簡諧振動的仿真與分析

高彩云

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

物體在平衡位置附近往返運(yùn)動叫振動（或機(jī)械振動），物體在線性恢復(fù)力作用下圍繞平衡位置的振動叫簡諧振動（Simple harmonic vibration，又稱簡諧運(yùn)動），它是一種由自身系統(tǒng)性質(zhì)決定的周期性運(yùn)動[1]。簡諧振動最基本的機(jī)械振動。簡諧振動的運(yùn)動方程、特征量、相位與初相位、速度與加速度、能量及簡諧振動的合成與分解是機(jī)械振動中的主要內(nèi)容，也是大學(xué)物理課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。近年來，隨著計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的發(fā)展，人們開始用數(shù)值計(jì)算軟件來仿真模擬，常用的是Matlab軟件和Origin，現(xiàn)有研究主要集中在波動光學(xué)實(shí)驗(yàn)的仿真，如牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)仿真、光柵衍射實(shí)驗(yàn)仿真、劈尖干涉驗(yàn)仿真、等傾干涉圖樣[2-7]；也有少數(shù)關(guān)于靜電場和簡諧振動的仿真研究，如錢宏明等進(jìn)行了一維電荷分布系統(tǒng)的靜電場模擬[8]；關(guān)于簡諧振動的仿真研究，文獻(xiàn)主要采用Matlab 軟件仿真了簡諧振動位移、速度等曲線合振動過程中的動能、勢能以及機(jī)械能等[9-10]。使用Matlab 執(zhí)行的時候是一邊轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制可執(zhí)行代碼一邊運(yùn)行，速度比較差，遇到字節(jié)比較多或者復(fù)雜以及精度高程序的就容易卡慢，而作為同樣功能強(qiáng)大的數(shù)據(jù)分析和圖形可視化軟件，Origin 是集繪制圖和數(shù)據(jù)分析為一體的理想工具，同時還具有簡單易學(xué)、操作靈活、強(qiáng)大的數(shù)學(xué)運(yùn)算功能等特點(diǎn)。

采用Origin 2022 軟件對簡諧振動的運(yùn)動方程、位移、速度、加速度、能量轉(zhuǎn)化和振動合成等問題進(jìn)行仿真分析，以此來輔助簡諧振動教學(xué)環(huán)節(jié)。

1 簡諧振動的運(yùn)動方程

以彈簧振子為例，設(shè)滑塊的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，將振子視作質(zhì)點(diǎn)，忽略摩擦。質(zhì)點(diǎn)受力大小與位移成正比，而方向相反。根據(jù)牛頓第二定律得動力學(xué)方程為：

式中：ω2=，其值決定于彈簧的勁度系數(shù)和滑塊的質(zhì)量。式（1）根據(jù)常微分理論可解得：

式中：A和φ是待定常數(shù)，需要根據(jù)初始條件來決定。式（2）也可轉(zhuǎn)換成正弦函數(shù)來表示，可見，簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動，其位移是時間t的正弦或余弦函數(shù)。

1.1 運(yùn)動方程仿真

采用Orign軟件將簡諧振動的運(yùn)動方程進(jìn)行仿真，具體操作過程如下：首先打開軟件新建新的空白圖形窗口，設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（0，16），縱坐標(biāo)范圍（-2，2），修改橫、縱坐標(biāo)軸標(biāo)題、刻度及水平軸的位置（-50%）；然后新建2D函數(shù)圖，自變量在（0，16）中取1 000個點(diǎn)，分別輸入函數(shù)Y(x)=cos(pi/4*x)、Y(x)=2*cos(pi/4*x)、Y(x)=cos(pi/8*x)、Y(x)=cos(pi/4*x+pi/2)，各運(yùn)動方程的特證量如表1，位移-時間曲線如圖1。

圖1 不同特征量簡諧振動的位移-時間曲線

表1 不同簡諧振動運(yùn)動方程特征量

1.2 結(jié)果分析

由圖1 可見，簡諧振動的位移-時間曲線呈現(xiàn)余弦（或正弦）規(guī)律，具有周期性。曲線的形狀和在坐標(biāo)軸的位置由特征量決定，其中振幅大小決定曲線的“高低”，x2的振幅為2 m，值最大，曲線最高；圓頻率的大小影響曲線的“疏密”，x3的圓頻率為π/8，值最小，曲線最“稀疏”；初相位則決定曲線在橫軸上的位置，x1、x2、x3的初相位均為0，曲線在橫軸上的位置相同，t=0 時質(zhì)點(diǎn)處于最大位移處，x4的初相位均為π 2，t=0時質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置處。

2 簡諧振動的位移、速度與加速度

根據(jù)簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程

對t求導(dǎo)數(shù)，得簡諧振動的速度為：

也可表示成

再對t求導(dǎo)數(shù)，得簡諧振動的加速度為：

也可表示成

由式（3）、（4）可知，簡諧振動的速度和加速度同樣是時間t的正弦或余弦函數(shù)，與運(yùn)動方程具有相同的周期，但最大值不同。

2.1 Origin仿真

采用Orign軟件將簡諧振動的速度和加速度進(jìn)行仿真，具體操作過程如下：首先打開軟件新建新的空白圖形窗口，設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（0，2π），縱坐標(biāo)范圍（-4，4），修改橫、縱坐標(biāo)軸標(biāo)題、刻度及水平軸的位置（-50%）；然后新建2D函數(shù)圖，自變量在（0，2π）中取1000個點(diǎn)，分別輸入函數(shù)Y(x)=cos(2*x)、Y(x)=-2*sin(2*x)、Y(x)=-4*cos(2*x)，位移、速度和加速度的特征量如表2，位移、速度和加速度隨時間變化曲線如圖2。

圖2 位移、速度和加速度隨時間變化曲線

表2 位移、速度和加速度特征量

2.2 結(jié)果分析

由圖2 可見，簡諧振動的位移、速度和加速度都隨時間呈現(xiàn)正弦或余弦規(guī)律變化，周期均為π，加速度的峰幅值大，變化最快。當(dāng)位移達(dá)到正最大值時，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到最大位移處，速度為0，加速度為負(fù)最大值，將返回到平衡位置；當(dāng)位移為零時，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到平衡位置處，速度達(dá)到負(fù)最大值，加速度為零；當(dāng)位移達(dá)到負(fù)最大值時，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到負(fù)最大位移處，速度為0，加速度為正最大值，將返回到平衡位置。

3 簡諧振動的相軌跡

用質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)和速度建立坐標(biāo)系，得到的相平面也可以描述簡諧振動的狀態(tài)。相平面上的任意一點(diǎn)代表該時刻的運(yùn)動狀態(tài)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)在相平面上移動而畫出的曲線即相軌跡。消去式（2）、（3）中的t，得：

將初始條件t=0,x=x0,νx=ν0x代入式（2）、（3），得：

可見，簡諧振動的相軌跡是橢圓，其形狀和大小取決于初始條件。

3.1 相軌跡仿真

采用Orign 軟件將簡諧振動的先軌跡進(jìn)行仿真，具體操作過程如下：首先打開軟件新建新的空白圖形窗口，設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（-6，6），縱坐標(biāo)范圍（-6，6），修改橫、縱坐標(biāo)軸標(biāo)題、刻度及水平軸和垂直軸的位置（-50%）；然后新建2D 參數(shù)函數(shù)圖，自變量在（0，2π）中取1 000 個點(diǎn)，分別輸入函數(shù)X（t）=cos（t），Y（t）=sin（t）；X（t）=2*cos（t），Y（t）=2*sin（t）；X（t）=5*cos（t），Y（t）=3*sin（t）。不同相軌跡曲線的特證量如表3，相軌跡曲線如圖3。

圖3 不同簡諧振動的相軌跡

表3 相軌跡特征量

3.2 結(jié)果分析

由圖3 可見，簡諧振動的相軌跡是橢圓或圓，其形狀和大小由簡諧振動的初始條件決定。當(dāng)圓頻率等于1 時，相軌跡為圓，如相軌跡1 和相軌跡2,；當(dāng)圓頻率不等于1 時，相軌跡為橢圓，如相軌跡3；橢圓的長半軸長度由振幅決定，即由振動的初始條件決定。

4 簡諧振動的能量

以彈簧振子為例，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動能公式Ek=將式（3）代入，得它在振動的過程中的動能為：

將運(yùn)動方程代入勢能EP=，得：

故系統(tǒng)總的機(jī)械能為：

4.1 能量轉(zhuǎn)化仿真

設(shè)彈簧勁度系數(shù)為1 N·m-1，初相位為零，振幅為2 m。采用Orign 軟件將簡諧振動的動能、勢能和機(jī)械能進(jìn)行仿真，具體操作過程如下：首先打開軟件新建新的空白圖形窗口，設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（-2π，2π），縱坐標(biāo)范圍（0，2），修改橫、縱坐標(biāo)軸標(biāo)題、刻度及垂直軸的位置（-50%）；然后新建2D 函數(shù)圖，自變量在（0，2π）中取1 000 個點(diǎn)，分別輸入函數(shù)Y（x）=2*sin（x）*sin（x）、Y（x）=2*cos（x）*cos（x）、Y（x）=2。簡諧振動的動能、勢能及機(jī)械能隨時間變化的曲線如圖4。

圖4 簡諧振動的能量隨時間變化及互相轉(zhuǎn)化

4.2 結(jié)果分析

由圖4可見，簡諧振動的動能和勢能均按正弦或余弦函數(shù)的平方隨時間變化。動能最大時，勢能最小，動能最小是，勢能最大，簡諧振動的過程就是動能與勢能相互轉(zhuǎn)化的過程，總的能量不變，且大小取決于系統(tǒng)的勁度系數(shù)與振幅。

5 簡諧振動的合成

若質(zhì)點(diǎn)同時參與幾個簡諧振動，則其振動應(yīng)為幾個振動的合成，下面以兩個振動合成為例，按照分振動的方向和頻率的關(guān)系進(jìn)行討論分析。

5.1 Origin仿真

5.1.1 同方向同頻率簡諧振動的合成

采用Orign 軟件將分振動和合振動進(jìn)行仿真，具體操作過程如下：首先打開軟件新建新的空白圖形窗口，設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（0，8π），縱坐標(biāo)范圍（-3，3），修改橫、縱坐標(biāo)軸標(biāo)題、刻度及軸的位置；然后分別新建2D 函數(shù)圖，自變量在（0，8π）中取1 000 個點(diǎn)，輸入函數(shù)Y（x）=cos（x）、Y（x）=2*cos（x）、Y（x）=3*cos（x）。振動曲線如圖5。

圖5 同方向同頻率簡諧振動的合成

5.1.2 同方向不同頻率簡諧振動的合成

采用Orign 軟件將分振動和合振動進(jìn)行仿真，具體操作過程如下：首先打開軟件新建新的空白圖形窗口，設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（0，8π），縱坐標(biāo)范圍（-1.5，2.5），修改橫、縱坐標(biāo)軸標(biāo)題、刻度及軸的位置；然后分別新建2D 函數(shù)圖，自變量在（0，8π）中取1000 個點(diǎn)，輸入函數(shù)Y（x）=cos（x）、Y（x）=cos（2*x）、Y（x）=cos（x）+cos（2*x），仿真曲線如圖6；輸入函Y（x）=cos（0.50*x）、Y（x）=cos（0.52*x）、Y（x）=cos（0.50*x）+cos（0.52*x），仿真曲線如圖7。

圖6 同方向不同頻率簡諧振動的合成

圖7 拍現(xiàn)象

5.1.3 互相垂直同頻率簡諧振動的合成

首先Orign 軟件打開軟件新建新的空白圖形窗口，修改橫、縱坐標(biāo)軸標(biāo)題、刻度及軸的位置，然后分別新建2D參數(shù)函數(shù)圖，最后將所有曲線合并成3行5列的圖形，并將所有的坐標(biāo)軸隱藏，輸出曲線如圖8。具體操作如下：

圖8 互相垂直簡諧振動的合成

設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（-1，1），縱坐標(biāo)范圍（-2，2），自變量（0，2π）取100個點(diǎn)，輸入函數(shù)[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+pi/2）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+3*pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+pi）]，振動曲線如圖8（a）。

設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（-2，2），縱坐標(biāo)范圍（-1，1），自變量（0，2π）取100 個點(diǎn)，輸入函數(shù)[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+pi/4）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+pi/2）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+3*pi/4）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+pi）]，振動曲線如圖8（b）。

設(shè)置橫坐標(biāo)范圍（-1，1），縱坐標(biāo)范圍（-3，3），自變量（0，2π）取100個點(diǎn)，輸入函數(shù)[X（t）=cos（t）,Y（t）=3*cos（t）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+pi/2）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+3*pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+pi）]，振動曲線如圖8（c）。

5.2 結(jié)果分析

由圖5可見，同方向同頻率簡諧振動的合振動仍為簡諧振動，其頻率和分振動的頻率相同，合振動的振幅和初相位由分振動的振幅和初相位決定。

由圖6可見，同方向不同頻率的振動的合振動不是簡諧振動，但有周期性。分振動的周期分別是2π和π，合振動的周期為2π，是分振動周期的最小公倍數(shù)。特殊情況下，如果兩個分振動的頻率之和遠(yuǎn)小于其頻率之差，那么合振動可以看作“準(zhǔn)簡諧振動”，即振幅有周期性變化的“簡諧振動”，如圖7，分振動的圓頻率分別為0.50 rad·s-1和0.52 rad·s-1，頻率之和遠(yuǎn)大于頻率之差，合振動的振幅在（0，2）之間緩慢變化，這種現(xiàn)象叫“拍”。

由圖8可見，兩互相垂直簡諧振動的合振動的軌跡的形狀由分振動的振幅、頻率和初相差決定。當(dāng)分振動的頻率相同時，合振動的軌跡為橢圓，相位相同或相反時，橢圓化為直線；當(dāng)分振動的頻率為整數(shù)比時，合成振動的軌跡可以稱為穩(wěn)定的曲線，曲線的花樣和分振動的頻率比和初相位有關(guān)，即得到李薩如圖形。

6 結(jié)語

簡諧振動是最基本的機(jī)械振動，物體在線性恢復(fù)力的作用下按照正弦或余弦規(guī)律作周期性運(yùn)動。采用Origin 軟件仿真可以簡便直觀地探討簡諧振動的特征，具體如下：

（1）簡諧振動的位移、速度和加速度隨時間變化的曲線呈現(xiàn)余弦（或正弦）規(guī)律，具有周期性。曲線的形狀和在坐標(biāo)軸的位置簡諧振動的圓頻率和初始條件決定。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)也可以用相軌跡來描述，簡諧振動的相軌跡是橢圓或圓，其形狀和大小由簡諧振動的圓頻率和初始條件決定。

（2）由于簡諧振動的質(zhì)點(diǎn)只受線性恢復(fù)力的作用，運(yùn)動過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。動能和勢能均按正弦或余弦函數(shù)的平方隨時間變化。動能最大時，勢能最小，動能最小是，勢能最大，簡諧振動的過程就是動能與勢能相互轉(zhuǎn)化的過程，總的能量不變，且大小取決于系統(tǒng)的勁度系數(shù)與振幅。

（3）質(zhì)點(diǎn)同時參與幾個簡諧振動，則其振動應(yīng)為幾個振動的合成。若分振動同方向同頻率，則合振動仍為同方向同頻率的簡諧振動，其振幅和初相位由分振動的振幅和初相位決定；若分振動同方向不同頻率，則的合振動不是簡諧振動，但有周期性。特殊情況下，當(dāng)分振動的頻率之和遠(yuǎn)小于其頻率之差，出現(xiàn)“拍”現(xiàn)象；若分振動互相垂直，則合振動的軌跡的形狀由分振動的振幅、頻率和初相差決定。當(dāng)分振動的頻率相同時，合振動的軌跡為橢圓，當(dāng)分振動的頻率為整數(shù)比時，會得到穩(wěn)定的曲線。