形如an+1=pan+q·rn的通項公式多解研究與價值探討

重慶市綦江中學(401420) 晏炳剛

高中數列學習中,通項公式的求法是重點內容.不同的遞推公式結構形式,會有不同的通項公式求法.相同的結構形式也會有多種難易不同的解法,一題多解、多解比較可以活躍學生解題思路,培養學生推理與運算素養.通項公式的多解求法,在2021年8 省聯考第17 題目出現后,形成熱點,文獻[1-3]對這類題目進行了研究,總結了各種通項公式的求法.本文就遞推公式形如an+1=pan+q·rn的一般形式的通項公式求法進行了多解研究,彌補這一形式的通項公式求法的零散與不完整,供讀者借鑒.

1 題目呈現

已知數列滿足an+1=2an+3·5n,n≥1,a1=6,求通項公式an,這類題目較常見,已有專題研究的文獻比如[3].題目中的2,3,5 是常數,以p,q,r替換抽象得到更一般的題目呈現形式為: 已知首項為a1,遞推公式為an+1=pan+q·rn(n≥1,p≠0),求數列的通項公式.

2 題目評析

題目的特殊情況如下:

(1)當a1≠0,q=0 時,遞推公式為等比數列定義,用等比數列公式法求通項公式;

(2)當p=1,r=1 時,遞推公式為等差數列定義,用等差數列公式法求通項公式;

(3)當p=1,r≠1,q≠0 時,遞推公式為an+1=an+f(n),用累加法求通項公式;

(4)當r=1,q≠0 時遞推公式為一階線性:an+1=pan+q,用待定系數法,轉化為等比求通項公式;

(5)當p=r,q≠0 時,遞推公式為an+1=pan+q·pn,兩邊同時除以pn+1轉化為等差求通項公式;

五種特殊情況,(1)(2)代表基本的等差等比公式法,(3)為基礎的累加法,(4)(5)代表常見的轉化方法,即轉化到(1)(2)的等差等比的公式法上來.

求通項公式,就是通過遞推轉化,巧妙構建,回歸到等差等比基本模型、累加累乘基礎模型,以及一階線性常用模型上來.對于本題其他的一般形式,通項的求法探究見下文.

3 解法探究

解法1 待定系數法構造等比

分析一階線性遞推公式形如an+1=pan+q的通項公式求法,用an+1+λ=p(an+λ),其中來求解λ=此方法等價于把常數q分成-λ和pλ兩個常數,使新數列成等比.類比思考本題把指數型式子q·rn分成兩個指數式子,構造等比.解答如下:

解令λ滿足an+1+λ·rn+1=p(an+λ·rn),化簡得:an+1=pan+pλrn-λrn+1=pan+λ(p-r)rn,因此λ(p-r)rn=qrn,有λ=,所以所以是為首項,p為公比的等比數列.所以化簡通項公式為

結論已知首項為a1,遞推公式為an+1=pan+q·rn(n≥1,p≠0).構造等比an+1+λ·rn+1=p(an+λ·rn),其中此法是用待定系數法把指數式子分解為兩個指數形式子,并使得新的數列為等比數列,體現等比數列的基礎價值.類似方法還可以解決下面問題:an+1=pan+f(n),f(n)為自變量為n的多項式函數,或為關于為n的指數型函數,或者為兩者的加減組合.

舉例已知a1=2,an+1=2an+3n2+4n+1(n≥1).求此數列通項公式.提示如下:

an+1+λ·(n+1)2+μ(n+1)+γ=2(an+λn+un+γ).

待定系數求λ,μ,γ.

解法2同時除以pn+1,轉化為累加型

解兩邊同時除以pn+1有:由累加得:

求得an=化簡得an=(a1+

點評兩邊同時除以pn+1,轉化為累加型求通項公式,體現累加法的基礎價值.此題,思考同時除以pn,pn+2其實也能解決.

這個題目p,r,q三個參數,那么兩邊同時除以rn+1,qn+1又會怎樣呢? 下面請看解法3 和解法4.

解法3同時除以rn+1,轉化為一階線性

解兩邊同時除以rn+1有:由一階線性知道:所以是以為首項,為公比的等比數列.所以

點評同時除以rn+1,轉化為一階線性an+1=pan+q型.利用an+1+λ=p(an+λ)轉化為等比數列解答,其中本解法體現一階線性的應用價值.

解法4同時除以qn+1,轉化為解法1、2、3 型

解兩邊同時除以qn+1有:

這個形式沒有直接轉化到等差等比基本型,也沒有轉化到累加累乘基礎型和一階線性常見型.本質還是an+1=pan+qrn形式,其中q=1,下面用解法1 結論做.由解法1 知因此所以

點評解法2、3、4 是同一種方法(簡稱: 同時除以法)下產生的三種不同路徑,三種路徑知一種從而思考另外兩種是數學學習的重要思考方法,聯系并區別三種路徑、理解三種路徑的本質都是轉化為等差等比基本型,累加累乘基礎型和一階線性常見型,一次轉化不成功就轉化兩次,直到達到目的.這個過程有益于培養學生克服困難,勇于挑戰,不停轉化,解決數學問題的能力.

解法5數學歸納法

數學歸納法是證明與正整數有關的命題的基本方法.在解決新問題中,會經過歸納、猜想得到命題,再用數學歸納法進行命題證明.本題是與正整數有關的問題,嘗試用數學歸納法解決.

遞推公式如下

an+1=pan+q·rn,首項為a1,下面計算ai(i=2,3,4,5,6).

a2=pa1+qr.

a3=pa2+qr2=p2a1+pqr+qr2.

a4=pa3+qr3=p3a1+p2qr+pqr2+qr3.

a5=pa4+qr4=p4a1+p3qr+p2qr2+pqr3+qr4.a6=pa5+qr5=p5a1+p4qr+p3qr2+p2qr3+p1qr4+qr5.

猜想通項公式為

an=pn-1a1+pn-2qr+pn-3qr2+···+p2qrn-3+p1qrn-2+p0qrn-1.

經過觀察,等比求和化簡通項公式過程如下:

下面用數學歸納法證明命題

命題已知數列遞推公式為an+1=pan+q·rn,首項為a1,證明通項公式為:

證明(1)當n=1,a1=a1成立; 當n=2,a2=pa1+qr成立;

(2)假設當n=k,k≥3,命題成立有當n=k+1,由遞推公式an+1=pan+q·rn有

4 多解價值

數列通項公式的求法,遞推公式類型多,對應數列方法也多,然而最基本的方法是等差等比公式法,其次是基礎的累加累乘法,其他的方法多數情況也會轉化到這些類型上來.文中的一階線性,同時除以法,本質也是如此.通項公式求法多,不要禁錮學生想法,要多嘗試不同的路徑,培養學生靈活思維,文中同時除以法,就出現了三種不同的同時除以,教學過程中拓寬了學生視野,鞏固了此類型通項公式的求法,體會了基本公式法,基礎累加累乘法等重點方法的應用價值.

文中用數學歸納法推導通項公式,體驗數學命題的歸納猜想證明過程,見證了數學歸納法的妙用,體驗了數學猜想、過程思考與證明的基本活動經驗,培養學生發現規律和解決問題的能力,也知道了通項公式的一種重要求法—數學歸納法.