出版的《Core-Plus Mathematics》(以下簡稱CPM 版)[11]四版教材進行比較研究.

三角函數是高中函數內容的一條分支,更是高中數學知識的一大主題[12].本章內容之前,學生已經學習過二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數等內容,對函數的主題、內容、方法等有了一定基礎,且三角函數同時隸屬于幾何、代數兩大知識領域,知識范圍極其廣泛,其研究價值相當可觀.

2.2 分析比較的維度

課程標準是教材編寫、教學、評價的依據,比較不同國家教材的前提是要深刻把握各國的課程標準[13].本次分析選擇以中華人民共和國教育部2020年出版的《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》與美國2010年由“National Governors Association(全美洲長協會)”推出的《Common Core State Standards for Mathematics》(《美國洲際核心數學課程標準》)[14]為依據.中國課標將問題解決作為實現總目標的重要因素之一,強調培養問題解決的意識,積累問題解決活動的經驗.美國課標也要求學生在發現、理解問題的同時要堅持不懈地解決問題,將問題解決作為數學實踐標準的首要因素.綜上所述,從問題解決的視角出發,對中美高中數學教材進行比較分析是可行的.

3 研究內容

3.1 情境創設的比較

情景引入是課堂教學的開端,優秀的情境創設可以迅速將學生代入到教學主題之中,起到引人入勝的作用.依據學者汪曉勤、彭思維[15]對三角學概念情景引入的分類框架,將四版教材中“弧度制與三角函數的概念”概念情景引入方式分為以下三種: 數學情境、生活情境、科學情境.數學情境一般指學生已經掌握的純數學情境,或者學生平時學習、考試接觸到的試題情境;生活情境一般是指學生實際生活中能接觸到的這種與學生關系較為親密,可以激活學生現實記憶的情境,比如生活趣事、游戲比賽、自然現象、生產情境等等;科學情境一般指除數學之外的其他科學領域的知識情境,其引入嚴謹性更高,對學生的而言較為陌生,要求也更高,有較強的抽象性.依據情境分類標準,對四版教材進行整理、統計、分類,具體內容如表1所示.

人教A 版教材在概念引入時創設最多的是“數學情境”,在“任意角與弧度制”一節中,先是利用圓周運動引入角的變化,隨后利用生活中的滾輪問題對問題進一步強化,注重數學邏輯.而在三角函數概念引入時則弱化了學生與具體生活情境的互動,以學生所學的舊知識為生長點,通過教師引導將舊知識遷移到新的數學概念中.例如在三角函數概念課之前,直接將“任意角與弧度制”一節中的問題引入到教學情境中:“在弧度制下,我們已經將角的范圍擴展到全體實數,下面借助這些知識研究上一節開頭的問題,單位圓上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉,建立一個數學模型,刻畫點P的位置變化情況.”讓學生可以將上節課的知識直接遷移到本節新課中.但值得注意的是,人教A 版教材雖然利用單位圓刻畫出了三角函數,但并未給出正余弦的定義.

北師大版教材則更加強調數學與實際生活的聯系,在“任意角”一節中直接引入“扳手擰螺絲”的生活情境,利用扳手的旋轉來構造角的變化,隨后引導學生脫離數學情境剝離出其中的數學模型.在三角函數的概念引入時同樣選擇了數學情境,更加強調新舊知識的聯系與知識體系的構建,符合學生的認知規律.

不同于前者,滬教版教材在“任意角與弧度制”一節中選擇利用小學、初中所學的角的定義“角是具有公共端點的兩條射線所組成的圖形”來構造任意角,隨后利用射線的旋轉來描述角的變化.在三角函數的概念引入時,滬教版教材以銳角三角函數出發,隨后將其擴展到任意角,隨后將其放在平面直角坐標系中,用坐標表示出正余弦與正余切.由于采用坐標來定義三角函數,對于角的終邊沒有限制,滬教版教材選擇利用注釋來進行說明,并在注釋旁留下一個思考,以供學生去理解和證明,給予了學生較大的自主權.

與人教A 版、北師大版教材相似,美國CPM 課程教材也是選擇利用生活情境引入“任意角”概念.而在三角函數進行定義時,CPM 課程教材利用了終邊定義法,并在其中穿插生活情境,強調三角函數的周期現象,同時,CPM 課程教材中的三角函數的定義,幾乎每個都是通過設置學生的探究活動由學生自己探究發現的,更加強調學生的主體性,相較于中版教材,也更加注重知識產生的合理性.

3.2 素材處理的比較

素材是數學文化的載體,優秀的素材處理有利于學生的問題解決[16].學者沈春輝將常用的數學知識素材分為四類:現實生活素材,主要指數學與生活有實際聯系的素材,包括生產、常識等內容;科學技術素材,主要指數學與其他學科聯系的素材,包括生物、地理、物理、化學、天文學等知識;人文藝術素材,指數學與現實人文、藝術聯系的素材,包括宗教、繪畫、哲學等學科知識;其他,不屬于上述三類分類的素材均稱為其他素材[17].人教A 版教材、北師大版教材、滬教版教材和CPM 課程教材中素材來源廣泛,注重知識與生活的聯系.依據素材分類標準,將四版教材進行分類統計如表2.

表3 四版教材“弧度制與三角函數的概念”習題數量分布統計表

從素材來源所占比重來看,四版教材在“弧度制與三角函數的概念”內容中使用最多的是現實生活素材,可能是由于此類素材更能與學生產生共鳴,激發學生的學習興趣,亦或許由于現實生活素材與學生生活息息相關,更能貼近學生的實際生活.比如在中版教材中大量使用了常見的齒輪旋轉、扳手的旋轉、潮汐、旋轉木馬等素材,美版CPM 課程教材同樣使用了熟悉的千斤頂、摩天輪等素材.若將現實生活素材和科學技術素材歸為一類,將人文藝術素材歸為一類,前者的素材總量高達147 個,占比93.6%,而后者的占比則不足10%.由此可見,四版教材更傾向于選擇具有現實性、科學性以及應用性的素材,而忽視了具有人文價值的素材,當然這與人文藝術素材融入時更有難度也不無關系.總體而言,四版教材在素材來源上的選擇是“畸輕畸重”的.

從素材總量來看,美版CPM 課程教材中的素材總數為51 個,是人教A 版教材素材總數的1.5 倍,是北師大版教材素材總數的1.2 倍,是滬教版教材素材總數的1.7 倍.所以美版CPM 課程教材教科書中素材傳遞的信息量最大,而滬教版教科書素材傳遞的信息量最少.進一步研究發現,美版CPM 課程教材對于三角函數的概念一節所用篇幅更多,對于知識點的挖掘相較于其他三版教材也更深,這對于擴展學生的知識面、培養學生的問題解決能力有重要意義.當然,教科書中的素材數量并非是衡量一版教材優劣的條件,教材中的素材數量并非越多越好,更非越少越好,只有所選素材能夠實現教學目標,根據地區數學教學情況和學生實際學習情況選擇適量的素材即可.

3.3 習題的比較

習題是對課堂知識的補充,數學習題可以鞏固所學知識,加深對知識的理解程度,形成并掌握相應的數學技能,提高學生發現問題、解決問題的能力[18].習題的設置必須具有代表性、知識性、合理性、基礎性,同時還需要有梯度,合理設置習題的難易,讓學生能夠理解題目的同時還要具有一定的挑戰性.對四版教材從習題數量、難度兩方面進行統計分析,具體內容如下:

3.3.1 習題數量比較

習題有大題小題之分,不同題目所占分量不同,綜合難度亦有差距.因此,本文選擇國家社科基金項目《高中數學教材難易程度的國際比較研究》中的標準對四版教材中的習題數量、難度進行劃分,以便統一習題單位: 對于包含多道小題的習題,五道題算作一道題,習題量記為1.比如,若是一道題目中只包含三道小題,其習題量記做0.6,若包含九道小題,其習題量記做1.8.

根據以上分析,可以發現:

(1)中美四版教材的習題數量為: 人教A 版31.2 個、北師大版29.0 個,滬教版22.8 個,CPM 版23.6 個,分別占比29.2%、27.1%、21.3%、22.1%.人教A 版教材設置習題數量最多,北師大版次之,滬教版則最少.其原因是人教A 版教材和北師大版教材對本節內容設置的篇幅較多且在章節末設置了本章復習參考題,雖然滬教版教材也在章節末設置了本章復習參考題,但是滬教版更加注重對后續三角恒等變換等知識的練習,對于概念性的知識點習題設置偏少,且滬教版教材對于本節內容篇幅也不多,從而導致本節習題數量偏少.

(2)綜合來看,中版三版教材較于美版教材的習題密度較大,說明中版教材更加注重對學生問題解決能力的培養,強調知識的應用與積累,提高學生的創新能力和探究能力.

3.3.2 習題難度比較

《高中數學教材難易程度的國際比較研究》中對習題的難度進行了劃分: 習題難度由習題的性質、背景、知識點含量三方面決定,其中,習題性質分為模仿型習題、遷移型習題以及探究型習題三個級別;習題背景分為無背景類習題、生活背景類習題和科學背景類習題;知識點含量分為1 個、2-3個、4 個及以上三個級別.基于此標準對“弧度制與三角函數的概念”內容習題難度分類統計如表4.

表4 四版教材“弧度制與三角函數的概念”習題難度分布統計表

由上表可以看出,在習題的性質方面,中版教材中模仿型和探究型習題所占比重最大,而探究類習題所占比重最少,人教A 版教材中探究類習題占比不足17%,美版CPM 課程教材這是呈現出模仿遷移類習題數量少、探究型習題多的特點,探究型習題不僅可以培養學生的應用知識的能力,更能培養學生的問題解決能力,因此,中版教材應加適量增加些探究型習題,讓學生真正能夠“動”起來,而并非啃書中的“死”知識,真正為學生提供一個探索研究的平臺.

在習題背景方面,中美四版教材大致呈現“均衡發展”的特點,無背景類習題設置數量最多,其次是生活背景類,最后是科學背景類.本節內容為三角函數概念課,抽象且不易結合生活實例和科學背景也是導致出現此類特點的原因之一.

在習題知識點含量方面,中美兩國教材所占比重較大的是包含2-3 個知識點的習題,考察一個知識點的次之,考察四個及以上知識點的最少.相對而言,中國三版教材考察綜合知識點的習題比重略低于美國,但單個知識點考察的習題則高于美國.

4 建議

基于上文對中美四版教材的比較研究,對我國高中教材的修訂提出以下建議:

統籌兼顧,注重情境結構的合理性.中美四版教材在概念引入時創設最多的是現實情境和數學情境,創設現實情境的目的是為了學生能夠將數學與實際生活相聯系,以便更好的去發現并解決問題[19],實際生活中的問題一般都是條件模糊的、結果開放的并非完美的結構不良型問題,而教材中所使用的現實情境基本都是條件完整、問題明確、目標清晰的結構優良型問題,這不免會使學生走入誤區,無法達到“事半功倍”的理想效果,而會顯得有些“本末倒置”.因此,建議在情境設計時能夠統籌兼顧,適當增加結構不良型問題[20],給學生呈現一種更加真實的生活情境.

錦上添花,豐富教材內容.教材是教師授課,學生上課的重要依據,教材內容的豐富程度不僅可以影響教材的優劣,還可以影響學生的學習興趣.在素材選擇方面,中版教材大量引用了現實生活素材和科學技術素材,而人文藝術素材則涉及寥寥.因此,中版教材可以借鑒美版CPM 課程教材,適當增添些人文藝術類素材,其形式可以是一些藝術圖片,或者有關人文藝術的課堂活動,亦或者選擇一些經典小故事放在“閱讀材料”板塊.誠然,教材內容的豐富會給教師教學、學生學習帶來一定的難度,但只要對此類內容不做過多硬性要求,就可以平衡拓展學生知識面和增添課業負擔之間的矛盾,其結果一定是利大于弊.

百花齊放,注重習題的多樣性.P.R.Halmos 說過:“問題是數學的心臟”[21].在習題的設置方面,中美四版教材都對問題進行了細化分層,但深入研究發現,受應試教育思想的影響,我國教材對于習題的關注點仍在對數學概念、公式的使用上,不少習題的設計也是略顯生硬,一些探究題更是不重探究,只看形式.因此,我國教材應該將視角放在學生對知識的理解與應用上,適當減少些概念應用類例題、模仿型和無背景類習題,增添些真正具有實際意義的探究類習題.此外,在習題的背景創設時,應建立在學生感興趣的基礎上,選取一些培養學生創新意識和應用意識的實例,而非“空中樓閣”類的題目,使習題真正發揮讓學生“溫故”的同時還要有“知新”的作用.