結構恢復力非參數化模型識別的改進容積卡爾曼濾波方法

杜義邦 許斌 趙冶 鄧百川

摘要 對地震等強動力荷載作用過程中結構損傷的發生發展過程進行識別，必須考慮結構行為的非線性。本文運用相對位移和相對速度的冪級數多項式表征結構恢復力模型，提出一種基于改進的容積卡爾曼濾波算法（Updated Cubature Kalman Filter， UCKF）和結構部分自由度上加速度響應時程的結構參數、未知響應及恢復力非參數化模型識別方法。以一個含磁流變阻尼器的多自由度數值模型為例，考慮20%的加速度響應測量噪聲影響，識別出模型的結構參數、未知響應及阻尼力。并將本文方法所得結果分別與基于擴展卡爾曼濾波算法、傳統容積卡爾曼濾波算法及含記憶衰退的擴展卡爾曼濾波算法所得結果進行比較。對一個帶磁流變阻尼器的四層剪切型框架模型進行激振試驗，基于部分自由度上的加速度響應時程實測值，識別出結構參數、未知動力響應以及阻尼器阻尼力的非參數化模型，通過與實測結果的比較，驗證了本文方法的可行性。

關鍵詞 非線性恢復力; 改進的容積卡爾曼濾波; 非參數化識別; 冪級數多項式; 磁流變阻尼器

引 言

土木工程結構在服役過程中，除了因材料劣化等因素會出現結構損傷和性能退化外，也往往會因地震等強動力荷載的作用出現不同程度損傷甚至破壞。對強動力荷載作用過程中結構損傷的發生發展過程進行識別，并據此對結構剩余承載力和剩余壽命進行預測是亟待解決的課題。嚴格來講，基于結構特征值和特征向量抽取的結構識別方法僅適用于線性系統，可近似應用于材料劣化等引起的結構剛度緩慢變化情況下的識別問題。但結構在地震等強動力荷載作用過程中損傷的發生發展過程是一個典型的非線性過程，不同結構構件在不同時刻進入非線性階段，構件和結構層次的剛度并非保持不變，運用特征值或特征向量來識別剛度，并用其描述不斷發展的損傷存在不合理性。不同于剛度，結構或構件在振動過程中的恢復力是其非線性行為的最直接描述，結合結構動力響應識別結果，不僅可以評價不同構件在不同時刻和不同變形情況下的損傷狀態，還可以定量計算振動過程中的耗能［1?2］。此外，由于實際土木工程結構材料和類型的多樣性，結構恢復力往往難以通過某一事先假定的統一參數化數學模型來準確描述。因此，針對強動力荷載作用后或災后結構損傷的識別問題，通過建立恢復力的非參數化模型并識別結構恢復力具有重要意義。

相較于線性結構，由于結構材料和類型的多樣性，非線性結構的識別問題難度更大，因而得到國內外學者的重視。針對非線性結構的識別問題，Masri等［3］提出了恢復力曲面法并將其推廣應用到了多自由度非線性動力系統。隨后，Smyth等［4］提出了一種基于最小二乘的結構參數的在線自適應識別方法，并估計了結構非線性恢復力。Xu等［5?6］基于線性等效思想，運用最小二乘法識別了結構恢復力，并運用一個具有磁流變（Magneto Rheological， MR）阻尼器的多自由度剪切型框架模型的動力試驗實測數據驗證了該方法的可行性。考慮實際結構恢復力參數化模型難以預先確定的問題，許斌等［7?8］分別運用冪級數多項式和切比雪夫多項式作為結構非線性恢復力的非參數化模型，提出了恢復力的非參數化識別方法，并分別通過含有MR阻尼器和形狀記憶合金阻尼器（Shape Memory Alloy， SMA）的非線性多自由度系統的數值模擬和模型試驗實測數據，驗證了所提出方法的有效性。

基于狀態空間模型遞推的卡爾曼濾波類算法被廣泛用于解決實際工程結構中激勵與系統動力響應信息不完全已知情況下結構的識別問題。Jazwinski［9］利用擴展卡爾曼濾波方法（Extended Kalman Filter， EKF）對加速度測量進行濾波，并通過預測與估計識別得到了結構參數。Hoshiyam等［10］提出了加權全局迭代擴展卡爾曼濾波算法（Extended Kalman Filter?Weighted Global Iteration， EKF?WGI）。王祥建等［11］又引入記憶衰退技術提高了EKF算法的穩定性。Lei等［12?13］和Liu等［14］基于等效線性方法，實現了部分觀測下結構參數及非線性恢復力的識別。張肖雄等［15?16］則通過引入投影矩陣，推導了改進的觀測方程，實現了外激勵的實時識別。Xu等［17］基于勒讓德多項式和位移與加速度的數據融合方法，對結構恢復力和未知激勵進行識別。

EKF通過一階泰勒級數將非線性函數線性化，該方法存在精度不高、易于發散以及只適用于弱非線性系統的缺點。由于對概率分布進行近似要比對非線性函數進行近似容易得多，基于該思想，Julier等［18?19］提出了無跡變換（Unscented Transform， UT）與無跡卡爾曼濾波算法（Unscented Kalman Filter， UKF）。UKF對非線性函數的概率密度分布進行近似，用一系列確定樣本來逼近狀態的后驗概率密度。Wan等［20］驗證了UKF的有效性。Wu等［21?22］的研究結果表明，在噪聲更大的情況下對高維系統的參數進行估計時，UKF相較于EKF具有更高的識別精度。Xie等［23］運用迭代無跡卡爾曼濾波（Iterated Unscented Kalman Filter， IUKF） 對Bouc?Wen滯回系統進行識別，結果表明，相較于UKF，IUKF的識別精度更高和算法魯棒性更好。針對地震作用下結構剛度突變的識別問題，Bisht等［24］提出了一種具有跟蹤結構參數突變能力的自適應無跡卡爾曼濾波算法（Adaptive Unscented Kalman Filter， AUKF），數值模擬結果表明，該方法能對多個結構構件在不同時刻的參數突變進行有效識別。實際應用卡爾曼濾波時，模型誤差、噪聲誤差、計算誤差均可能會造成預測誤差協方差矩陣和增益矩陣隨迭代次數增加而減弱修正狀態估計的情況（即數據飽和或者觀測老化），并進而導致濾波發散。針對此問題，漸消記憶濾波的擴展卡爾曼濾波算法（Extended Kalman Filter?Memory Fading， EKF?MF）被提出，該算法通過增大新數據的作用而降低舊數據的負面影響［25?26］。為準確估計系統的噪聲統計特性，Sage等［27］提出了一種可實時估計系統及測量噪聲的自適應濾波算法，該方法在濾波的同時利用觀測量信息，對模型參數、噪聲特性進行實時調整，進一步提高了濾波精度。

為克服UFK在高維系統中出現濾波精度低和數值計算不穩定的問題，加拿大學者Arasaratnam等［28］于2009年首次提出了基于Cubature變換的容積卡爾曼濾波算法（Cubature Kalman Filter， CKF）。基于三階球面徑向容積準則（Cubature準則），使用2n個（n為擴展狀態向量的維數）權值相同的容積點（Cubature點），經非線性系統方程轉換后進行加權處理，來逼近具有附加高斯噪聲的非線性系統的狀態均值和協方差。常宇健等［29］對比了EKF，UKF和CKF的濾波性能，結果表明EKF的濾波性能最差，而UKF對于高維非線性系統不僅調解參數困難，且在濾波過程中可能會出現協方差非正定的情況，使濾波結果不穩定甚至發散，而CKF的濾波結果優于EKF與UKF。孫楓等［30］比較了CKF與UKF的濾波精度，并通過數值模擬驗證了對于高維（n>3）的非線性系統，CKF的精度、穩定性均高于UKF，建議選擇CKF作為濾波方法。CFK是理論上當前最接近貝葉斯濾波的近似算法，是解決非線性系統狀態估計的強有力工具。其中，將積分形式變換成球面徑向積分形式和三階球面徑向準則是最為重要的兩個步驟。CKF方法一經提出便在姿態估計、導航、連續系統和混合濾波等領域得到應用［30］。

本文將記憶衰退權重、奇異值分解及Sage?Husa自適應濾波算法引入CKF，提出一種運用改進的容積卡爾曼濾波算法（Updated Cubature Kalman Filter， UCKF）及部分加速度測量，適用于結構質量、剛度和阻尼參數均未知情況，不依賴于結構恢復力參數化模型的非線性結構識別方法。該方法基于UCKF，利用冪級數多項式表征結構非線性恢復力的非參數化模型，利用部分加速度測量響應，預測結構質量、剛度、阻尼系數，識別未知速度和位移響應以及冪級數多項式的系數，建立恢復力的非參數化模型，進而可以得到結構在振動過程中恢復力時程曲線及滯回曲線。為驗證所提出方法的可行性，首先建立了一個含MR阻尼器的四自由度的集中質量非線性數值模型，考慮20%的加速度測量噪聲的影響，通過本方法的識別結果與其理論值的比較，驗證本文所提出方法的有效性與精確性。其次，將基于本文UCKF方法的識別結果與基于EKF，CKF，EKF?MF方法的識別結果進行比較，驗證了本文方法的優點。最后，通過一個帶MR阻尼器的四自由度非線性鋼框架模型的動力試驗，利用部分自由度上的加速度響應觀測值，對模型的質量、剛度、阻尼系數、未測量動力響應時程及MR阻尼器阻尼力的非參數化模型進行識別，通過比較識別所得MR阻尼力與與試驗實測值，進一步驗證了本文方法的識別結果的準確性。

1 基于UCKF與冪級數多項式的恢復力非參數化模型識別方法

1.1 等效線性化

在外激勵作用下，一個含非線性元件的多自由度動力系統的運動平衡方程可寫為：

式中 M，K和C分別為結構質量、剛度和阻尼矩陣；x¨（t），x（t）和x˙（t）分別為加速度、位移和速度響應向量；fnon（t）為非線性元件的恢復力；f（t）為外激勵。

將式（1）進行等效線性化［31］，可得到如下方程：

式中 ME，CE和KE分別表示等效線性結構的質量、阻尼和剛度矩陣。

在結構非線性的發展過程中，可合理認為結構質量是不變的，故可將ME視為結構質量的識別值。一般而言，式（1）中結構非線性恢復力會體現在等效線性結構參數CE與KE的變化上。

1.2 恢復力非參數化模型的冪級數多項式表示

式（2）可進一步表達為：

式中 Rnon（t）為結構總非線性恢復力，可表示為：

對于鏈式結構，兩個自由度間的非線性恢復力可通過一組相對速度及相對位移的冪級數多項式來表達［31］，如下式所示：

式中 Rnoni，i?1（t）表示結構第i個與第i?1個自由度間總非線性恢復力；vi，i?1與si，i?1分別表示結構第i個與第i?1個自由度間的相對速度及相對位移；rnoni，i?1，k，j為冪級數多項式的系數。J取整數，K的取值與結構的非線性程度相關，本文中取K=3。

根據式（5），結構第i個自由度的運動平衡方程可離散為：

式中 mi為第i自由度的層間質量。

式（6）中結構質量、部分未知加速度響應、速度和位移響應以及恢復力非參數化模型中的參數有待識別。識別所得冪級數多項式即為結構非線性恢復力的非參數化模型。將識別所得速度和位移響應代入該模型即為恢復力的識別結果，可分別與數值模擬中的理論值和實驗驗證中的實測值進行比較。

需要指出的是，本文的數值模擬及試驗驗證均選擇在線彈性結構中引入MR阻尼器來模擬結構的非線性行為。此時，MR阻尼器的阻尼力Fnon（t），需要從所識別的Rnon（t）中減去線性結構本身所提供的線彈性恢復力與阻尼力，即

在本文的數值模擬和試驗驗證中，Fnon（t）將分別與數值模型中阻尼力的理論值及試驗中阻尼力的實測值進行比較，以驗證本文方法的準確性。

1.3 基于UCKF的非線性結構識別方法

非線性結構在動力作用下的系統狀態方程和觀測方程可表示為：

式中 k為時間步數；Xk為第k步的狀態值；f（?）表示系統的狀態轉移函數，服從一階馬爾可夫假設；wk?1表示協方差為Qk?1的系統過程噪聲；Zk為第k步的觀測值；h（?）表示系統的觀測函數，服從觀測獨立假設；vk表示協方差為Rk的系統觀測噪聲。

若k?1時刻的后驗概率p（Xk?1∣Z1：k?1）?N（Xk?1;X?k?1，Pk?1），其中，X?k?1為k?1時刻狀態估計值，Pk?1為k?1時刻誤差協方差矩陣，則UCKF的遞推算法如下：

（1）基本容積點及對應權值的計算

根據三階容積原則，有：

式中 j表示容積點序號，l表示容積點總數，取j=1， 2，…，l；ξj和ωj分別為基于三階容積規則獲得的第j個基本容積點和相應權值；nx表示系統維數。

記nx維單位向量為e=[1， 0， 0，……， 0]T，[1]表示對e的元素進行全排列和改變元素符號產生的點集，稱為完整全對稱點集，[1]j表示點集中的第j個點［32?33］。

（2）時間更新

①計算k－1時刻第j個容積點Xj，k?1：

式中 Sk?1為Pk?1的平方根形式，可根據Pk?1=Sk?1STk?1得到。

但在實際情況中，由于矩陣Pk?1往往非半正定，使用傳統的Cholesky變換會導致濾波發散，故在本文UCKF算法中，對矩陣Pk采用奇異值分解［34］，即

式中 svd（?）為求解的奇異值分解矩陣。

式中 b為遺忘因子，根據文獻［35］可確定b的取值范圍為0.95

在k時刻至k+1時刻的計算中，根據式（26）計算所得到的Rk代入式（21）中，進行后續計算，并按上述步驟對Rk進行更新。

1.4 算法實現

本文提出的識別方法的具體實現步驟如下：

（1）假設結構質量、剛度、阻尼系數初始值；

（2）運用等效線性化及UCKF算法，在已知部分加速度觀測量的條件下，對結構各物理參數及未知結構速度、位移響應時程進行識別；

（3）收斂判斷：本文采用一種弱化的收斂判斷條件。結構各層前后兩次質量識別的差與前一次識別質量的比值，其最大值小于1%，或上述各層質量前后誤差的絕對值之和小于3%，停止迭代，否則將上一次識別值當做下一次識別初始值，并循環以上步驟；

（4）根據結構參數及動力響應識別結果，對冪級數多項式系數進行識別，得到結構非線性恢復力的非參數化模型。

2 多自由度非線性結構的模擬驗證

為驗證所提出算法對結構參數、動力響應以及非線性結構恢復力模型的識別效果，以圖1所示的一個配置有MR阻尼器的四層剪切型集中質量框架數值模型為例，開展數值模擬驗證。同時，將相關識別結果分別與EKF，CKF及EKF?MF的識別結果進行比較，驗證本文方法識別結構的準確性以及算法的收斂性。

圖1表示含MR阻尼器的非線性框架數值模型，其中MR阻尼器模擬結構的非線性行為。結構各層的質量mi=150 kg，層間剛度ki=2.0×105 N/m，阻尼系數ci=160 N?s/m，其中i=1，2，3，4。不失一般性，在結構第三層施加如圖2所示的水平激勵。結構響應由四階Runge?Kutta法計算，計算時間步長設置為0.001 s。觀測結構第一、三、四層加速度響應，在識別過程中向加速度響應信號中加入20%的較高水平的測量噪聲，以考慮測量噪聲對識別結果的影響。

在數值模擬中，MR阻尼器恢復力模型取為Bingham模型，其表達式為：

式中 FBhnon為MR阻尼器恢復力，fBhc=20 N，CBh0=600 N?s/m，fBh0=0。

值得指出的是，該參數化模型在識別中是不需要用到的，只是在計算結構動力響應時用到。

將結構的狀態向量定義為：

識別開始時，結構質量、剛度、阻尼系數初始值均為理論值的70%，各層位移、速度的初始值均取為0。

圖3表示采用不同濾波算法時質量識別結果收斂過程的比較。圖3（a）～（b）中的EKF與CKF不考慮記憶衰退權重系數的影響。圖3（c）與（d）分別表示采用EKF?MF與UCKF時結構質量識別的收斂過程。表1表示質量識別結果與理論值的比較。由圖3及表1可知，當質量的初始值為理論值的70%，且加速度時程中含20%的噪聲時，EKF的收斂速度最慢，迭代6次才滿足收斂要求，且第一、二層誤差較大。CKF需迭代5次，僅第二層識別結果誤差較大。EKF?MF僅需迭代3次即收斂，質量識別結果最大誤差為4.16%，最小誤差為0.86%。UCKF需迭代4次收斂，但實際上，在迭代至第3次時已經具有很好的精度，收斂時質量識別最大誤差為0.84%，最小誤差為0.00%。由此可見，加入記憶衰退技術的EKF?MF與UCKF收斂速度更快且精度更高，且UCKF的質量識別誤差最小。

為表明本文采用的僅根據質量識別結果來判斷識別過程的收斂過程的合理性，對基于本文方法的結構剛度和阻尼系數的識別結果的收斂情況進行了了分析。

圖4為基于本文方法的結構剛度和阻尼系數的識別迭代過程。由圖4（a）和（b）可以看出，各層層間剛度和阻尼系數在第3次迭代時已滿足精度要求，并在第4次迭代時滿足迭代停止的判定條件，與質量識別結果基本同時收斂。由圖4（b）可知，第四層的阻尼系數識別值與線性結構的阻尼系數差別較大，這與非線性結構中MR阻尼器位于結構第四層而提供阻尼力的實際情況吻合。

如圖3所示，由于基于EKF與CKF的濾波和收斂精度相對較差，故下文僅將本文方法與EKF?MF算法的等效剛度與等效阻尼系數的識別結果進行比較。表2為兩種方法識別結果的比較，從中可以看出，基于UCKF的識別結果相較EKF?MF更準確。兩種方法對第四層等效阻尼值的識別結果均表明MR阻尼器位于結構第四層，其對應阻尼系數與線性結構相比明顯增大。

但由于CKF利用了大量容積點近似后驗均值，將不可避免地導致計算時間大幅增加。在同樣的計算環境下，本文中EKF?MF迭代一次的計算時間約為0.9 s，而UCKF迭代一次的計算時間約為32 s。

圖5和6分別給出結構位移、速度響應時程識別結果與理論值的比較，圖7為結構第二層加速度響應時程識別結果與理論值的比較。可以發現，識別結果與理論值均吻合較好，本文方法可準確識別結構未測量的位移、速度和加速度響應。

同時，基于所識別的結構參數及響應，可繼續識別冪級數多項式模型中的系數，而得到第四層的層間恢復力的非參數化冪級數多項式模型。結果見下式：

根據MR阻尼器恢復力時程與層間位移時程的識別值，可得到MR阻尼器阻尼力的滯回環識別值，其與理論值的對比結果如圖8所示。由圖8可以看出，即使結構參數初始值僅設置為理論值的70%，且加速度觀測值含有較高水平的噪聲，MR阻尼器阻尼力滯回環的識別結果與理論值仍吻合較好。

圖9為依據MR阻尼力滯回環理論值與識別值計算的MR阻尼器的耗能時程曲線對比圖，可以看出，根據本文方法識別得到的MR阻尼器阻尼力滯回環可較精確地定量計算其在振動過程中的耗能。

為了進一步驗證所提出方法在不同隨機外激勵情況下的識別效果，設置相同的初始值，開展了10組不同外激勵作用下的數值模擬驗證。在每組不同外激勵作用下，比較基于EKF?MF與UCKF算法的結構參數識別結果。

圖10表示的是結構各層質量在不同外激勵作用下的識別結果與理論值的比較。由圖10可知，在10組數值模擬中，與EKF?MF方法相比，基于UCKF的結構質量識別結果更精確。特別是對于第三層而言，本文方法的質量識別結果幾乎與理論值重合。由于篇幅限制，剛度等參數識別結果的比較在此不再贅述。

對于恢復力的識別結果，通過均方根誤差（Root Mean Square Error， RMSE）來衡量，其定義如下式所示：

式中 Zi為恢復力理論值；Z?i為恢復力識別值。該誤差指標越小表示恢復力識別結果越好。

表3給出在10組不同隨機外激勵作用下，EKF?MF與UCKF兩種算法所識別的MR阻尼器恢復力與理論值的誤差的RMSE平均值。可以看出，基于UCKF的非線性恢復力的識別結果誤差小，UCKF優于EKF?MF。

3 非線性鋼框架模型動力試驗驗證

在以上數值模擬驗證的基礎上，為進一步驗證本文方法對實際結構模型中非線性元件阻尼力的識別效果，對一個含MR阻尼器的四層框架結構模型進行動力試驗。運用部分加速度響應時程對結構參數、未知響應和所用MR阻尼器的非參數化模型進行識別，并與試驗實測結果進行比較，驗證本文所提出方法的識別效果。

四層剪切型鋼框架模型如圖11所示。在其第四層引入一個MR阻尼器模擬非線性行為，并開展強迫振動試驗。由于該結構在外激勵方向的抗側剛度遠小于另一方向的抗側剛度，且樓板剛度可視為無限大，將結構模型簡化為四自由度集中質量剪切型框架模型是合適的。

在結構第三層樓板中點位置施加激勵，并運用力傳感器測量激勵力時程，其時程曲線如圖12所示。在結構各層布置加速度傳感器和位移傳感器，但僅用第一、三、四層的加速度時程作為觀測量用于識別。同時運用力傳感器測量MR阻尼器在振動過程中提供的阻尼力的大小，其水平方向分量用于與識別值進行比較。

為從總層間恢復力中得到MR阻尼器阻尼力的水平分量，首先需要對不含阻尼器的線性框架結構自身的質量、層間剛度及阻尼系數進行測量。結構各層質量通過稱重得到，每層質量為模型樓面板的質量加上上下各半層柱以及連接螺栓等的質量。線性結構剪切剛度由靜力試驗測得。在結構頂層施加一靜力荷載，通過拉壓力傳感器和位移傳感器得到靜力荷載值和各層的位移值，求得結構各層剪切剛度。結構阻尼系數則通過自由衰減試驗獲得。采集結構在自由振動下的衰減信號，經傅里葉變換提取第一階、第二階自振頻率和相應的阻尼比，進而求得瑞利阻尼系數。所得結構參數如表4所示。

需要指出的是，在非線性結構中，由于引入阻尼器，結構第三、四層的集中質量將有所增大，阻尼器與其連接件的質量為3.06 kg，該部分質量應平均分散到第三、四層，得到集中質量的理論值。

對模型開展動力試驗，運用實測加速度時程，基于本文方法對結構質量及非線性恢復力非參數化模型進行識別。在識別中，將結構初始質量、剛度、阻尼初始值均設置為實測值的120%，取記憶衰退權重系數G=1.0002。圖13所示為基于CKF與UCKF的質量識別迭代過程，圖中虛線表示實測值，可發現UCKF的識別結果更準確。圖14表示基于UCKF的結構第二層的加速度識別值與試驗實測值的比較。

表5與6分別給出基于UCKF的結構質量、剛度和阻尼系數的識別結果，可以看出，在各參數初始誤差為20%的情況下，結構質量、剛度識別結果較好。

對比表4與6可知，非線性結構第四層的阻尼系數相較于原線性結構的阻尼系數值出現明顯增大，其余各層阻尼系數識別誤差均不大。這一識別結果與MR阻尼器位于結構第四層的實際情況相吻合，MR阻尼器提供的阻尼力使得第四層等效阻尼系數明顯變大。

基于各參數與動力響應的識別結果，可識別MR阻尼力的冪級數多項式模型的系數，并得到結構第四層的非線性恢復力的非參數化模型表達式。結果如下式所示：

根據以上非參數化模型以及結構第四層的層間位移時程，可得到MR阻尼器的阻尼力滯回曲線，其與實測阻尼力的水平分量的比較如圖15所示。由圖15可知，雖然結果不可避免地受模型誤差、測量噪聲等因素的影響，運用模型試驗動力實測數據，MR阻尼器阻尼力的識別值與實測值仍較為接近。

4 結 論

本文運用冪級數多項式描述結構在動力荷載作用下的恢復力，提出了一種運用結構部分自由度上的加速度觀測信息，基于UCKF的非線性恢復力非參數化模型識別方法。本文的UCKF算法通過將記憶衰退權重、奇異值分解、及Sage?Husa自適應濾波算法引入CKF而形成。在介紹該方法的實現過程的基礎上，通過含MR阻尼器的多自由度結構的數值模擬和試驗，驗證了本文方法對結構參數、未知動力響應和非線性恢復力非參數模型的識別效果。

在一個設置有MR阻尼器的四自由度集中質量非線性剪切型框架的數值模型中，運用部分自由度上的加速度響應，考慮測量噪聲及參數初始誤差的影響，識別結構線性部分的質量、剛度、阻尼系數以及未知加速度、速度和位移時程，進而得到MR阻尼器阻尼力的非參數化模型。通過將識別結果與理論值進行比較，結果表明本方法識別結果準確度高。通過將本文方法的結果與EKF，EKF?MF及CKF算法的識別結果進行比較，說明本文方法在識別準確性和收斂性方面的優越性。

對一個設置有MR阻尼器的四層鋼框架非線性結構模型進行動力試驗，運用外激勵信息與部分自由度上加速度響應信息，基于本文所提出的算法，對框架結構本身的質量、剛度和阻尼系數、未測量加速度時程進行了識別，并得到MR阻尼器提供的阻尼力的非參數化模型。通過將結構參數、未測量動力響應以及MR阻尼力與試驗實測值的對比，驗證了本文方法對非線性結構恢復力非參數化模型的識別能力。

結構在強動力荷載作用下的恢復力或滯回性能是其非線性行為的最直接描述，能反映結構構件或子結構在動力荷載作用過程中損傷的發生發展過程，且可直接用于定量計算對應結構構件在動力荷載作用過程中的耗能。運用結構的部分動力響應識別結構恢復力的非參數化模型，對工程結構在動力荷載作用過程中的損傷識別和災后性能評估具有重要意義。今后還需要考慮不同材料和類型的結構及不同激勵情況，并對本文方法識別不同非線性恢復力模型的效果進行進一步數值模擬和試驗驗證研究。

參考文獻

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Nonparametric identification of structural nonlinear restoring force based on an updated cubature Kalman filter

DU Yi-bang 1 ?XU Bin 1，2 ?ZHAO Ye 1DENG Bai-chuan 3

1. College of Civil Engineering， Huaqiao University， Xiamen 361021， China；

2. Key Laboratory for Intelligent Infrastructure and Monitoring of Fujian Province， Huaqiao University， Xiamen 361021， China；

3. Department of Civil， Structural and Environmental Engineering， University at Buffalo， the State University of New York， Buffalo， NY 14260， USA

Abstract Structural nonlinear behavior under the excitation of strong dynamic loadings should be considered for structural damage initiation and propagation identification of engineering structures. In this study， a power series polynomial of relative displacement and velocity is employed to model the nonlinear restoring force （NRF） of a structure in a nonparametric way and structural mass， stiffness， damping coefficients and NRF are identified based on an updated cubature Kalman filter （UCKF） algorithm using acceleration response at limited degrees of freedoms （DOFs） of the structure during dynamic excitation. Then， a multi-degree-of-freedom （MDOF） numerical model equipped with a magnetorheological （MR） damper mimicking structural nonlinearity is employed to validate the proposed approach numerically. By adding 20% measurement noise to the acceleration measurements， the stiffness， damping coefficients and mass of the structure， the unmeasured response and the NRF are identified. The effectiveness of the proposed method is validated by comparing the theoretical values with the identified values. Moreover， the identification results of the proposed approach are also compared with them of the approach with the traditional extended Kalman filter （EKF）， cubature Kalman filter （CKF）， and extended Kalman filter with memory fading （EKF-MF）. Dynamic test on a four-story shear frame model with a MR damper is carried out. The structural parameters of the frame structure itself， the unused dynamic response in identification and the NRF provided by the MR damper are identified with the proposed approach using acceleration responses at certain floors. The identified results are compared with the test measurements directly and the performance of the proposed identification approach is experimentally validated.

Keywords nonlinear restoring force; updated cubature Kalman filter; nonparametric identification; power series polynomial; magnetorheological damper