探究性作業的設計策略探討

黃錦芹

【摘 要】家庭作業不但可以起到及時鞏固課堂所學知識的作用，還是對知識的一種檢驗和應用，更是教師測評學生知識掌握水平的一種最直接的手段。但是，反觀教育現狀，數學家庭作業內容過于陳舊單調，淪為一種形式，學生只要做完且答案和標準答案一致，就算合格，字跡工整的還可以附贈一個“優秀”，這樣的書面作業無法反饋學生的思維過程。

【關鍵詞】理解 概念 知識 應用 推理 證明

探究性數學家庭作業需要學生高度的自覺性和獨立的思考性，旨在讓學生通過研究一個開放性問題，進行自主探究和表達，在作業過程中必須完成理解概念、建構模型、方法創新等一整套流程。結合中高年級的知識特點和小學生的認知規律，可以將探究性作業分為概念鞏固作業、知識應用作業、推理探索類作業三種類型。

一、概念理解類作業設計策略

數學概念是通過大量的對比歸納而形成的。借助符號化的表達，可以把數學概念提煉為一串表達式，而對比辨析的過程就成了隱蔽的過程性思維。因此，建構概念的方式不同，對概念的理解程度也就不同。

（一）“描寫式”作業的設計策略

“描寫式”的概念理解作業，重在對概念的復述，要求學生敘述概念的定義，直接說出自己的直覺理解，然后通過舉例證明，最后讓學生對照概念內涵自己設計題目，以此展示對概念的深刻領會。譬如“平均數”這一概念，在舊版教材中幾乎都是通過計算題直接計算平均數，而新版教材則側重于理解。學完了平均數，為了檢測學生理解到什么程度，筆者設計了“平均數講演”的“開放性作業”，學生可以通過任何方式為平均數正名。

有個學生寫道：我是“平均數”，和“÷”是近親。我平時深居簡出，我有兩種出場方式，一種是“移多補少”，一種是“總數÷份數”。我是最公正不阿的法官，代表平均分的結果，雨露均沾。如有12盒月餅，分給3位嘉賓，我會給每人分配4盒。三年級學生可以通過描述、舉例、出題等方式將平均數解釋清楚。描寫式作業，不僅能鞏固概念，更是對概念的一次剖析。經過一定時間的訓練后，一旦遇到數學概念，學生就知道該通過什么途徑分析和理解概念。

（二）“判定式作業”的設計策略

概念判定式作業，側重于對概念的是非判定。學生需要預先獨立判斷概念命題：“全對還是全錯？或者改變某一條件才正確？”——這是初步判斷。然后深入解剖，看是否可以通過增刪條件將命題訂正，這一步操作促進對與概念相關聯的子概念和次生概念的理解，形成概念鏈條。最后舉出正確的示例，使得對概念的判斷呈現先“破”后“立”的思維狀態，全面建立概念。

如學生在學習了“面積”概念后，經常需要對“面積”和“周長”進行分辨。有些判斷很粗略，是一些概括性的描述，如“如果一個圖形的周長越長，就說明它的面積越大”。“周長”是舊知，如果非要在此基礎上類比構建“面積”概念，就必須進行辨析。但如果不分析原因，只記住結論，那么下次一遇到變式，學生就會束手無策。若將作業改變問法，設計成“一個圖形的周長越長就能說明它的面積也越大嗎？為什么？請試圖將你的想法通過畫圖或者描述展示出來”，學生就會想方設法證明這個命題是個偽命題，得出“有很多有凹入部分的圖形，邊緣彎彎曲曲會很長，但是面積卻出奇的小”這樣的結論。

二、知識應用類作業設計策略

知識應用強調“四能”培養，知識應用的核心素養就是建模，需要通過各種不同類型的作業來完成知識體系的構建。既然“問題”都是分類的，那么對同一題型的提煉，關注遞進式的題組，就是這類作業的基本設計理念。

（一）“橫向同構”問題作業的設計策略

“橫向同構”問題，是指有著相同構架的問題，例題要突出本質特征，而非本質因素則要千變萬化，從而訓練學生透過題干的表面看到問題的結構本質。解兩題（數據、結構均相同，只是背景內容不同）歸納共同點，用不同方式表示問題的結構。做第二題時就會感覺到似曾相識，做第三題時就會恍然大悟。因此，教師可以在解答題目之后，讓學生說出它們到底哪里一樣，然后指導學生用專業的數學符號（線段圖、表格）等提煉出模型。

（二）“縱向同構”問題作業的設計策略

“縱向同構”問題，是指由同一個數學問題派生出許多變式，把一道有價值的題目通過改變其中的基本元素改編成多道相關題，逐步發散學生的思維，促使學生發現這類問題的演變形態，全面掌握相關知識。學生一旦具備這種能力，之后在遇到類似問題時，不管如何變形，都能迅速找到解決的方法。

將一道簡單題逐漸增設條件加大難度，或者將直接條件改為間接條件，可以讓學生明白這類問題是縱向延伸的，其基本結構和主軸相同。學生仍需先獨立解答兩三題，這幾題情境相同，從而體會到，明明說的是一件事，但是又偏偏不盡相同，在解答后明確描述出不同之處，最好還能指出相同點和內在關聯。

比如，在學習“分段計費”后，筆者設計這樣的作業：“李叔叔要寄個快遞，快遞收費標準為3千克以內保底價6元，3千克至10千克每千克加收1.5元快遞費，10千克以上每千克加收1元的快遞費。李叔叔如果要寄2千克的包裹，要支付多少快遞費？5千克呢？20千克呢？請畫線段圖分析快遞費收取方案。”學生接觸的都是“分兩段”的“水費”“電費”“電話費”等問題，設計作業將題目縱向拉伸，不斷增加段數，借助線段圖深刻揭示分段計費問題的基本構架。這類問題還能改造成開放題，通過刪減數據條件，讓學生自己賦值提問并解答，迫使學生自覺解剖問題結構，再來設計數據，提高難度。

三、推理證明類作業設計策略

推理是一種基本的數學思維，教師應培養學生的推理能力。推理證明類作業在于通過推理方式建構知識，讓學生逐漸掌握證明、分析、推理的一般程序。

（一）“證明推理式”探究性作業的設計策略

當學生有能力證明一個命題的真偽時，他頭腦中就能勾勒出基本的邏輯線索。作業就是先要將原有的線索激活，為學生創設情境，從而將抽象的線索變為具體的證據。

概念的“判斷分析”針對知識點，而“證明推理”則針對偏題、難題。學生在證明自己的觀點前要亮明觀點，然后設法“證明”，在證實自己的觀點后再重申觀點。

（二）“遷移推理式”探究性作業的設計策略

新知的構建，有賴于從原有認知結構中去接納和同化新的觀念形態，將新舊知識融為一體，納入一個“版圖”中。學生必須自己經歷完整的知識轉化過程。遇到難題時，不同層次的學生表現不同，有的攻克難關，挑戰成功，無比喜悅；無法攻克難關的學生，教師可以引導他們先試做一些簡單題練練手。簡單題與難題的結構模型完全一致，可以讓學生經歷難度緩慢提升的適應過程，從而學生就會自覺進行類比，找到解題的方法。經歷完成作業的整個過程，不僅能幫助學生化難為易，而且能幫助學生進行遷移類比。

如“已知正方形面積為2平方厘米，求圓形面積”這道題（見下圖），學生感覺很難。

探究作業設計：如果解題遇阻，可以繞道做另外兩題。

（1）已知一個長方形兩鄰邊長度和為4厘米，這個長方形的周長是多少厘米？

（2）已知梯形上底與下底的和是20厘米，高是10厘米，梯形的面積是多少平方厘米？

現在，經過這兩題的歷練，你受到了什么啟發？后兩題意在讓學生打破思維定式，讓學生明白不一定非得知道具體的“長”和“寬”才能求周長，也不一定非得知道具體的“上底”和“下底”數值才能求面積，知道“長與寬的和”與“上底與下底的和”這樣的“半成品”條件也同樣可以求出面積。

借此鋪墊，學生就可遷移類推：即使不清楚正方形的邊長即圓的直徑，利用正方形的面積即圓半徑的平方，也能求出圓的面積。

“遷移推理式”探究性作業，注重個體差異，讓學優生發現聯系，捕捉“遷移點”，學困生對“遷移”線索有更加清晰的勾畫。當然，除了上述三種探究性作業類型外，日常家庭作業多是綜合運用類的作業，對描述、判斷、推理、遷移的綜合運用，不僅能讓學生掌握靈活解題的方法，更能發展學生的邏輯思維能力。