輸入飽和下多航天器分布式固定時間輸出反饋姿態協同控制

許闖，吳寶林

哈爾濱工業大學 衛星技術研究所，哈爾濱 150001

在航天器編隊任務中，航天器姿態協同控制是至關重要的技術之一。航天器姿態協同控制是指通過控制使編隊中的所有航天器姿態趨于一致。按航天器編隊結構，航天器姿態協同控制方法可以大致分為以下幾種：主從方法、虛擬結構方法和基于行為方法。主從方法結構簡單，易于實施，但它是一種集中式結構，一旦主航天器出現故障，那么整個航天器編隊就將無法正常工作。Dimarogonas等［1］針對多智能體或者多航天器系統，基于主從方法提出了一些姿態協同控制策略。在虛擬結構方法中，整個航天器編隊將被視為一個虛擬的剛體，然后針對這個虛擬的剛體設計控制策略，最終實現控制目標［2-3］。文獻［4-8］基于虛擬結構方法設計了一些航天器姿態協同控制策略。基于行為方法將根據編隊控制任務的各種事件的權重，來設計控制權重函數。然后，根據這個權重函數來設計控制器。這種方法是一種分布式控制方法，比較靈活。但是，基于行為方法很難描述系統的整體行為。針對多航天器姿態存在外界干擾、模型不確定或者航天器間通信帶寬受限等問題，文獻［9-14］基于行為方法設計了一些航天器姿態協同控制策略。

收斂時間是系統的一個十分關鍵的性能指標，它們通常被用來描述系統響應的所需規格和性能要求。近年來，為了滿足對系統響應時間和魯棒性的要求，研究人員提出了很多種控制方法，例如有限時間控制方法和固定時間控制方法等。有限時間控制可以保證系統狀態在一個有限的時間內到達平衡點。相比于傳統的漸近穩定控制，有限時間控制具有更快的收斂速度，更快的收斂速度通常意味著閉環系統具有更好的抗擾特性［15］。因此，有限時間控制也可以提高整個控制系統的對外界干擾的抑制能力。但是，在有限時間控制中，系統收斂時間的上界不僅僅取決于系統參數，還與系統的初始狀態有關。這導致當系統的初始狀態遠離平衡點時，有限時間控制的收斂時間可能會很長，從而無法滿足任務對系統收斂時間的要求。

為了解決上述有限時間控制問題，研究人員提出了固定時間控制這一方法。固定時間控制是一種能保證系統狀態在固定時間內收斂到平衡點的控制方法，其收斂時間的上限是一個只與系統參數有關的正常數［16］，與系統初始狀態無關。固定時間控制與有限時間控制類似，它相當于有限時間控制的進一步延伸。與有限時間控制相比，固定時間控制的收斂時間不依賴于系統的初始狀態。不管系統的初始狀態如何，固定時間控制的收斂時間上界都是固定的。因此，相比于有限時間控制，即使當系統的初始狀態遠離平衡點時，固定時間控制的收斂速度也會很快。此外，固定時間控制方法不僅明顯提高了系統收斂速度，而且還保留了有限時間控制方法的高魯棒性，具有很高穩態精度和很強抑制干擾能力。目前固定時間控制方法可大致歸類為：終端滑模方法［17-21］、加冪積分方法［22-24］和齊次性理論方法［25-28］這3種方法。終端滑模固定時間控制方法是基于Lyapunov固定時間穩定性定理得到的，設計過程簡單，證明思路清晰，并且很容易與自適用控制和干擾觀測器方法結合來處理存在擾動和不確定項的系統，因此這種方法應用地最為廣泛。加冪積分固定時間控制方法是連續非光滑控制方法的一種，具有很好的抗干擾性能。齊次性理論固定時間控制方法是基于雙極限齊次性定理來證明系統的固定時間穩定性，它的證明思路也較為清新，同樣具有很好的抗干擾性能，但是證明過程相對復雜一些。因此，目前基于齊次性理論固定時間控制方法的研究成果相對較少。這3種方法在控制器設計上并無本質區別，主要區別在于系統的穩定性證明中。因此，這3種方法的控制性能相差無幾。

在實際的太空應用中，航天器的姿態執行機構的輸出力矩是有限的。如果在設計控制策略時沒有考慮這個問題，很可能會導致系統收斂時間預估的不準確，更為嚴重的話甚至會導致系統失穩。此外，在航天任務中，角速度敏感器陀螺可能會出現故障。在這種情況下，系統將無法獲得角速度測量值，這時基于角速度測量值的姿態協同控制策略將無法使用。據我們所知，現如今還沒有同時考慮這2個約束的航天器固定時間姿態協同控制成果。因此，研究輸入飽和下無需角速度測量的多航天器分布式固定時間姿態協同控制問題是很有必要的。

基于以上討論，本文研究存在航天器執行機構飽和與無角速度測量問題下多航天器分布式固定時間姿態協同控制問題。為了解決只有部分航天器可以獲得主航天器姿態和角速度狀態信息問題與航天器自身無角速度測量問題，設計固定時間的主航天器狀態觀測器和固定時間航天器角速度觀測器，來分別在固定時間內估計出主航天器狀態信息和航天器自身角速度信息。然后，基于估計的主航天器狀態信息和航天器自身角速度，設計了一個固定時間姿態追蹤控制器，并利用齊次性理論證明了閉環系統的固定時間穩定性。此外，本文還進行了數學仿真來驗證所提控制策略的有效性，主要創新點如下：

1）針對有向航天器編隊通信結構，設計了一個固定時間主航天器狀態觀測器，來在固定時間內觀測出主航天器的姿態和角速度信息，解決了航天器編隊種只有一部分航天器可以獲得主航天器狀態信息問題。

2）設計了一個固定時間航天器角速度觀測器，該觀測器可以保證在固定時間內觀測出航天器角速度信息。

3）提出了一種考慮輸入飽和問題的固定時間航天器輸出反饋姿態協同控制策略。在該策略作用下，無需角速度測量信息，所有航天器姿態可以在固定時間協同追蹤上主航天器姿態軌跡。

1 基礎理論

1.1 航天器姿態運動學與動力學

第i個航天器的姿態運動學與動力學方程為

式中：qi=[qi1，qi2，qi3]T∈R3為修正的羅德里格斯參數（Modified Rodrigues Parameters， MRPs）；ωi∈R3表示航天器本體坐標系相對于參考坐標系的姿態角速度；Ji∈R3×3表示航天器的轉動慣量；ui=[ui，1，ui，2，ui，3]T∈R3為航天器指令力矩；

對于向量x=[x1，x2，x3]T，x×∈R3×3定義為

若將式（2）用MRPs來表示，則航天器執行機構輸出力矩受限下第i個航天器姿態動力學方程可以寫為

式中：

定義主航天器的姿態及其角速度分別為q0和ω0，則有

定義姿態追蹤誤差為

1.2 代數圖論基礎

本文用代數圖論來描述航天器編隊中航天器之間的通信拓撲結構。考慮包含n個航天器的編隊，采用有向圖G={N，E，A}表示各個編隊成員之間的通信拓撲，其中N={n1，n2，…，nn}是一個有限非空的節點集合，E?N×N是由不同邊組成的集合，邊(ni，nj)表示節點nj可以從節點ni獲得信息。A=[aij]∈Rn×n是圖G的權值鄰接矩陣。權值aij定義為：如果(nj，ni)∈E，則aij＞0；否則aij=0。另外，一般假設節點與自身不存在連通性，即aii=0。Ni為航天器ni的相鄰航天器集合。Laplacian矩陣L=[lij]∈Rn×n定義為lii=∑j∈Niaij，

將航天器編隊的參考姿態視為一個虛擬的主航天器，并標記為第0顆航天器。用圖Gˉ來描述包含n個跟隨航天器和一個主航天器的編隊的通信拓撲結構。定義A0=diag(a10，a20，…，an0) 為圖Gˉ的主航天器相對于跟隨航天器的權值鄰接矩陣。如果第i顆跟隨航天器可以獲得主航天器狀態信息，則ai0＞0，否則ai0=0。

引理1［29］如果圖Gˉ包含一個有向生成樹并且根節點為主航天器，那么存在一個正定的對角矩陣W使得Z=WH+HTW為正定矩陣，式中：H=L+A0，[w1，w2，…，wn]T=H-T1n，W=diag(w1，w2，…，wn)。

1.3 齊次性理論

本節給出了一些關于齊次性理論的定義及引理。

定義1［30］對于向量x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn和r=[r1，r2，…，rn]T∈Rn(ri＞0，i=1，2，…，n)定義其中ε＞0。

定義2［30］對于函數g(x)： Rn→R，如果對于任意x，r∈Rn和ε＞0恒成立，那么則稱g(x)是r齊次的，并且齊次度為k。

定義3［30］如果函數f(x)=［f1（x），f2（x），…，的每一個分量fi(x)（i=1，2，…，n）都是r齊次的，且齊次度為k+ri，即對于任意ε＞0和恒成立，那么稱f(x)為r齊次的，并且齊次度為k。

定義4［16］對于連續函數g(x)： Rn→R 和連續不為0的函數gp(x)，如果下述條件對于緊集C?Rn{0}恒成立，那么函數g(x)關于(rp，kp，gp)是p極限齊次的，其中p=0或者p=∞，rp=[rp1，rp2，…，rpn]∈R+n是權重向量，kp為齊次度，gp(x)為近似函數。

定義5［16］對于連續函數f(x)： Rn→Rn，如果對于kp+rpi＞0，fi(x)關于(rp，kp+rpi，fpi)都是p極限齊次的，則稱函數f(x)關于(rp，kp+rpi，fpi)是p極限齊次的， 其中p=0或者p=∞，rp=[rp1，rp2，…，rpn]∈R+n是權重向量，kp為齊次度，fp(x)為近似函數。

定義6［16］若一個函數既是0極限齊次又是∞極限齊次的，則稱該函數是雙極限齊次的。

考慮如下系統：

式中：x(t)∈Rn為系統狀態；f(x)：Rn→Rn為連續函數，并且f(0)=0。將系統的初始狀態記為x(t0)，其中t0為系統初始時刻。

引理2［16］對于系統式（13），假設函數f(x) 關于(r0，k0，f0)和 (r∞，k∞，f∞)是雙極限齊次的。如果系統x?=f(x)和其近似系統?=f0(x)與?=f∞(x)是全局漸進穩定的，并且k∞＞0＞k0，那么系統式（13）的平衡點是固定時間穩定的。

引理3［31］定義映射p：(0，∞)×Sn→Rn/{0}為那么p的逆映射q：Rn/{0}→(0，∞)×Sn定義為q(y)=p-1=(qε(y)，qx(y))，可得qε和qx在Rn/{0}上為無窮階可微函數，并且lim||y||→0qε=0， lim||y||→0qx=∞。

1.4 其他相關引理

引理4［13］設矩陣M∈Rm×m，矩陣N∈Rn×n，那么有：

1）如果矩陣M和矩陣N是對稱矩陣，那么矩陣M?N也為對稱矩陣，?代表克羅內克積（Kronecker Product）。

2）設λ1，λ2，…，λm為矩陣M的特征值，μ1，μ2，…，μm為矩陣N的特征值。那么矩陣M?N的特征值為λiμj()i=1，2，…，m；k=1，2，…，n。

3）設m=n，并且矩陣M和矩陣N的特征值分別非負數和正數，那么矩陣M+N的特征值為正數。

引理5［18］對于xi＞0 ()i=1，2，…，n，有

引理6［32］對于x，y∈R，如果0＜r≤1，則

引理7［33］對于x，y∈R，如果r1＞0，r2＞0，p＞0，則

引理8［34］對于xi≥0 ()i=1，2，…，n，0＜α＜1＜β，α0∈(μ(1+β0)-β0，1)，β0∈(1，β]，其中μ=(α+β)/(1+β)，有下列不等式成立：

式中：r1=(α0+β0)(1+β0)≤1；r2=2β0(1+β0)≥1。

引理9［33］如果系統式（13）存在連續正定的Lyapunov函數V(x(t))滿足下述條件：

1）V(x)=0?x=0。

2） dV(x)dt≤-αVp-βVq，其中p＜1，q＞1，α、β、p和q為正常數。

那么系統式（13）的平衡點是固定時間穩定的，其收斂時間上界為

2 主要內容

首先，介紹一些本文將用到的一些合理假設：

假設1航天器的外界干擾力矩di和轉動慣量的逆Ji都是有界的，即‖‖J-1idi≤cd，式中：cd＞0為常數。

假設2主航天器姿態一階導數q0和二階導數是有界的，即其中cq為正常數。

假設3跟隨航天器和主航天器組成的航天器編隊的通信拓撲結構含有一個有向生成樹，并且有向生成樹的根節點為主航天器。

本文的航天器姿態協同控制問題描述如下：

問題1 對于多航天器姿態系統式（5）和式（10），在假設1～假設3基礎上，設計一個考慮執行機構輸出力矩受限和無航天器角速度測量情況的姿態協同控制策略，使得所有航天器的姿態和姿態角速度可以在固定時間T內跟蹤上主航天器的姿態和姿態角速度，即limt→Tqei(t)=0，為控制參數相關的系統收斂時間。

為了解決問題1，本文提出了一種考慮輸入飽和的分布式固定時間輸出反饋姿態協同控制策略。首先，本文設計了一個分布式固定時間主航天器狀態觀測器來觀測主航天器狀態信息。接著，設計了一個固定時間航天器角速度觀測器來估計航天器的角速度。然后，設計了一個固定時間滑模面。最后，基于觀測器的估計值和固定時間滑模面，設計了一個固定時間輸出反饋姿態追蹤控制器。

2.1 固定時間主航天器狀態觀測器設計

在本節的控制策略中，需要用到主航天器的狀態信息q0和但是，編隊中只有一部分航天器可以直接獲得主航天器的狀態信息。為了解決這個問題，本節設計了一個分布式固定時間主航天器狀態觀測器來估計主航天器的狀態信息q0和

關于固定時間主航天器狀態觀測器式（20）和式（21），可以得到以下定理。

定理1對于固定時間主航天器狀態觀測器式（20）和式（21），如果假設2和假設3成立，并且λ1＞cq，λ2＞cq，那么估計值p1i和可以在固定時間Tob內分別收斂到q0和，Tob為

式中：μ1、μ2、r1和r2為正常數，并且其具體的定義會在后面證明中給出。

證明首先證明估計值p1i可以在固定時間Tob內收斂到q0。

定義如下的Lyapunov函數

式中：χ1i=[χ1i，1，χ1i，2，χ1i，3]T；wi＞0為正定的對角矩陣W的對角元素；W的詳細定義請參考引理1。

Lyapunov函數Vq的時間導數為

式中：sig2(χ)=sign(χ)|χ|2。

定義

將式（25）代入式（24）可得

定義

當χ1i，k＜0時，可得ni，k-≥0和ni，knj，k≥0，因此Φi，k≤0。當χ1i，k＞0時，可得ni，k-≤0和ni，k-nj，k≤0，因此Φi，k≤0。當χ1i，k=0時，可得Φi，k=0。綜上可得，Φi，k≤0恒成立。

那么，式（26）變為

式中：

估計值p2i在固定時間Tob內收斂到的證明過程與p1i可以在固定時間Tob內收斂到q0的證明類似，按照第一部分類似的證明過程，可得估計值p2i在固定時間Tob內收斂到因此，估計值p1i和p2i可以在固定時間Tob內分別收斂到q0和

2.2 固定時間航天器角速度觀測器設計

當航天器角速度測量模塊出現故障時，航天器無法測量自身的角速度，因此，本文設計了一個航天器角速度觀測器來觀測航天器姿態的一階導數

定義qi和的估計值分別為z1i和z2i。估計誤差定義為基于文獻［27］，固定時間航天器角速度觀測器設計為

估計誤差和的導數為

式中：

定義

注意到矩陣M1為Hurwitz矩陣。因此，存在一個對稱正定矩陣N1滿足M1TN1+N1M1=-I6。構建一個如下的徑向無界的函數

根據文獻［27，31］，可以得到以下性質：

性質1定義如下函數

式中：?(·)∈C∞(R，R)定義為

2） 存在常數c1和c2使得對于任意

性質2定義如下函數

2） 存在常數c4和c5使得對于任意

性質3存在常數ε∈(0，1)，使得對于任意相對于擴展向量是常數σ2∈(1-ε，1)和任意向量恒成立。

性質4存在常數ε∈(0，1)，使得對于任意常數σ2∈(1-ε，1)和任意向量恒成立。

性質5相對于擴展向量是齊次的，且齊次度為2，并且其中κ2為正常數。

性質6相對于擴展向量是齊次的，且齊次度為2，并且，其中κ4為正常數。

關于觀測器式（30），可以得到定理2。

定理2對于多航天器姿態控制系統式（5）與固定時間航天器角速度觀測器式（30），如果假設1成立，并且初始狀態zi(0)=位于下列集合內

式中：Δ為足夠大的正常數，那么觀測誤差?可以在固定時間內收斂到區域≤Δz?i內，Δz?i的詳細定義請見式（51）。

證明證明分為2種情況：案例 1（V?≥1）和案例2（V?＜1）。

案例1構建Lyapunov函數=。由性質2，可得當V?≥1時，≥1恒成立。的時間導數為

根據性質4可得，存在常數ε1∈(0，1)，使得對于任意常數σ2∈(1-ε1，1)和任意向量恒成立。由性質2和性質6可得，存在常數ε2∈(0，ε1)，使得對于任意常數σ1∈(1-ε2，1)和任意向量成立。那么，式（40）變為

由性質2可得，存在常數c6使得不等式恒成立。構建如下集合

當狀態zi和yi均位于集合F1內時，存在常數c7使得不等式恒成立。此外，根據假設1可得，存在常數cd使得不等式成立。那么，式（41）變為

式中：參數μ0滿足參數μ5滿足那么，式（43）可以寫為

因此，在緊集F1內，可以在時間Tso1=內收斂到區域≤1內。

由上述分析可知，緊集F1是前不變集合［35］。這意味著當 (zi(0)，yi(0))∈F1時，(zi，yi)∈F1恒成立。

案例2當V?＜1，可知Vη＜1。構建Lyapunov函數由性質1可得，當Vη＜1時，的時間導數為恒

根據性質3可得，存在常數ε3∈(0，1)，使得對于任意常數σ2∈(1-ε3，1)和任意向量恒成立。 由性質1和性質5可得，存在常數ε4∈(0，ε3)，使得對于任意常數σ1∈(1-ε4，1)和任意向量成立。

接著，按照案例1的證明過程，可得

V1的導數為

式中：參數μ0滿足

這意味著V1(?)可以在時間Tso2=內收斂到下列區域內：

那么，ηi可以在固定時間內收斂到下列區域內：

觀測誤差?可以在固定時間內收斂到下列區域內：

綜上分析可得，觀測誤差?可以在固定時間Tso=Tso1+Tso2內收斂到下列區域‖≤Δz?i內。

2.3 固定時間姿態追蹤控制器設計

在本文中，使用主航天器狀態估計值p1i和p2i來替代主航天器狀態實際值q0和使用航天器姿態一階導數估計值z2i來替代航天器姿態一階導數實際值

定義如式（52）～式（53）所示新的姿態追蹤誤差：

那么，由和表示的動力學方程為

分布式姿態協同追蹤控制率設計為

式中：k1和k2為正常數。

式中：

定義

注意到矩陣M2為Hurwitz矩陣。因此，存在一個對稱正定矩陣N2滿足MT2N2+N2M2=-I6。構建一個如下的徑向無界的函數

構建如下Lyapunov函數

可以證得，存在正常數δ1、δ2、δ3和δ4使得恒成立。

關于固定時間姿態協同控制器式（55），可以得到以下定理。

定理3對于有向通信拓撲結構下的執行機構輸出力矩受限的多航天器姿態控制系統式（5），如果假設1～假設3成立，固定時間主航天器狀態觀測器設計為式（20）和式（21），固定時間航天器航天器角速度觀測器設計為式（30），固定時間姿態協同控制器設計為式（55），航天器初始狀態位于下列集合內：

式中：Δ1為足夠大的正常數，那么姿態追蹤誤差qei和可以在固定時間內收斂到區域‖qei‖≤Δq?i和≤Δq?i+Δz?i內。

證明與定理2的證明類似，該定理的證明分為2種情況：案例1 (V??i＞1)和案例2 (V??i≤1)。

案例1構建Lyapunov函數因此當V??i＞1時，＞1恒成立。

構建如下集合

在集合F3內，Δui=Γ(ui)-ui是有界的。接著與定理2的證明類似，可得緊集F3是一個前不變集合［35］。當 (qi(0)，zi(0)，yi(0))∈F3時，可以在固定時間內收斂到區域V4()≤1內。

案例2構建Lyapunov函數=可得，當的時間導數為

與定理2的證明類似，可得存在正常數ζ4和ζ5使得式（65）成立：

式中：δ5為正常數。這意味著V3可以在固定時間內收斂到下列區域內：

那么，可以在固定時間內收斂到下列區域內：

追蹤誤差和可以在固定時間內收斂到下列區域內：

由定理1和定理2可知，估計值p1i和可以在固定時間Tob內分別收斂到q0和?，觀測誤差?可以在固定時間內收斂到區域內。因此，姿態追蹤誤差qei和可以在固定時間內收斂到下列區域內：

3 仿真結果

為了驗證所提出的固定時間姿態協同控制策略的有效性，本文對所提出的控制策略進行了仿真并對仿真結果進行了分析。首先對固定時間主航天器狀態觀測器式（20）和式（21）進行一些數學仿真，驗證了主航天器狀態觀測器的性能。然后，對所提出的固定時間航天器角速度觀測器式（30）進行了仿真，驗證了該觀測器的有效性。然后，基于固定時間主航天器狀態觀測器和固定時間航天器角速度觀測器的觀測結果，對所提出的固定時間姿態協同控制器式（55）進行了仿真，驗證了該控制器的有效性。

仿真考慮了由6個航天器和一個虛擬領導航天器組成的編隊，航天器間的通信拓撲如圖1所示，其中SC-i代表航天器i。在本節仿真中，跟隨航天器的初始姿態和初始角速度、主航天器的姿態軌跡、航天器間的鄰接權值矩陣、航天器的轉動慣量和外界干擾力力矩設置如表1所示。固定時間主航天器狀態觀測器式（20）和式（21）的初值和參數設置如表2所示。固定時間航天器角速度觀測器式（30）的初值和參數設置如表3所示。

表1 航天器仿真參數Table 1 Numerical simulation parameters of spacecraft

表2 主航天器狀態觀測器仿真參數Table 2 Numerical simulation parameters of the leader spacecraft’s attitude observer

表3 航天器角速度觀測器仿真參數Table 3 Numerical simulation parameters of spacecraft state observer

圖1 航天器間通信拓撲結構Fig.1 Inter-spacecraft communication topology

固定時間主航天器狀態觀測器式（20）和式式（21）的觀測誤差p?1i=p1i-q0和p?2i=p2i-q?0的響應曲線分別如圖2和圖3所示。由圖2可以看出，觀測誤差p?1i可以在2 s內收斂到原點附近。在穩定狀態時，觀測誤差p?1i小于4×10-4。由圖3可以看出，觀測誤差p?2i可以在1.5 s內收斂到原點附近。在穩定狀態時，觀測誤差p?2i小于2×10-6。仿真結果表明固定時間主航天器狀態觀測器式（20）和式（21）具有很快的收斂速度和很高觀測精度。

圖3 觀測器式（21）的誤差p2i-q0Fig.3 Errors p2i-q0 by observer in Eq.（21）

圖4為固定時間航天器角速度觀測器式（30）的觀測誤差z?2i。由圖4可以看出，觀測誤差z?2i可以在3 s內到達穩定狀態。在穩定狀態時，觀測誤差小于0.001。該仿真結果證明了所提出的固定時間航天器角速度觀測器式（30）的有效性。

圖4 固定時間航天器角速度觀測器式（30）的誤差Fig.4 Errors in fixed-time spacecraft angular velocity observer in Eq.（30）

在仿真中，固定時間姿態協同控制器式（55）的控制參數設置為k1=0.08，k2=0.4。圖5為航天器指令力矩ui的曲線，圖6為航天器姿態執行機構實際輸出Γ(ui)的曲線。從圖5和圖6可以看到，盡管航天器指令力矩ui的大小遠遠超過3 N·m，但是航天器姿態執行機構實際輸出Γ(ui)一直保持在3 N·m內，并且當航天器姿態達到穩定狀態時，航天器姿態執行機構實際輸出Γ(ui)也會相應的變得很小。圖7和圖8分別航天器姿態追蹤誤差和角速度追蹤誤差響應曲線。由圖7和圖8可以看出，航天器姿態追蹤誤差和角速度追蹤誤差可以在30 s內到達穩定狀態。在控制器式（55）的作用下，航天器姿態追蹤誤差和角速度追蹤誤差的穩態誤差分別為0.1°和0.003 （°）·s-1。仿真結果表明在輸入飽和與無角速度測量的約束下，固定時間輸出反饋姿態協同控制器式（55）仍可以實現很快的收斂速度和很高控制精度。

圖5 航天器姿態控制指令力矩uiFig.5 Attitude command control torques ui of spacecraft

圖6 航天器姿態執行機構輸出力矩Γ(ui)Fig.6 Attitude actuator output torques Γ(ui) of spacecraft

圖7 航天器姿態追蹤誤差Fig.7 Attitude tracking errors of spacecraft

圖8 航天器角速度追蹤誤差Fig.8 Angular velocity tracking errors of spacecraft

此外，本文還將所提出的固定時間控制策略與文獻［36］中的有限時間航天器姿態協同控制方法做了對比。為了方便比較，首先定義以下變量來描述系統的控制性能。

式中：Φ(q)表示MRPs對應的歐拉角。

由圖9可以看出，與文獻［36］中的控制方法相比，盡管本文所提方法在控制初期所需的控制力矩更多一些，但是姿態追蹤誤差SKM和相對姿態誤差FKM收斂速度更快。

圖9 對比結果Fig.9 Comparison results

4 結論

本文研究了存在航天器執行機構輸出力矩飽和與無角速度測量情況下分布式多航天器固定時間姿態協同控制問題。本文首先設計了一個分布式固定時間主航天器狀態觀測器來估計主航天器狀態信息。接著，設計了一個固定時間航天器角速度觀測器。該觀測器可以在固定時間內觀測出航天器角速度信息。然后，基于主航天器的姿態信息的觀測值和航天器角速度觀測器的觀測值，設計了一個固定時間航天器姿態追蹤控制器，并且證明了整個航天器姿態系統在該控制器作用下是固定時間穩定的。本文還進行數學仿真來驗證所提控制策略的性能。仿真結果表明，當航天器執行機構輸出力矩存在飽和問題時，本章所提的控制策略可以保證所有航天器的姿態追蹤誤差可以在固定時間內收斂到一個與輸出力矩上界有關的界內。