改編教材原題導向課堂教學*
——如何進行初中數學改編或原創命題

廣東省恩平市年樂夫人學校(529400) 馮春威

1 命題的一般標準

命題直譯便是出題目或命制題目,質量監測命題便是命制在監測中要求解答的問題.命制一份好的試卷標準是: 一是信度好,即考試設計符合考生整體水平;二是效度高,即考試內容適合檢驗考生整體水平;三是難易度適中.

好的試卷需要好的題目支撐,《江門市2022年初中學業水平考試模擬試題命題比賽》數學科的要求是在七個專題,①數與式,②方程(組)與不等式(組),③函數,④三角形,⑤四邊形,⑥圓,⑦統計與概率中選一個專題,命制1 道選擇題、1 道填空題和1 道解答題,共3 道試題,要求原創或改編.筆者參加了命題比賽的評審工作,總結出這次命題比賽好題目的標準是: 一是原創或改編70%以上,三道題屬于同一專題,三道題的知識點基本不同,難易度0.55-0.65;二是條件足以推導出題目的結論,每一個條件都不是多余的,條件之間,條件與結論之間不存在矛盾;三是知識點的考查方法,與以往有所不同,但又不超標;四是選擇題與填空題以2～3個考點綜合即可,大題以6～10 個考點為宜,涉及的數學思想方法以2～4 個為宜,涉及的能力意識以2～3 個為宜.

例如,廣東省2021年中考第7題: 如圖1,AB是⊙O的直徑,點C為圓上一點,AC=3,∠ABC的平分線交AC于點D,CD=1,則⊙O的直徑為( )

圖1

點評考查圓、特殊角三角函數、角平分線性質等3 個知識點;3 個條件都不是多余的;而且滲透數形結合思想、化歸與轉化思想;命題方針基本正確,就是一道好題.

2 命題的常用方法

命題主要有兩個來源: 一是采用他人的現成試題;二是自己編寫新試題,自己編寫的新試題通常有改編和原創兩種方式.改編是指在已有試題的基礎上,保持原題優點的基礎上,通過分解與重組,考點的增加、刪減、組合,命題的變更等手段,對其立意、情境及設問進行適當的調整與改造,從而命制出適合試卷要求的試題.原創是根據需要考查的知識點創設一個新的問題,要求情境新、材料新、設問新等.事實上真正的原創很難,所謂的原創大都是改編,改編到一定深度我們默認為原創,因此改編是命題中最重要的技術.改編試題的方法有很多,包括改變設問角度、改變命題結論的形式、置換題設與結論、強化或弱化條件、采用運動圖形、置換題目背景、一般與特殊之間互化、轉換題型、題目重組等.而教材是獲取命題材料的非常好的渠道,教材中的許多例題、習題的背景都非常新穎、非常貼近現實生活,是很好的命題素材.

2.1 變形法

簡化變形將一些著名的數學試題作特殊化、具體化、局部化、低維化、簡單化處理,可以得到背景深刻的試題.如高考中的數學問題取其特例,加以簡化,改頭換面,可以變成一道中考數學試題.

例如,命題比賽鶴山這位老師命的這道選擇題: 對于任意的未知數x都滿足(a2+1)x2+2(a+2)x+1≥0,其中a為常數,則a的取值范圍為( )

A.a≤B.a≥

C.a≤D.a≥

點評一元二次不等式是高中的內容,但他將二次項系數通過a2+1 是一個正數而特殊化,根據二次函數與不等式的關系,a2+1 確定開口向上,只要函數與x軸沒有交點就可以保證含參數a的二次多項式的值大于等于0.這樣的改編科學有效的銜接高中,是一道好題.

易位變形將陳題中條件部分所含有的事項與結論部分中所含有的事項互易位置,從而得到新題,易位又分為全易位和部分易位.母題為人教版八年級上冊第112 頁第7 題:已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值.

知識定位: 完全平方公式.

命題立意: 考查對完全平方公式的理解水平、應用能力,以及學生的運算素養與邏輯推理素養.

思路分析: 借助完全平方公式變形進行求解或從方程的角度進行求解.

方法一從完全平方公式結構特征角度求解.

解根據完全平方公式(a+b)2=a2+b2+2ab,把a+b=5,ab=3 代入可得: 52=a2+b2+2 × 3,∴a2+b2=19.

方法二從方程角度求解.

解由a+b=5,ab=3,可把a,b看成方程x2-5x+3=0 的兩根.a2-5a+3=0,b2-5b+3=0,兩式相加,得a2+b2-5(a+b)+6=0.∴a2+b2=5(a+b)-6=19.

規律總結完全平方公式——(a±b)2=a2±2ab+b2可以分解成(a±b)2,a2+b2,ab幾個“零部件”,這幾個“零部件”能夠通過不同的運算進行轉化.例如: (a+b)2-(a-b)2=4ab,(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),a2+b2=(a+b)2?2ab,而這些“零部件”運算轉化是解決此類問題的基本思路.

改編母題: 依據完全平方公式的結構特征,交換部分條件與結論或修改“零部件”的呈現形式,使“零部件”的內涵更豐富.

改編1已知a+b=5,a2+b2=19,求ab的值.

點評交換其中一個條件與結論.借助完全平方公式變形進行求解.

改編2已知a+b=5,ab=3,求a-b的值.

點評直接改變結論.借助兩個完全平方公式變形進行求解.利用零部件(a+b)2-(a-b)2=4ab,再整體代入.

改編3改編為廣東省2021年中考第15 題: 若且0＜x＜1,則x2-=____.

點評利用母題中“a”與“b”互為倒數的特征,隱含地呈現了“ab”的值,考查了學生對數式特征的觀察能力.

改編4已知ab=3,求a2+b2的最小值.

點評借助完全平方公式的變換及平方式的非負性,進行求解.該改編弱化了母題中的條件,增加了思維的難度,由相等關系過渡到最值的探究,但依據題中條件、所求式子及完全平方公式的結構特征即可找到解答的思路,這樣改編對學生的運算素養、直觀想象能力進行了較好的考查.

2.2 情境法

母題: 人教版九年級上冊第82 頁例2,背景是趙州橋的主橋拱問題,考查垂徑定理及其運用,方程思想.

改編為: 如圖2,北京冬奧冰壺比賽中,凌智在中軸線上A點投出一個冰壺,范蘇圓通過擦冰讓冰壺的運行軌跡為圓弧,如圖.對方在中軸上B點有一障礙壺,AB=16 米,且冰壺偏離中軸線的最大距離為4 米,如果要把對方冰壺撞開,則圓弧的半徑為_____米.

圖2

點評命題比賽中,江門一位老師命制的這道題目以冬奧冰壺比賽為背景,保留原結構,問題以新情境襯托,呈現出不同面貌.并結合時事熱點,比較好的一道題.

2.3 組合法

由某些概念、性質或簡單的基本問題出發(它們多數來源于教材),將它們與初步確定的考查要求聯系起來,進行分析和思考,將有關的知識點和基本的方法,進行適當的組合,逐步形成綜合模式的解答題.如圖形的疊加: 從基本圖形出發,在此基礎上,改變點的位置,添加適當的線段,從中找出有價值的結論,進行編題等.

母題是人教版九年級上冊第101 頁第6 題: 如圖3,PA,PB是⊙O的切線,A,B為切點,AC是⊙O的直徑,∠BAC=25°,求∠P的度數.

圖3

改編1在母題的基礎上,改變點C的位置,連接BC,探究角與角之間的數量關系.如圖4,PA,PB分別切⊙O于點A,B,C是⊙O上一點,∠C=50°,求∠P的大小.

圖4

思路分析: 如圖5,連接OA,OB,利用切線的性質、圓周角定理與四邊形的內角和來解答.

圖5

改編2在母題的基礎上,連接BC,變為已知一切線證另一切線的推理問題.如圖6,⊙O是RtΔABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA切⊙O于點A,且PA=PB.

圖6

求證:PB是∠ABC=90°的切線.

思路分析: 如圖7,連接OB,欲證PB是⊙O的切線,只要證明OB⊥PB即可.

圖7

改編3在改編2 的基礎上,改變已知條件,將其改編為線段計算問題.

如圖8,⊙O是RtΔABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點,已知PA=3,BC=1,求⊙O的半徑.

圖8

思路分析: 通過連接OP,交AB于點D,先通過證明ΔAPO∽ΔDPA或ΔPAO∽ΔABC求得相關線段的長,然后在RtΔOAP中利用勾股定理求解.

試題評析: 由于切線長定理與切線的性質、垂徑定理、垂直平分線等知識相聯系,故圖形中極易出現直角,進而為利用勾股定理、銳角三角函數、相似三角形求線段長做好準備.2018年廣東中考第24 題,其實也是這個基本圖形添加2 條線段及改變部分條件而成的.

如圖9,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經過點C,連接AC,OD交于點E.

圖9

(1)證明:OD//BC;

(2)若tan ∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;

(3)在(2)條件下,連接BD交于⊙O于點F,連接EF,若BC=1,求EF的長.

改編4在改編3 的基礎上,延長直徑,與一條切線相交于圓外一點,為設置新的問題創設新的情境.

如圖10,在ΔABC中,點D是AC邊上一點,AB=以AD為直徑的⊙O與邊AB,BC分別切于點A,E.過點D作DF//BC交⊙O于點F,求DF的長.

圖10

試題評析: 隨著試題綜合性的加強,難度也在加大.從這一復雜圖形中分解出切線長定理、平行線分線段成比例、勾股定理等知識所對應的基本圖形是解題的關鍵所在,因此,對基本圖形的深刻研究和認識是改編幾何題的關鍵,它是靈活應用知識的基礎.

改編5在改編4 的基礎上,將圓移至三角形的內部,編制與內切圓相關的問題.如圖11,在ΔABC中,AB=5,AC=7,BC=8,⊙O是ΔABC的內切圓,與ΔABC的三邊相切于D,E,F.

圖11(2)

圖11(1)

(1)求⊙O的半徑;(2)如圖,連接CD,DE,求tan ∠CDE的值.

思路分析: (1)如圖12,過點A作AH⊥BC于點H,根據勾股定理得到AH的長,進而求得SΔABC.連接OA,OB,OC,OD,OE,OF,設⊙O的半徑為r,得到OD=OB=OF=r,根據SΔABC=SΔABO+SΔBOC+SΔAOC即可得到答案;(2)根據三角函數的定義得到∠ABC=60°,求得BD=BE==3,CE=5,推出ΔBDE是等邊三角形,作CG⊥DE于點G,解直角三角形即可得到答案.

圖12(1)

圖12(2)

試題評析: 知識之間存在著內在的聯系,幾何定理所對應的基本圖形也存在聯系.此題所涉及的三角形的內切圓圖形,可以理解為由三個切線長定理的基本圖形組合而成,自然,切線長定理在解題中便能發揮重要作用.

3 命題的教學導向

立足教材改編原題,通過保持原題基本條件不變,改編設問內容,以學生熟悉的問題為背景,突出考查學生應用數學知識解決實際問題的能力和意識,有利于充分發揮試題的教育價值,引導課堂教學方向.教師平時要認真研討課標教材,分析編者意圖,用好教材中的例題和習題,包括改編變式、聯系拓廣等,充分發揮教材例題、習題的教育價值,倡導學生多些走進生活、多些參加一些社會實踐活動,不斷提升學生的數學素養.