思維教學,數學課堂應有的樣子

江西省信豐中學(341600) 吳光萍

“數學是思維的體操”,培根所說的這句話揭示了數學的本質—思維.高考是選拔性考試,數學科目考查的是考生的邏輯思維水平,是學生分析問題和解決問題的能力.考試的分數要與學生的思維水平正相關,才有利于高校的選拔.如果還是按照一貫的模式出題,讓刷題的人考出好成績,就更加引發教育內卷,增加學生的學習時間,加重學生的學習負擔.全社會就更加詬病現有的教育模式.

改變,已經發生,原來那種應對高考的課堂教學方法,也需要改變.思維教學,才是數學課堂應有的樣子.思維教學,顧名思義,就是注重培養學生思維的教學.相比較于傳授知識與方法的教學,更深層次的教學.判斷思維教學的標準:

(1)有沒有提出有思考價值的問題? 表層的膚淺的問答,目的是吸引學生的注意力,有思考價值的問題,才能讓學生課堂有收獲.

(2)有沒有揭示知識和方法的來龍去脈? 思維就蘊含在知識與方法的來龍去脈中.

(3)有沒有引發學生的深度思考,主動思考,讓學生感受思考的樂趣? 人與人之間的差距在于思考的深度與廣度的差距.

相同的數學知識,同樣的數學問題,一樣的數學試題,處理方法不同,產生的效果完全不同.下面通過大家熟知的近幾年的高考真題,來闡述思維教學模式對這些問題的處理.

高考試題表面看考查了哪些知識點,深入看考查了學生的思維層次.不同的試題蘊含了不同的思維方法,下面一一舉例給大家展示出來.

1 由繁化簡的思維

這是數學教學中最常見的思維,也是學生最容易接受,必須掌握的思維.高考試題中,這種試題很常見.

例1(2022 新高考全國I 卷第18 題)記ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

(1)若C=,求B;

解由已知條件得cosA·(1+cos 2B)=sin 2B·(1+sinA),2 cosA·cos2B=2 sinBcosB·(1+sinA),若cosB=0,則B=那么1+cos 2B=0 不符題意.上式化簡為cosA·cosB=sinB·(1+sinA),cos(B+A)=sinB,-cosC=sinB,sin(C-)=sinB,∴C=+B

(1)易得B=

(2)由A+B+C=π和C=+B,得

當且僅當4 cos2B=時,取最小值.

統觀整個解答過程就是一個化簡的過程,很難想到嗎?并不是.利用了什么方法和技巧嗎? 也沒有.這是指導學生分析問題、解決問題的常規操作,但有時卻被方法和技巧帶偏,比如下面的例子.

例2(2019 高考全國卷新課標卷,理科數學第23 題)設x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,證明:a≤-3 或a≥-1.

解法一(1)由柯西不等式,得

解法二(1)由x+y+z=1 得1-x=y+z

令y+z=t

當t=時,上式有最小值∴(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值是

(2)由x+y+z=1,得1-y=x+z.

令x+z=m,上式變為m2+當m=時,解得a≥-1 或a≤-3.

解法二是思維教學模式推薦的方法.這種方法思路清晰,有理有據.首先把三個未知數化成兩個未知數,再想辦法把兩個未知數化成一個未知數,然后利用一元二次函數的知識求解函數的最小值.整個求解過程就是一個化簡的過程.

但很多老師和學生推崇解法一.解法一確實是本題的最優解,但本題涉及的知識點柯西不等式,超出了高中教材知識點范圍.這道題也確實讓知曉該知識點的考生撿了便宜,于是有經驗的老師不斷補充知識點,比如洛必達法則、圓上點的切線公式等等,還有許許多多的二級結論,以期在以后的考試中使用此方法和技巧得便宜.考查相同知識點的試題出現在2022年的高考中,比如下面這個例題:

例3(2022 高考全國甲卷,理科數學第23 題)已知a,b,c均為正數,且a2+b2+4c2=3,證明:

(1)a+b+2c≤3;

(2)若b=2c,則

第一問,用柯西不等式很快可以解答出來,這里不再贅述,那第二問呢? 只會方法和技巧的同學,無從下手.

在思維教學模式的指導思想下,第(1)問用緊扣已知條件的思維,第(2)問用由繁化簡的思維,順利解決.過程如下:

解(1)

(a+b+2c)2

=a2+b2+4c2+2ab+4ac+4bc

≤3+(a2+b2)+(a2+4c2)+(b2+4c2)=9.

∴(a+b+2c)2≤9,∴a+b+2c≤3.

(2)由b=2c,得a2+8c2=3,令a=設得時,取得最小值3,∴

2 發現事物本質的思維

數學教學,一定要深入知識的本質,思維就蘊含在知識的來龍去脈中.高考,也是考查學生對知識的理解程度.下面這道試題,就是考查考生對雙曲線的漸近線這一知識點的理解程度.

例4(2022 高考全國甲卷,文科數學第15 題)記雙曲線C:的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點”的e的一個值____.

這是一道開放性試題,答案不唯一.當直線y=2x是C的一條漸近線時,他們也無交點,這時e的值為如果考生深入理解雙曲線的漸近線這一知識點,可以秒解.這取決于平時的教學,思維教學模式對這一知識點的處理,如下:

高考試題中,有關立體幾何知識的試題,更多的考察考生對知識的理解程度.比如下面這道試題.

例 5(2016 高考新課標 I 卷,理科數學第11 題)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α// 平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為

解析∵α//平面CB1D1,平面ABCD//平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m//B1D1,∵α//平面CB1D1,平面ABB1A1//平面CDD1C1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面CDD1C1=CD1,∴n//CD1,m、n所成的角與B1D1、CD1所成的角相等.顯然B1D1、CD1所成的角是60°,它的正弦值是

本題考查了立體幾何知識的性質定理的本質,兩條直線平行,相同的是方向,不同的是位置.兩組平行平面相交,它們的交線方向相同.題目求解的直線的夾角,與直線的方向有關,與位置無關.所以,緊緊抓住直線的方向,不用去管直線的位置.以上的解答過程是本體的最優解,來源于出題者精妙的設置.我們需要思考,平時的教學中怎樣培養出學生具備這種解答能力,思維教學或許是一條途徑.

3 判斷事物之間關系的思維

例6(2021 高考全國乙卷,理科數學第6 題)將5 名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓,每名志愿者只分配到1 個項目,每個項目至少分配1 名志愿者,則不同的分配方案共有( )

A.60 種 B.120 種 C.240 種 D.480 種

分析這五名志愿者是同等地位嗎? 不是.屬于同等地位的兩個事物,是可以互換位置的.我們看,如果5 名志愿者,假設第1、2 位名志愿者服務同一個項目,第3、4、5 名志愿者單獨服務一個項目,那么,第1 名與第2 名志愿者互換位置,相比較第1 名與第3 名志愿者互換位置,結果是完全不一樣的,所以他們的地位不同.這四個項目是同等地位的嗎? 是的,他們可以隨意互換位置.明白了這一點之后,本題的解答就簡單了.以比賽項目為分類的標準.第一類,花樣滑冰分配兩人,有C25=10 種,其他三項各分配一人,有A33=6 種,第一類有10×6=60 種.第二類,短道速滑分配兩人,其他項目各分配一人也有60 種,因為它們是同等地位的.以此類推,第三類,第四類也有60 中,總共240 種.

4 發現事物變化規律的思維

例7(2022 高考全國乙卷理科數學第21 題)已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1 時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)若f(x)在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,求a的取值范圍.

解析這道試題第(1)問,常規做法,不再贅述.第(2)問,求函數f(x)的零點,即f(x)=0,ln(1+x)+axe-x=0,ln(1+x)=-axe-x,設y1=ln(1+x),y2=-axe-x也就就是求函數y1與y2交點問題.畫出函數圖象,y2這個函數含有參數a,當a變化時,變化規律怎樣,不變的是什么? 先求導,y′2=-a(1-x)e-x,y2的圖像,不變的是經過(0,0),函數在x=1 處取得極值.它的變化規律如下:

當a＞0 時,y2在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,不滿足題意.當a＜0 時,y1與y2都經過原點,當a=-1 的時候,y1與y2在原點處的切線斜率同為-1,這兩條曲線在原點相切.以-1 為分類標準,當-1＜a＜0時,y2的極值點坐標y1在x=1 處的值是ln 2,＜ln 2,不符合題意.當a＜-1 時,符合題意.

5 發現事物特點的思維

例8(2021年全國乙卷理科數學第10 題)設a≠0,若x=a為函數f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則( )

A.a＜bB.a＞b

C.ab＜a2D.ab＞a2

解析函數f(x)的特點是,

①它是三次函數;

②x3的系數是a;

③a是f(x)的極大值點,也是零點;

4④b是f(x)的一個零點.

根據f(x)特點,畫出三次函數的圖像.

這兩種函數圖像就滿足函數的特點,a、b的大小關系在圖形上一目了然,顯然D 選項是正確的.

6 以特殊代替一般,判斷真偽的思維

例9(2022 新高考2 卷第12 題)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

解析這是一道多選題,至少有兩個選項.判斷選項是正確的,比較困難; 判斷選項是錯誤的,相對簡單.A 選項很容易判定是錯的,當x=y=1 時,滿足已知條件,但不滿足x+y≤1.D 選項也很容易判斷是錯誤的.把式子x2+y2-xy=1 轉化成x2+y2=xy+1,當x、y取一正一負時,x2+y2≤1.判斷出兩個選項是錯誤的,剩下兩個就是正確的.

在高考考場上,在有時間壓力的情況下,要快速得到正確答案.這種思維方法,不是投機取巧,而是智慧.

以上列舉的解決高考問題的種種思維,是對高考試題的深度思考.思維教學,倡導深度思考.提升學生深度思考的能力,是思維教學的主要目的.偉大的愛因斯坦在一次演講中提過,“教育就是當一個人把在學校所學全部忘光之后剩下的東西”.在思維教學模式的指導下,學生把數學知識忘光之后,收獲的恰恰是深度思考的能力.

前進的道路,沒有盡頭.教育教學的研究,沒有休止符.只要始終把學生的成長成才放在首位,我們需要做的,還有很多很多.