基于有向鏈圖編輯方法的T形鋪砌織物組織設計

金耀 王奕凡

摘要： 為克服傳統分形與鋪砌織物組織設計方法因空間結構單調而使得設計空間受限的問題，本文提出一種T形鋪砌織物組織設計方法。該方法運用4個T形鋪砌塊構，通過構造有向鏈圖高效設計織物組織。首先利用T形鋪砌特有的有向鏈圖表示方法，在棋盤格上設計與編輯鏈圖，然后將其轉化為T形鋪砌結構，最后將基本組織根據鋪砌結構進行拆分重組獲得變化多樣的鋪砌織物組織。運用Python語言實現了該織物組織的設計方法并進行可視化。實驗結果表明，該織物組織設計方法便捷、直觀，能夠獲得更為豐富且多變的鋪砌結構及相應的鋪砌織物組織，從而為織物組織的數字化設計探索了一條新的設計途徑。

關鍵詞： 織物組織設計;T形鋪砌;有向鏈圖;組織編輯;數字化;設計模型

中圖分類號： TS105.1

文獻標志碼： A

織物組織用于表達經紗和緯紗相互交織或彼此浮沉的規律，其形態直接影響織物組織的外觀與結構性能。當前，隨著信息化技術的高速發展，織物組織設計數字化已成主流，因而如何高效地設計風格獨特、富于變化且符合工藝要求的織物組織，成為紡織品設計領域的重要研究課題。

織物組織的數字化設計方法大致可分為以下兩大類：一類為整體變換法，即將組織作為整體進行各種形式的變換。施國生等［1-2］分別采用對稱原理與圖像變換方法對組織作整體變換;趙良臣等［3］利用旋轉變換法設計新的組織;謝寶珠等［4］利用組織矩陣移位迭代運算設計組織。這類方法直觀、容易實現，但其變化自由度較小，所能形成的新組織較為有限。另一類為基本組織“組合法”，即由一個或多個簡單組織按某種規則進行空間重組，典型的如基于分形與基于鋪砌的設計方法。張聿等［5-6］基于分形理論分別提出了基于L系統與IFS原理的織物組織設計方法，其利用基本組織構造空間分形結構，另一種組織填充剩余空間，以平衡浮點數，生成具有自相似性且相互嵌套、多層次結構的新型組織。這種方法衍生出各類變種，如各層基礎組織互異的分形組織［7］、基于斜紋基本組織的回紋分形組織［8］及同層仿射分形組織［9］等。熊宇龍等［10］綜合了前述方法，提出了更為一般的分形組織設計模型。金耀等［11］引入“鋪砌”方法，以椅子狀組織作為基本單元進行空間平鋪，所形成組織具有局部對稱、亂中有序的特點;郝梓淇等［12］受到瓷磚鋪砌啟發，采用2個不同循環的基本組織進行鋪砌，進一步豐富了鋪砌組織的變化形式。但如同分形織物組織，這些鋪砌織物組織的空間結構相對單調，其變化形式主要依賴于基本組織的形態，用戶可控的自由度小，因此在一定程度上限制了組織的變化空間。

本文提出一種基于“T形鋪砌”的織物組織設計方法。該方法基于1個循環數為4的倍數的基本組織，將其拆解為4個相同形狀、不同形態的“T形組織”，并利用T形鋪砌的鏈圖表示方法，通過編輯鏈圖形態實現T形鋪砌塊的空間重組與平鋪，形成結構可變、變化多樣的鋪砌結構。相對于傳統的鋪砌織物組織設計方法，該方法增加組織整體結構的可控性，生成過程直觀、便捷，且空間結構變化形式多樣，能夠大幅擴展織物組織的設計空間。

1 T形鋪砌原理

T形鋪砌由4個不同朝向、形狀相同的T形鋪砌塊經無縫隙、不重合地平鋪所得到。該T形鋪砌塊由4個正方形構成，形狀呈現英文字母“T”，如圖1所示。研究表明，若n×m個正方形格子構成的矩形區域滿足n與m均為4的倍數，則由上述4個T形鋪砌塊可以鋪滿整個矩形區域［13］。

T形鋪砌可采用有向鏈圖表示［14］。對于一個鋪滿矩形區域的T形鋪砌，在其上建立笛卡爾坐標系，令構成鋪砌塊的單元正方形邊長為1，鋪砌圖左下角的內部角點為原點坐標，則根據坐標位置將鋪砌的所有內部角點分成兩類：若角點坐標對4取余坐標為（0，0）或（2，2），則為A類角點;若對4取余坐標為（0，2）或（2，0），則為B類角點（圖2（a））。定義一個灰白相間的棋盤格，單元格子的大小為2×2，令棋盤格的所有角點為頂點集Vt，且每個頂點均賦予一個整數坐標值，則鋪砌的兩類角點與頂點集Vt恰好在空間位置上存在一一對應關系，如圖2（b）所示。

在頂點集Vt上可建立一個有向圖D=〈Vt，E〉，其中邊集E為Vt中連接相鄰2個頂點的有向邊集。若該有向圖滿足如下所述的鏈圖條件，則該有向圖唯一對應一個T形鋪砌［14］：

1） 每條有向邊均位于單元格子邊界上;

2） 圖中任意頂點的入度和出度均為1;

3） 每個白色單元格子上必有2條不相鄰的有向邊。

上述結論表明，一個有向鏈圖由一個或多個強單連通子圖構成（圖2（b）），不同的鏈圖表示不同的T形鋪砌，其所形成的鋪砌結構中不同朝向的T形鋪砌塊之間互相銜接咬合，鋪砌塊的組合形式變化多樣，因此能夠帶來各種風格迥異的鋪砌效果。

2 鋪砌織物組織設計

T形鋪砌能夠鋪滿矩形區域的性質及便捷靈活的有向鏈圖表示方法，為基于鋪砌的織物組織設計提供了研究思路。本文利用T形鋪砌與有向鏈圖一一對應的性質，通過編輯有向鏈圖構造鋪砌織物組的空間結構，并配合不同形式的基本組織，生成與編輯T形織物組織。

2.1 基本組織的分解

鋪砌織物組織通常將鋪砌塊作為基本組織在給定組織循環的矩形區域內進行平鋪，如椅子鋪砌［11］與瓷磚鋪砌［12］。對于T形鋪砌組織，同樣可以在4個T形鋪砌塊內定義“基本組織”并進行鋪砌。易見，該4個基本T形鋪砌塊恰好能拼構成循環數為4s的基本組織（s為正整數），且有2種拼構形態（圖3（a））。因此，為了便于用戶進行交互設計，本文將4個T形鋪砌塊合成一個組織，并在其上繪制組織點以定義基本組織，然后將基本組織自動拆解為T形鋪砌塊并運用有向鏈圖方法進行重組形成鋪砌織物組織。需注意的是，相同的基本組織在不同拼構形式下將形成不同的T形鋪砌塊，如圖3（b）所示（數字相同的方格構成一個鋪砌塊）的平紋組織在2種拼構形態下形成了不同的鋪砌塊組合，因此由此生成的鋪砌織物組織也不同。

2.2 鋪砌組織的設計方法

如前所述，T形鋪砌可運用有向鏈圖表示。本文利用有向鏈圖構造與編輯方式直觀、便捷的特點，利用有向鏈圖構造鋪砌結構，并根據所設計的基本組織進行平鋪設計。

類似于其他鋪砌織物組織的構造方法，本文方法亦需通過構造鋪砌結構、設計鋪砌塊組織及生成鋪砌織物組織等步驟，但由于引入了棋盤格上的有向鏈圖作為鋪砌結構的編輯方式，因此其織物組織設計增加了編輯構造鋪砌結構的步驟，具體方法描述如下：

1） 設計一個循環數為4s的基本組織，選擇拆解方式生成4個帶組織點的T形鋪砌塊;

2） 確定鋪砌織物組織的循環數n×m，并限定循環數n與m均為4的倍數;

3） 根據循環數計算并構造棋盤格，該棋盤格的晶格（正方形單元）數為（n-2）×（m-2）/4;

4） 在棋盤格上構造或編輯有效的有向鏈圖，確定后根據有向鏈圖表示鋪砌的規則自動生成一個T形鋪砌結構;

5） 將拆解后的基本組織塊按其空間形態對鋪砌結構進行填充，并最終形成T形織物組織。基本組織拆解后成為4個互相獨立的鋪砌塊，在保持其空間形態的基礎上，對上一步驟形成的鋪砌結構按照基本組織設定拆解出鋪砌塊，填充其經、緯組織點，可以形成最終的T形鋪砌織物組織。

在上述步驟4中，有向鏈圖的箭頭和t形鋪砌塊的鋪砌方向一一對應，即有向鏈圖箭頭決定了T形鋪砌塊的擺放方式。如圖4所示，一個T形鋪砌塊具有10個頂點，編碼為A～J，有向鏈圖一條有向邊的起點對應D點，終點對應F點。以這種對應關系用T形鋪砌組織替換有向鏈圖的邊，則可形成相互不重疊的T形鋪砌結構。

2.3 鋪砌組織的變化

異于分形織物組織，其組織分布的空間結構由基本組織唯一確定，因此其變化形式相對單調。而鋪砌織物組織的基本組織與空間結構無相關性，因此可從兩個維度進行變化。然而傳統的鋪砌織物組織，如椅子鋪砌［12］與瓷磚鋪砌［13］織物組織其鋪砌結構相對固定，可控自由度很小，其變化方式主要通過設計不同循環、不同形態的基本組織。T形鋪砌的空間結構可隨著其對應有向鏈圖的變化而變化，其可變形式更為豐富，設計自由度更大。

根據上述設計鋪砌織物組織的步驟，T形鋪砌織物組織可從基本組織的形態、基本組織的拆解方式、鏈圖的形態及鋪砌組織的循環數等多方面進行變化以擴大鋪砌織物組織的變化形式，具體介紹如下：

1） 基本組織的形態。基本組織是決定鋪砌織物組織局部組織形態的主要影響因素，因此改變基本組織的形態能夠在很大程度上改變鋪砌織物組織的形態。具體可通過定義組織循環數參數s及在該組織循環內定義各種組織形態實現。

2） 基本組織的拆解方式。基本組織的拆解方式確定了T形鋪砌塊的組織形態，其等價于間接改變了基本組織的形態。除了前述兩種常規的拆解方式外，通過旋轉變換等亦能獲得更多的拆解方式，因此同一種基本組織可衍生變化出多種鋪砌塊形態，如圖5所示。

3） 有向鏈圖的形態。區別于基本組織，有向鏈圖形態決定了鋪砌織物組織的空間結構，其影響織物組織的整體結構與形態。因此，在鋪砌對應的棋盤格上設計新的鏈圖或在已有鏈圖上進行編輯，如逆轉有向鏈圖子圖邊的方向、有向鏈圖的子圖合并與分裂等，同樣能夠較大程度地改變組織形態。

4） 鋪砌組織的循環數。鋪砌組織循環數的改變不僅帶來組織規模的改變，且隨著組織循環數的增大，鏈圖的可變空間也越大，相應的鋪砌結構也將越豐富、越復雜，從而也能為鋪砌織物組織帶來較大的變化。

2.4 有向鏈圖的編輯方法

如前所述，改變有向鏈圖的形態能夠改變鋪砌的整體結構，因而能夠為最終形成的鋪砌織物組織帶來較大程度的變化。有向鏈圖的編輯方式很多，本文介紹幾種常見的編輯方式。

1） 子鏈圖方向逆轉。設子鏈圖DiD，且Di由有向鏈路v1v2…vnv1構成，則通過逆向編輯Di的邊的方向，得到新的子鏈圖Di，其有向鏈路為v1vn…v2v1，如圖6（b）所示。

2） 子鏈圖合并。設子鏈圖Di，DjD，其有向鏈路分別為v1v2…vnv1與u1u2…umu1，若2個子鏈圖中分別存在平行鏈路vpvp+1…vp+l與uquq+1…uq+l，其方向相反且2條鏈路中間無其他鏈路，則可將2個子圖進行合并：刪除該2條平行鏈路，并添加有向邊將2個子圖連通形成新的有向鏈圖，如圖6（c）所示。

3） 子鏈圖分裂。分裂可視為合并的逆向操作。設子鏈圖DiD，若Di存在2條平行鏈路vpvp+1…vp+l與vqvq+1…vq+l，其方向相反且2條鏈路中間無其他鏈路，則可將該子圖進行分裂：刪除該2條平行鏈路，將子圖分裂為2個連通子圖，并添加有向邊，將該分裂得到的連通子圖形成新的有向鏈圖，如圖6（d）所示。

此外，由于織物組織要求經緯組織交織點的分布盡可能均勻，在設計基本組織及編輯有向鏈圖時應考慮該因素。盡量避免如基本組織的交織點分布不均、同一個T形鋪砌結構僅有一種交織點、有向邊方向在局部大面積區域一致，以及有向鏈圖的子鏈路形態單一等各種情況。

3 仿真實驗與討論

本文運用Python語言實現上述T形鋪砌織物組織設計方法，基于PyQT5庫實現圖形界面，用于交互設計T形鋪砌組織，并對所生成的織物組織意匠圖進行可視化仿真。本文通過實驗討論各種不同變化形式對織物組織設計效果的影響。

3.1 基本組織的形態

基本組織對最終形成的鋪砌織物組織外觀影響較大。圖7為采用相同的鋪砌結構不同的基本組織所形成的鋪砌織物組織。由圖7可見，對于同樣的鋪砌結構，不同的基本組織所形成的組織的局部外觀效果有著顯著差異，且風格迥異。雖然兩個基本組織僅有4個相鄰的組織點互異，但其所處的鋪砌塊在相同的鏈圖表示下在不同區域共變換復制了15次，因而其所生成的鋪砌織物組織共有60個互異的組織點且分散分布在不同的空間位置，造成了視覺上較大的差異。

3.2 基本組織的拆解方式

基本組織的不同拆解方式形成了不同的鋪砌塊組織，因此所生成的鋪砌織物組織也不同。圖8給出了相同的基本組織與鋪砌結構，采用不同的拆解方式所形成的鋪砌織物組織。其中，圖8（a）與圖8（b）的有向鏈圖相同，而采用兩種拆解方式則生成了不同的鋪砌織物組織。

3.3 有向鏈圖的編輯方式

作為T形鋪砌的表示形式，有向鏈圖決定了鋪砌織物組織的整體空間結構。通過編輯有向鏈圖能夠靈活地改變鋪砌結構，且變化形式多樣。在設計時可根據有向鏈圖的定義在棋盤格上設計合理的有向鏈路。圖9為由相同的基本組織，結合4種不同有向鏈圖所對應的T形鋪砌結構所生成的鋪砌織物組織。由圖9可見，雖然基本組織相同，但不同的有向鏈圖導致所形成的鋪砌組織差異較大。與圖7基本組織引起的鋪砌組織的差異不同，有向鏈圖的不同將帶來更大范圍的差異。這是由于有向鏈圖中的一條鏈環至少有4條邊，分別對應4個T形鋪砌塊，不同的鏈環邊數及邊的方向將導致不同的鋪砌形式;而有向鏈圖的編輯由于重組了其空間布局，使得織物組織整體結構上產生很大差異，因而所生成的組織也相應具有顯著的視覺效果差異。

此外，對于現成的有向鏈圖也可運用有向鏈圖的性質，通過局部編輯的方式生成新的鏈圖，從而獲得新的鋪砌結構及相應的鋪砌織物組織。如圖10所示，通過對局部有向鏈環進行逆向、合并與分裂操作獲得不同的鋪砌織物組織;而局部鏈圖的改變，造成了局部鋪砌組織的改變，其組織的外觀也帶來不同的效果。

3.4 不同組織循環數

組織循環與鋪砌結構的變化種類直接相關，循環數越大，有向鏈圖的可變空間越大;變化形式越多，相應的鋪砌結構也越豐富。圖11為大組織循環下的鋪砌織物組織。由圖11可見，雖然基本組織為簡單的加強平紋，但由于有向鏈圖規模較大，相應的組織循環數也較大，最終所形成的組織外觀復雜且富于變化。

3.5 其他變化形式

此外，為了進一步擴大T形鋪砌織物組織的設計空間，可將T形鋪砌塊組織的單位尺度進行變化，例如將任意s×s（s為單位尺度）的組織填充入T形鋪砌塊的每個方向單元。圖12為s=2與s=3時所形成的不同鋪砌塊及所對應的鋪砌織物組織。

4 結 論

本文提出了一種基于有向鏈圖編輯的T形鋪砌織物組織設計方法。該方法利用T形鋪砌的鏈圖表示方法，通過設計與編輯定義于棋盤格上的鏈圖獲得T形鋪砌的空間結構，并結合基本組織生成鋪砌織物組織。計算機仿真實驗表明，通過編輯鏈圖生成鋪砌織物組織的方法是可行的;相對于傳統的分形織物組織與鋪砌織物組織設計方法，該方法在空間結構的維度上豐富了織物組織的變化形式，從而在更大程度上擴大了鋪砌織物組織的設計空間，為織物組織的數字化設計提供了新方法與新思路。但是，任意基本組織與有向鏈圖的組合所形成的鋪砌織物組織未必符合組織工藝要求，目前尚需要進行人工篩選合理的組織。未來將針對該方法研究其工藝約束條件，以進一步提高組織設計效率。

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Abstract： With the development of information technology， the digitalization of fabric weave design has become popular. And how to efficiently and conveniently design fabric weave featuring a unique style and diverse changes while meeting the technological requirements is an important research topic in the field of textile design. Existing methods of designing fabric weaves can be roughly divided into two classifications， namely， the global transformation and combination of fundamental weaves. The former takes the weave as a whole and transforms it by various operations， while the latter reassembles one or more simple weaves into a complicated weave according to certain rules. However， the designed fabric weaves are lack of change in their spatial structure and the design degree of freedom is relatively low， which results in limited changes of weave styles.

To overcome the above limitation， we proposed a T-tetrominoes tiling based fabric weave design method. Through this method， we constructed the space structure by using four T-tetrominoes tiles disassembled from the basic structure by the selected method， and designed the fabric weave efficiently by constructing the directed chain diagram. Firstly， we designed the directed chain diagram on the checkerboard by using the unique directed chain graph of T-tetrominoes tiling， and edited the chain graph by operations of reversion， splitting and merging of the sub-chain graphs. The editing result of the modified chain graph would act on the T-tetrominoes tiling and change its pattern. Secondly， we reassembled the fundamental weaves into diversified T-tetrominoe tiling fabric weaves. Finally， we implemented the proposed method and visualized fabric weaves with Python language. The method can control the weave design results from various aspects such as different fundamental weaves， disassembly ways and directed chain graphs. Compared with the traditional fabric weave design method， our method is more convenient and intuitive to design fabric weaves with rich and changeable tiling structures. It expands the design space of tiling-based fabric weaves to a greater extent， and provides new methods and ideas for digital design of fabric weaves.

However， the result generated from the assembling of any given fundamental weave with any directed chain graph may not always meet the technological requirements. And it is necessary to manually select the suitable fundamental weaves and chain graphs. Thus， in the future， we will incorporate the technological requirements into the design of T-tetrominoe tiling fabric weaves to improve the utility of the weaves and efficiency of design. Besides， we will also explore more other effective methods of designing tiling-based fabric weaves.

Key words： fabric weave design; T-tetrominoes tiling; directed chain graph; weave editing; digitization; design model