基于最近發展區視角的“角的比較與運算”教學新設計*

廣東省深圳市寶安區航城學校(518101) 張雨桐

1 引言

蘇聯教育心理學家列夫·維果茨基(Lev S.Vygotsky)認為,不論處于哪個發展點,兒童都會遇到一些看似不太難,但總處在自己解決能力的邊緣上限的問題.為此,他將兒童的發展水平界定為兩種: 一種是獨立解決問題時所表現的現有發展水平;一種是在成人的引導或更有能力的同伴的協助下,解決問題時所能達到的水平,兩者之間的差距就是最近發展區,隨著兒童的不斷發展,最近發展區是一個不斷變化的動態區域.從教育的角度上看,最近發展區是介于學生已經學會的和學生不可能學會的教學區域,在這個區域內進行的教學是令人興奮、具有挑戰性的,所以最近發展區又稱為“魔法中心”[1].

“角的比較與運算”源自人教版七年級上冊第四章第3節,在角的定義和角度制的基礎上,通過類比線段的研究思路,對角的比較、角的和與差、角平分線等內容進行研究.《義務教育數學課程標準》(2011 版)對本節內容的要求是: 理解角的概念,能比較角的大小;認識度、分、秒,會對度、分、秒進行簡單的換算,并會計算角的和、差[2].對學生來說,從研究思路的角度看,“線段的比較與運算”屬于可以獨立解決的問題,而“角的比較與運算”屬于需要成人的引導或更有能力的同伴的協助下才能解決的問題;從已有的認知基礎看,時鐘的時、分、秒之間的換算是學生已經掌握的內容,而角度制的度、分、秒之間的換算是學生的學習難點,因此,如何將線段的研究思路遷移到學習本節課的內容、利用時鐘的時、分、秒來突破角度制的運算上的難點,都需要教師在學生的最近發展區這個區域內組織教學.基于以上要求,確定本節課基于最近發展區視角的教學設計.

1.1 授課課題《義務教育教科書·數學》七年級上冊(人教版)第四章幾何圖形初步4.3.2 角的比較與運算,第一課時.

1.2 教材分析本節課是人教版七年級上冊第四章第3節第二課時的內容,主要內容是: 角的比較、角的和與差、角的平分線.角是平面幾何的基本圖形,所以本節課的教學內容是本章重要的基礎知識.學生在學習角的基本概念和角度制的基礎上,通過類比線段的研究方法,學習角的比較與運算,同時為下一節余角和補角的內容進行思想上的鋪墊,從而為后續的學習圖形與幾何打下必備的知識基礎,因此本節課的教學內容具有承上啟下的作用.

1.3 學情分析七年級的學生思維活躍,模仿能力強,善于動手操作,但是運算能力和數學抽象能力不強.在此之前,學生已經學習了角的基本概念、角的度量以及直線、線段、射線的相關概念及其性質,對本節課的學習內容具有知識和數學思想上的儲備,因此學生經歷過線段的相關性質的學習過程,通過類比的方法,學生對角的大小比較、角平分線的學習方法和內容不會有太大的困難.但是,由于學生的運算能力一般,再加上角的度量采用的是60 進制,所以學生在計算角的和與差過程中存在障礙;同時受數學抽象能力的限制,學生對圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉化也會存在一定的困難.

1.4 教學目標

1.4.1 知識技能

運用類比方法,學會比較角的大小,分析兩個角的和與差并進行相關的運算,認識角的平分線及三等分線.

1.4.2 數學思考

經歷從定性到定量,從一般到特殊的問題探究過程,培養思維的連貫性和整體性.

1.4.3 問題解決

通過度量法和疊合法比較角的大小,用折紙法確定角平分線.

1.4.4 情感態度

培養動手操作能力、識圖能力和幾何語言的表達能力,體會類比和數形結合思想.在自主探究、動手實踐、小組交流的數學活動中積極思考,獲得成功的體驗,激發學習熱情.

1.5 教學重點

角的大小、角的和與差、角平分線的意義及數量關系.

1.6 教學難點

角的運算(角度制的換算).

1.7 教學關鍵

在角的運算過程中,度、分、秒之間的換算采用的是60進制,與我們日常使用的10 進制不同,所以學生在進制的轉變過程中會覺得不習慣甚至很困難,但是學生在小學的時候就已經學習過時鐘上的時、分、秒之間的換算,具有60 進制換算的基礎,因此在教學過程中多引導學生類比時鐘的時、分、秒之間的換算,從而突破本節課的難點.

1.8 教學策略

1.8.1 教法

講授法、討論法、演示法

1.8.2 學法

動手實踐、自主探究、合作交流

1.9 教學工具

三角板、量角器、三角形紙片(2 個)、ppt、投影儀

2 教學過程設計

2.1 回顧引入

教學過程教師活動學生活動設計意圖1、角是怎樣的圖形?2、除了角的定義,上節課還學習了角的什么內容?3、前面我們學習的直線、射線和線段這些幾何圖形中,哪個也是可以度量的?4、根據前面線段的學習內容,請同學們猜測一下,本節課要研究角的哪些內容?通過提問讓學生回顧角的兩種定義.學生回答出角的兩個定義過程中,教師在黑板上展示兩個角度不同的角.通過師生問答,讓學生在回顧過程中發現角和線段都是可以度量的,鼓勵學生大膽猜想本節課的研究內容.總結學生的猜想,引出本節課的學習內容: 角的比較與運算.回答角的兩種定義.回答角度制和線段有長短.對本節課的學習內容進行猜測.對上節課角的定義進行回顧.引導學生發現角和線段都是可以度量的,為本節課類比線段的研究方法做鋪墊.

2.2 探索新知——角的比較

教學過程教師活動學生活動設計意圖1、思考: 如何比較角的大小?images/BZ_10_411_1792_750_2002.png(預備知識: 復習線段大小的比較方法.如圖,已知線段AB、CD,你有哪些辦法比較它們的大小?images/BZ_10_411_2160_780_2236.png(1)度量法(2)疊合法)注: 如果授課學生能自行通過類比線段的比較來研究角的比較方法,則教師無需帶領學生復習線段的比較方法,只需要在學生展示的時候提問學生是如何想到這些比較方法的,即可.在黑板上放置兩個三角形紙板,讓學生思考比較角的大小的方法.給出具體的兩個線段,引導學生回顧比較線段大小的兩種方法.如果學生沒能想到角的兩種比較方法,就先回顧線段的兩個比較方法.拿出事先準備的兩個三角形紙板,分別在兩個紙板上選定一個角并標記,思考比較兩個角的方法.先獨立思考,再與同伴交流想法.回顧比較線段大小的兩種方法.在小組合作之前要求學生先獨立思考,培養學生獨立思考的能力,為接下來的小組合作做好發言和參與的準備.通過回顧線段的比較方法,引導學生將比較線段大小的思路遷移到比較角的大小的學習過程中.2、角的比較方法方法1: 度量法images/BZ_10_411_2683_847_2891.png方法2: 疊合法(1)使兩個角的頂點及一邊重合;(2)兩個角的另一邊落在重合一邊的同側;(3)由兩個角的另一邊的位置確定兩個角的大小.巡堂觀察學生之間的交流,傾聽學生描述比較方法.交流時間到了之后請學生上臺演示比較角的大小的方法.總結學生的方法,并用課件演示,梳理每種方法的步驟和補充細節.在課件上將兩個疊合后,組成一個新的圖形,比較各個角的大小關系.上臺演示角的比較方法,并說明理由.口頭回答各個角之間的大小關系.學生上臺演示比較方法,提高學生課堂參與的積極性,同時發現學生在比較過程中不夠規范之處,及時糾正.通過練習,鞏固角的比較方法,同時為接下來角的和與差進行鋪墊.

2.3 探索新知——角的和與差

教學過程教師活動學生活動設計意圖1、思考: 它們之間有什么等量關系?images/BZ_11_423_1193_795_1474.png(1)∠AOC 是∠AOB 與∠BOC 的先從圖形中找出三個角之間的等量關系,再完成學案上的相應內容.,記作∠AOC=引導學生思考,這三個角除了可以比較大小,它們的度數之間是否有等量關系?要求學生獨立完成學案上的相應內容.;角的比較是角的不等關系;角的和與差是角的等量關系的.從定性分析到定量分析的過程,幫助學生理清知識點之間的邏輯關系.(2)∠AOB 是∠AOC 與∠BOC 的,記作: ∠AOB=;類似地∠BOC=.2、典題精析:images/BZ_11_423_1775_783_2026.png例1.如圖,O 是直線AB 上一點,∠AOC=53°17′,求∠BOC 的度數.分析: ∠AOB 是平角,∠BOC=∠AOB-∠AOC.解: 由題意可知,∠AOB 是平角,所以∠AOB=180°.所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17′=126°43′.注: 關鍵在于“180°=179°60′”的轉化.變式.如圖,O 是直線AB 上一點,∠AOC=57°13′,求∠BOC 的度數.解: 由題意可知,∠AOB 是平角,所以∠AOB=180°.所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-57°13′=122°47′.審題: 根據題意把已知角的度數在圖中進行標記.提問學生解題思路,鼓勵學生說出運算思路,再從學生的多種解題方法中選取最優運算方法.板書解題過程.詳細講解角度制的換算在相減過程中的運用.簡單變式,要求學生進行計算,用課件演示求解過程.緊跟老師的審題思路,提出自己的運算方法.體會角度制在加減過程中的換算,體會簡便算法,注意書寫格式的規范性.自行動筆計算,參考板書的計算過程.突破課堂難點: 角度制的換算在加減運算中的應用.3、活動探究:(1)利用一副三角板,畫出15° 和75° 的角.你還能畫出哪些度數的角?images/BZ_11_423_2807_841_3080.png在學案上畫出15° 和75° 的角.參與小組討論,共同畫出其他度數的角.觀察這些角的度數的共同點.通過用一副三角尺畫出一些特殊角,復習鞏固角的和與差的概念,使學生對這些特殊角的大小有直觀認識,培養對角的大小的估計能力,發展空間觀念.(2)這些角的度數有什么共同點?都是15 的倍數.要求學生先了解三角板各個角的度數,再嘗試擺出15° 和75°的角,并在學案上畫出來.3 分鐘后請學生投影學案并進行解釋.隨后再追問是否還能擺出其他角,組織學生進行小組討論.3 分鐘后由小組代表匯報討論結果,并引導學生探究這些特殊角的度數的共同點.

2.4 探索新知——角平分線

教學過程教師活動學生活動設計意圖1、情景引入: 老師這里有一塊蛋糕,打算獎勵給小明和小紅兩位同學,應該怎么切這塊蛋糕,才能公平地分配給兩位同學?2、思考: 類似線段的中點,給角平分線下定義.images/BZ_12_396_758_766_1025.png通過折紙活動找到角平分線,完成的同學進行展示,并說明操作方法.根據角平分線的特征嘗試給角平分線下定義.通過動手操作歸納角平分線的概念,并用符號語言表示,體會角的倍分關系,培養學生用文字語言和符號語言表達圖形的能力,發展類比思想.角平分線: 從角的頂點出發,把這個角分成相等的兩個角的射線,叫做這個角的平分線.符號表示: ∵OB 是∠AOC 的角平分線(OB平分∠AOC)∴∠AOB=∠BOC=1用三角形紙板代替蛋糕,折紙代替切蛋糕,通過實際生活中的例子引導學生發現角平分線的作用.通過類比的思想,鼓勵學生通過折紙活動發現角平分線,并結合圖形讓學生嘗試給角平分線下定義.2∠AOC例2.如圖,O 是直線AB 上一點,OC 是∠AOB 的平分線,∠COD=31°28′,求∠AOD 的度數.images/BZ_12_396_1386_816_1745.png解讀題意,課件展示解題過程.詳細講解角度制的換算在相減過程中的運用.自行動筆計算,參考例1 板書的計算過程.突破課堂難點: 角度制的換算在加減運算中的應用.解: 因為OC 平分∠AOB,∠AOB 是平角,所以∠AOC=∠AOB=90°,所以∠AOD=∠AOC-∠COD=90°-31°28′=58°32′.1、拓展: 類似地,還有角的三等分線等······OB、OC 是∠AOD 的三等分線.能否折出三等分線?images/BZ_12_396_2047_768_2382.png在角平分線的知識基礎上,提問學生是否還能找到其他的特殊情形,課件演示角的三等分線.通過提問能否對折出三等分線,指出三等分角是古希臘三大幾何問題之一.口頭回答角的三等分線等情況.課堂滲透數學文化,提高學生對數學學習的興趣.

2.5 小結提升

教學過程教師活動學生活動設計意圖1、角的比較: 度量法、疊合法2、角的運算: 度與度、分與分、秒與秒相加、減;分秒相加時逢60 要進位,相減時借1 作60.先給學生2-3 分鐘的時間進行梳理并補充學案,然后讓學生說一下本節課的主要知識點,課件展示“角的比較”的兩種方法和角的運算過程中單位的換算.補充學案,梳理知識點,自行小結.留給學生梳理知識點和回顧本節課的時間.

3 板書設計

4.3.2 角的比較與運算一、角的比較images/BZ_13_397_1877_766_2086.png三、角平分線∵OB 是∠AOC 的平分線(OB 平分∠AOC)∴∠AOB=∠BOC=1二、角的和與差例1.解: 由題意可知,∠AOB 是平角,所以∠AOB=180°.所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17′=126°43′.注: 關鍵在于“180°=179°60′”的轉化.2∠AO C.1、度量法2、疊合法images/BZ_13_1557_1942_1929_2226.png

4 教學反思

4.1 基于最近發展區的課前引入

從教育的角度上看,最近發展區是介于學生已經學會的和學生不可能學會的教學區域,在這個區域內進行的教學是令人興奮、具有挑戰性的,所以最近發展區又稱為“魔法中心”[1].在學習本節課之前,角的比較與運算是學生還沒學會的知識,而線段的比較與運算是學生已經學會的知識,同時在學習角之前,學生已經認識了直線、射線和線段等多種幾何圖形,所以如何讓學生自然地想到類比線段,而不是直線或射線,是本節課研究思路的關鍵.因此,本節課采用的是復習引入的方式,在回顧知識點的過程中發現角和線段都是可以度量的,而直線和射線不可度量,引導學生想到角和線段的研究思路是可以互相借鑒的.

4.2 創設情境促進學生向更高水平發展

探究角的比較方法的過程中,除了用量角器量出兩個角的度數,學生還可以通過平移兩個角,從形的角度找到角的比較的第二種方法: 疊合法,提高學生利用數形結合解決問題的能力;在角平分線的教學中,通過生活中的實際例子,讓學生在解決實際問題的過程中體會到角平分線的特殊性,增強學生對角平分線的認識.因此,在探究新知的過程中,把握學生的最近發展區,創設機會鼓勵學生動手操作,能有效促進學生攀登可能達到的發展水平.