小數和分數不可混為一談

唐啟科

【摘 要】“數的認識”整理與復習，是對小學階段所學“數的知識”進行整理歸納。對于小數和分數，有爭議也有認識誤區，本文從“分數的意義是什么？小數的意義是什么？小數是分數的另一種形式嗎？”這三個問題出發，分析提升，得出：由于小學階段沒有學習除π以外的無理數，因此，學生認為分數和小數是一致的，但實際上學了無理數后，學生知道有限小數和無限循環小數能用分數表示，無限不循環小數，如π不能用分數表示。

【關鍵詞】數的分類 小數 分數

一、緣起

每到六年級第二學期，數學教師就開始準備進行小學階段總復習的備課了，復習的第一項內容就是“數的認識整理與復習”，這是對小學階段所學“數的知識”進行系統的歸納整理，對中學學習也有一定的鋪墊作用。通過系統整理復習，教師不僅要引導學生對數的認識和分類進行回顧，而且要引發學生新的思考。但每次進行集體備課時，教師們都有很多爭議，也存在認識誤區。爭議主要集中在以下幾方面：

1.小數是分數的另外一種表現形式嗎？

2.數分為整數和分數兩大類還是整數和小數兩大類，或者分為整數、小數、分數三大類？

3.對于小數、分數意義的表述，相比較而言，學生對什么是分數理解得較好，但在復習階段讓學生說小數的意義，學生幾乎難以表達清楚。

在復習階段，教師應以什么方式讓學生對數的意義有系統理解和歸納？很多教師匆忙中直接百度，并未對其中內容進行甄別就加以使用。如對數的分類，有些教師直接使用了思維導圖（見圖1）。

這個思維導圖很容易給學生一種錯覺：數分為整數、分數、小數三類。實際上我們提出數的分類時，很多學生都會脫口而出：數分為整數、分數、小數。

二、思考

在六年級畢業前，學生要對小學階段知識進行整理復習，這是為接下來的中學學習做好知識儲備。因此，在整理復習時，教師既要引導學生對小學階段所學內容進行整體的復習，又要引導學生對中學數學內容有一個大致了解。筆者認為，要對小學階段的“數”進行準確分類并讓學生理解，首先要解決三個問題：

1.分數的意義是什么？

2.小數的意義是什么？

3.小數是分數的另一種形式嗎？

三、分析

【教學片段1】

師：老師有4個蘋果，平均分給兩個小朋友，每個小朋友可以分多少個蘋果？

生：4÷2=2，每個小朋友2個蘋果。

師：如果老師有2個蘋果，平均分給兩個小朋友，每個小朋友可以分多少個蘋果？

生：2÷2=1，每個小朋友1個蘋果。

師：那如果老師只有1個蘋果，要平均分給兩個小朋友，每個小朋友可以分多少個蘋果？

生：半個蘋果。

師：你們能用喜歡的方式表示半個嗎？

生1：我畫了一個蘋果，把它從中間分開。

師：你畫得可真形象，是個小畫家，這樣表示一半特別直觀。

生2：我就寫了一個字——半。

師：你寫這個“半”字，一豎下來就能體現出從中間分開。

生1：我用1/2表示。

師：同學們可真有辦法，用自己喜歡的方法表示一半，不過，一半更科學的表示方法就是用表示，你們知道這是什么數嗎？

生：分數。

分數的意義是什么？教材中這樣描述：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數，叫作分數。大部分數學教材在安排分數的意義教學時，都安排了“分數的初步認識”“分數的再認識”兩部分內容，學生對“一個物體或者一個圖形的幾分之一、幾分之幾”的意義是理解的，建立了比較準確的表象，但對“一些物體或一些圖形的幾分之一、幾分之幾”的意義理解并不深刻。對于為什么要學習分數，教材交代得不是很清楚。分數與除法、比的關系，北師大版數學教材針對這一內容做了幾次修訂。其實學完這些內容后，很多學生對于這幾種關系仍然難以理解。張奠宙先生認為：把除法和分數的模型簡單化，對于解釋數學教學的本質是有害的，除法有“等分除”和“包含除”之分，分數有“量的意義”和“率的意義”之分，教師和學生都要明白。的確，分數的出現是人類文明史上具有里程碑意義的一件事，從多角度來研究分數的教學也是一個值得研究的課題。也就是說，目前學生對于分數概念的建構，基本是建立在“分蘋果”等簡單模型上，理解得并不是很深入。

小數的意義是什么？這個問題如果在六年級的復習課上提出，幾乎沒有學生能回答出來。學生四年級時學習了小數意義，但對這個概念的理解還是比較淺的。對于小數的意義，教材是這樣描述的：把單位“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的1份或幾份是十分之幾，百分之幾，千分之幾……像這樣的分數可以用小數表示。北師大版數學教材從人民幣的元、角、分來引進小數，然后引導學生將抽象的數“1”進行十等分，主要通過數的改寫來認識小數。小數和整數在形式上是統一的，小數的出現也使得十進制計數法從整數擴展到分數，數的內涵更加豐富了。數的表現形式改變了，但其中不變的是相鄰兩個計數單位之間的進率還是10。

小數是分數的另一種形式嗎？其實小數并不是將分數改寫而成的，而是自然數的十進位值計數規則進行擴展的結果，0.1是1/10的一種新的表述方法，但是為什么要將1/10寫為0.1呢？實際上，這是為了與自然數的寫法匹配。針對小數的教學，一些教材是先講一部分分數內容，再講小數，便于學生更好地理解小數的意義。北師大版數學教材先講分數再講小數，講小數時不強求概念的嚴密準確，而是結合學生的生活經驗采用描述性定義的方法講小數，符合小學生的認知規律。因為在小學階段學生沒有學習無理數，所以在有理數的范疇內分數和小數是一致的，因此教師并不能簡單地告訴學生小數是分數的另一種形式。

那么在小學階段，數應該怎么分類呢？

【教學片段2】

師：在小學階段，我們學過哪些數？誰來說一說？

生1：我們學過整數、分數、小數、自然數、負數。

師：還有嗎？

生2：正數、0、百分數、奇數、合數。

師：你們能用思維導圖把小學階段學過的數進行整理嗎？

生3：我們小組通過整理，把數分為整數、小數、分數三類。

師：與這一小組同學想法一樣的同學請舉手。（占了班級半數以上）還有其他想法嗎？

生4：我們小組把數分為正數、0、負數三類。

生5：我們小組把數分為整數、分數……

生6：我們小組把數分為整數、小數……

師：請大家看老師整理的思維導圖（出示教材思維導圖），你們有什么想法？

生7：我發現，數分為整數和分數，但是小數為什么沒有出現？

師：你這個問題提得真好，大家請看，我把小數添加在分數里了。在小學階段，因為我們沒有學習除π以外的無理數，所以我們認為分數和小數是一致的，因此在圖中用“分數（小數）”表示（見圖2）。

數學新課標指出，整體把握教學內容，在小學階段要重視對數與運算主題的整體理解，重視數的抽象性，通過打通不同數集之間的關聯，體會計數的規律，感受十進制數的意義，把握整數、小數和分數的一致性。在數的認識結構上，教師應該整體把握數集內部的一致性和數集間的一致性，數內部的一致性即數的意義、表示方式、大小等，其核心是數的意義。整體把握不僅有助于深刻理解數的概念的本質，還能遷移到數的運算過程中。學生在感悟數的一致性過程中，學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，培養了科學精神和理性思維。

北師大版數學教材是按圖2的思維導圖進行整理的，將數分成整數和分數兩個維度，強調在小學階段因為學生沒有學習除π以外的無理數，所以在有理數范疇內分數和小數是一致的，因此在圖中用“分數（小數）”來表示。實際上分數和小數是有區別的，有限小數和無限循環小數能用分數表示，無限不循環小數，如π不能用分數表示，分數多是有理數，而小數中，有限小數和無限循環小數是有理數，無限不循環小數是無理數。那么還可以怎么分類呢？筆者在教學中出示了教材中的思維導圖，并結合接下來七年級學習的實際情況，給學生整理出了思維導圖（見圖3）：

【教學片段3】

師：同學們，你們很快就將步入中學學習，老師根據中學數學內容，給大家整理出了思維導圖，你們有什么想法？

生1：為什么要將分數括在有限小數和無限循環小數后？

生2：不能直接把有限小數、無限小數括在一起嗎？

師：為什么要將分數括在有限小數和無限循環小數后，而分數又不包括無限不循環小數？這個問題你們到了中學后就能明白了，老師期待到時候同學們能想起老師的這種分法，并進行解釋。

教師應讓學生帶著問題去探究，帶著問題進入下一階段的學習，學會用整體的、發展的眼光去探究問題，這樣學生才能獲得全面的發展。