隨機車載激勵的斜拉索非線性振動響應極值預測

趙輝 陳水生 李錦華 任永明

摘要 為了預測隨機車輛荷載作用下斜拉索非線性振動的響應極值，采用蒙特卡羅隨機抽樣法生成隨機車流荷載，求解隨機車流荷載在斜拉索梁端和塔端產生的位移；將索端車致位移作為斜拉索的外部激勵輸入，采用龍格?庫塔數值方法求解斜拉索的非線性空間耦合振動響應；基于經典Rice公式極值預測理論，提出隨機車載激勵的斜拉索非線性振動響應極值預測方法。實際工程的應用結果表明：車輛荷載為斜拉索的梁端提供了較大的豎向和縱向位移激勵，為塔端提供了較大的縱向位移激勵，其對拉索的軸向和面內振動響應影響較大，對拉索的面外振動響應影響較小；斜拉索的車致振動響應極值隨著車流密度和重現期的增大而增大；經典Rice公式對斜拉索車致振動響應界限跨閾次數的擬合效果很好，提出的斜拉索非線性振動響應極值預測方法有效可靠且在工程實踐中應用方便。

關鍵詞 極值預測; 斜拉索; 非線性振動; 隨機車載; 經典Rice公式

引 言

隨著中國綜合國力和橋梁建造技術的提高，大跨度斜拉橋因其造型美觀和跨越能力較大而在公路交通中迅速發展。但斜拉橋本身屬于柔性結構，其最為關鍵的受力構件斜拉索，在外部荷載激勵下會產生不同程度的非線性振動響應［1?4］，斜拉索的使用壽命和運營安全備受關注。過橋車輛荷載每時每刻都會在斜拉橋上出現，在某些時段甚至是密集出現，具有較大的波動性和高度的隨機性，是斜拉索產生振動的主要激勵源。因此，研究斜拉索在車輛荷載激勵下的振動響應顯得非常必要，也很有實際意義。

針對移動車輛荷載激勵的斜拉索振動問題，學者們已經從兩個方面開展了相關的研究：（1）車輛荷載激勵的斜拉索線性振動，如：XIE等［5］對比分析了二軸汽車作用下的CFRP斜拉索和鋼斜拉索的車致振動響應；ZHANG等［6］基于LS?DYNA顯式動力分析軟件，分析了公鐵兩用斜拉橋斜拉索在列車荷載作用下的振動響應；MU等［7］采用改進的拋物線索單元，分析了列車行車速度和軌道不平順對拉索動張力的影響；SUN等［8］從靜力和動力兩個方面對比分析了車輛荷載作用的鋼索斜拉橋、CFRP索斜拉橋、鋼索+CFRP索斜拉橋的拉索振動響應；李永樂等［9］建立大跨度鐵路斜拉橋的有限元模型，采用瞬態分析方法討論了不同方向索端位移激勵下斜拉索線性振動響應。（2）車輛荷載激勵的斜拉索非線性振動，如：楊孚衡等［10］在研究鐵路斜拉橋在高速列車荷載作用下的振動響應時指出，斜拉索的振動應該考慮其非線性的影響；ZHU等［11?12］在非線性范圍內對鐵路斜拉橋在重載列車荷載作用下的斜拉索振動響應進行研究；SONG等［13］分析移動獨輪車過橋時的斜拉索非線性振動響應；張鶴等［14］基于車橋耦合振動理論，將二軸汽車簡化為半車模型，研究公路斜拉橋斜拉索在汽車荷載作用下的非線性振動響應；ZHOU等［15］綜合考慮風荷載和車輛荷載的共同作用，對比分析等效靜力法和非線性動力法的索力值。

可以看出，上述學者對斜拉索的車致振動研究做了很多工作。但是，有關該領域的研究還需要繼續完善：（1）有關公路斜拉橋斜拉索的車致振動研究有待進一步探索，特別是隨機車流荷載激勵的斜拉索非線性空間耦合振動研究還是空白。（2）在大宗貨物運輸不斷增加和汽車工業飛速發展的情況下，為了保證大跨度斜拉橋的運營安全，橋梁建設者和管養單位越來越關注斜拉索在未來服役時間內可能出現的極端振動響應。那么，如何得到在役斜拉索在隨機車輛荷載作用下的振動響應極值就顯得至關重要。鑒于此，本文基于經典Rice公式極值預測理論，綜合考慮過橋車輛的隨機性和斜拉索空間耦合振動的非線性，提出公路斜拉橋斜拉索的車致振動響應極值預測方法。為類似橋梁的建造、管養、安全評估和修復加固提供科學的事前決策依據。

1 索端位移激勵的斜拉索非線性振動響應求解

為了求解斜拉索的非線性空間耦合振動響應，在此采用圖1端點位移激勵的斜拉索振動響應計算模型，并做如下的基本假設：①斜拉索材料為線彈性，變形滿足胡克定律；②忽略拉索的抗扭剛度和抗剪剛度；③考慮拉索的幾何非線性、抗彎剛度和軸向慣性力；④斜拉索的初始靜態線形為拋物線。

在圖1中，整體坐標用X?Y?Z描述，斜拉索局部振動用x?y?z局部坐標描述，xoz面為面內，xoy面為面外。斜拉索長度為l，A端為索塔連接處，B端為索梁連接處。考慮斜拉索的垂度和抗彎剛度，可得隨機車載激勵的斜拉索非線性空間耦合振動方程［16］。根據斜拉索空間振動方程的邊界條件［17］，采用Galerkin方法進行模態截斷，可以推得斜拉索的振動響應表達式：

式中 Xa（t），Xb（t），Ya（t），Yb（t），Za（t），Zb（t）為橋塔、主梁與斜拉索連接點的車致位移；Un（t），Vn（t）和Wn（t）分別為斜拉索軸向、面外和面內的模態廣義坐標［16］；φu，n（x），φv，n（x），φw，n（x）為斜拉索在各個方向的振型函數。

根據Tagata［18］的研究結果，對于端部激勵下的張緊弦振動，其一階模態占主導地位，故斜拉索的振動響應分析取一階模態可以滿足實際工程精度要求［19］。但本文為了考慮斜拉索多階模態的耦合效應，取前十階模態進行斜拉索振動響應的求解。

2 斜拉索車致非線性振動響應的極值預測方法

2.1 經典Rice公式極值預測理論

已有的研究表明，如果橋梁的車致荷載效應假定為平穩高斯隨機過程［20］，則斜拉索車致振動響應與給定界限的交叉次數就可以采用經典Rice公式［21］來擬合。若x為斜拉索的車致非線性振動響應隨機過程，則單位時間內x的跨閾率v（x）可以表示為：

式中 m，σ和σ˙分別為隨機變量x的均值、標準差和x導數的標準差。

將式（4）兩邊取對數，經整理可得：

采用最小二乘法對跨閾率v（x）的高尾部分進行擬合，并對擬合結果進行K?S檢驗，以選擇最優的擬合起點和界限區間值。那么，R重現期的斜拉索車致振動響應極值xmax（R）可以表示為：

式中 vopt，mopt和σopt分別為經典Rice公式的均值點跨閾率、均值和標準差的最優擬合參數。

隨機過程x在橋梁服役期T內的極值概率分布函數和概率密度函數分別為：

根據高速公路橋梁的車流數據特征，過橋車流狀態與車流密度密切相關，其體現了行車間距的大小和人類作息時間的變化。然而，中國各地區的經濟發展速度、公路交通車流量及車流中車型的組成存在較大差異，有關車流運行狀態的劃分還沒有明確的界限。因此，本文在考慮車流狀態對斜拉索車致振動響應的影響時，參考已有的研究［22］，以車流密度200和400 veh/h作為劃分界限，將日過橋車流劃分為稀疏（車流密度<200 veh/h）、一般（200 veh/h<車流密度<400 veh/h）和密集（車流密度>400 veh/h）三種狀態。那么，根據跨閾率疊加原理，可以將不同車流狀態的斜拉索車致振動響應界限跨閾率進行疊加，得到實際車流的斜拉索車致振動響應界限跨閾率：

式中 vx（x），vy（x）和vm（x）分別為稀疏、一般和密集車流的斜拉索車致振動響應界限跨閾率；px，py，pm為不同車流狀態的占比。

將式（9）代入式（4），擬合經典Rice公式的最優待定參數，進而得到實際車流荷載作用的斜拉索振動響應極值的概率分布，并預測斜拉索在未來服役時間的車致振動響應極值。

2.2 斜拉索車致振動響應的極值預測流程

斜拉索車致非線性振動響應極值預測主要分為四大部分：隨機車輛荷載的模擬、斜拉索梁端和塔端車致位移的求解、索端位移激勵的斜拉索非線性振動響應求解、斜拉索非線性振動響應極值預測模型的建立，其主要計算步驟如下：

（1）根據過橋車輛的車輛類型、車輛行駛車道、車輛載重量、車輛行駛間距和車輛行駛狀態統計參數，采用蒙特卡羅隨機抽樣的方法生成滿足實際交通狀況的隨機車流荷載。

（2）采用ANSYS軟件建立斜拉橋的有限元模型，得到單位荷載作用的橋梁任意位置的位移影響面。將隨機車流中各車輛的車輪荷載等效為集中力，利用影響面加載的方法計算隨機車流荷載作用的斜拉索梁端和塔端X，Y和Z方向的位移。

（3）將斜拉索塔端和梁端的車致位移作為斜拉索非線性振動的外部激勵源，代入公式（1）～（3），采用龍格?庫塔數值方法求解斜拉索的軸向、面內和面外振動響應。

（4）根據1000天的斜拉索車致非線性振動響應樣本，建立不同車流狀態的界限跨閾率模型并進行跨閾率疊加；采用最小二乘法和K?S檢驗法擬合經典Rice公式的最優參數，建立斜拉索車致非線性振動響應極值的預測模型，進而預測斜拉索車致非線性振動響應的極值。

隨機車載激勵的斜拉索非線性振動響應的極值預測流程圖如圖2所示。

3 工程應用

以鄱陽湖二橋為工程背景，該橋跨越有中國內陸“百慕大”之稱的鄱陽湖老爺廟水域，為五跨雙塔空間雙索面鋼?混凝土組合梁斜拉橋。主橋各跨徑為：68.6 m+116.4 m+420 m+116.4 m+68.6 m，72對斜拉索呈雙索面扇形布置，拉索最大長度為223.042 m（編號：Z18），拉索最小長度為60.168 m（編號：Z1）。設計荷載為公路?Ⅰ級，雙向四車道，設計車速為100 km/h，橋面寬度為24.5 m。因橋梁為完全對稱結構，半橋布置圖如圖3所示，圖中各拉索分別編號。

3.1 隨機車載模擬

3.1.1 車型及車道

高速公路上行駛車輛的類型較多，根據現場調查結果并參考已有的研究［23］，可以將車輛分為六種代表性車型，各車型及其行駛車道的統計數據如表1所示，各車型出現的頻率和車輛車道的選擇可以采用均勻分布函數來生成［24］。

3.1.2 車 重

通常情況下，行駛車輛的載重可以分為空載、一般載重和重載三種情況，車重的最小值是空載情況下車輛自身的重量，車重的最大值與車輛的超載有關。根據實際交通監測數據，各車型的車重統計結果呈現出多峰分布的特點，可以采用混合正態分布擬合各車型的車重［25］，擬合的混合正態分布參數如表2所示，表中μi和σi分別為第i個正態分布的均值和標準差。以C6車型為例，圖4給出了其車重的直方圖和混合正態分布的概率密度擬合結果，可以看出，車重具有明顯的多峰分布特征。

3.1.3 車 距

根據實際交通狀況，稀疏、一般和密集車流的占比分別約為0.474，0.329和0.197，單向日通行量分別約為2988，2400和1020輛。稀疏和一般車流的車輛間距可以采用對數正態分布生成車距樣本，密集車流的車輛間距可以采用伽馬分布生成車距樣本［26］，其分布參數分別為（7.21，0.42），（6.52，0.68）和（6.43，9.15）。根據不同車流的車輛間距樣本擬合的概率密度曲線如圖5所示，從圖中可以看出，隨著車流密度的增大，車輛間距的均值減小，概率密度曲線的峰值越來越大，車距樣本的離散性越來越小。

以一般車流為例，綜合考慮車型、車道、車重和車輛間距的隨機性特征，采用蒙特卡羅隨機抽樣的方法生成某一時段的車流樣本如圖6所示。

3.2 索端位移激勵的求解

過橋隨機車流中的車輛數量很多，如果所有車輛都采用整車模型，計算時間將很長。為簡化計算，按照文獻［27］的車輛軸重分配比例將各車輪荷載簡化為一個集中力，采用影響面加載的方法計算斜拉索塔端和梁端的車致位移。以最長斜拉索Z18為研究對象，當單位集中荷載在橋面上移動時，斜拉索梁端Z方向和塔端X方向的位移影響面如圖7所示。

在一般車流荷載作用下，斜拉索Z18梁端和塔端的位移時程曲線如圖8所示。從圖8中可以看出，斜拉橋車致位移的隨機性很強，任意一個峰值點的出現都說明有一輛重型貨車過橋；梁端豎向位移大于縱向位移，而橫向位移最小；塔端縱向位移大于橫向位移，而豎向位移最小，且塔端位移小于梁端位移。可見，隨機車流荷載給斜拉索的梁端提供了較大的豎向和縱向位移激勵，也給斜拉索的塔端提供了較大的縱向位移激勵。

同時，為了探究過橋隨機車流的荷載效應是否具有平穩高斯隨機過程的特征，以斜拉索Z18梁端Z方向的車致位移為例，圖9給出了該隨機過程的均方差隨時間的變化曲線，圖10給出了該隨機過程的頻數直方圖及其擬合的正態分布概率密度曲線。從圖9中可以看出，Z18梁端Z方向車致位移的均方差隨著時間的增加而趨于穩定，即隨機車輛荷載效應樣本數量較大時，該隨機過程呈現出平穩隨機過程的特征；從圖10中可以看出，正態分布概率密度曲線對Z18梁端Z方向車致位移頻數直方圖的擬合效果很好，即該隨機過程具有高斯隨機過程的特征。

3.3 索端激勵的斜拉索非線性振動響應求解

當一輛載重量為44.5 t的六軸貨車過橋時，圖11給出了單車荷載激勵的最長斜拉索Z18中點的線性和非線性振動響應。從圖11中可以看出，拉索面內振動響應最大，軸向振動響應次之，而面外振動響應最小；拉索非線性空間耦合振動響應大于線性振動響應，前者的軸向、面外、面內振動響應最大值分別是后者的1.41倍、1.3倍、2.81倍。因此，研究公路斜拉橋斜拉索的車致振動響應，很有必要考慮拉索的非線性和拉索不同方向振動的空間耦合關系。

在車輛荷載作用下，為了分析索端車致位移激勵對斜拉索非線性空間耦合振動響應的影響，在此考慮五種索端位移激勵工況：工況1，索端縱向位移激勵，即Xa（t）和Xb（t）；工況2，索端豎向位移激勵，即Ya（t）和Yb（t）；工況3，索端橫向位移激勵，即Za（t）和Zb（t）；工況4，工況1+工況2共同作用；工況5，工況1+工況2+工況3共同作用。

在不同的索端位移激勵工況下，斜拉索Z18中點的非線性空間耦合振動響應如圖12所示。從圖12中可以看出：（1）工況4和工況5的拉索軸向和面內振動響應相同，工況3和工況5的拉索面外振動響應相同，說明索端橫向位移激勵對拉索軸向和面內的振動響應影響很小，但對拉索面外振動響應的影響較大。（2）索端豎向位移激勵對拉索面內和軸向振動響應的影響大于索端縱向位移激勵對拉索面內和軸向振動響應的影響；索端縱向和豎向位移激勵對拉索的面外振動響應影響較小。（3）工況4和工況5的拉索面內振動響應小于工況2的拉索面內振動響應，說明索端縱向和豎向位移的聯合激勵導致拉索面內振動響應有所減小；工況4和工況5的拉索軸向振動響應大于工況1和工況2的拉索軸向振動響應，說明索端縱向和豎向位移的聯合激勵增大了拉索軸向振動響應。

當考慮過橋車輛的隨機性時，斜拉索Z18在一般車流荷載作用下的中點非線性空間耦合振動響應如圖13所示。從圖13中可以看出，斜拉索非線性振動響應隨機性很強，振動響應值的大小與索端位移激勵的大小有很大關系。斜拉索非線性振動響應主要以面內和軸向振動響應為主，而面外振動響應相對較小；在該時段，面內振動響應的最大值為105 mm，軸向振動響應的最大值為27.8 mm，面外振動響應的最大值為1.8 mm。

那么，根據斜拉索的軸向振動響應可得隨機車輛荷載作用的斜拉索應力，不同的車流狀態和車流占比，斜拉索Z18在某一天內的應力時程如圖14所示。從圖14中可以看出，密集車流的拉索應力最大，一般車流的拉索應力次之，稀疏車流的拉索應力最小；在該天的應力時程樣本中，密集車流的拉索應力最大值為40 MPa，一般車流的拉索應力最大值為28.8 MPa，稀疏車流的拉索應力最大值為25.2 MPa。

3.4 斜拉索振動響應的界限跨閾率擬合

如果每年按250個有效日歷天來計算，基于斜拉索的車致振動響應模擬數據，用1000天的斜拉索車致振動響應樣本來擬合經典Rice公式。圖15給出了不同的過橋車流狀態，斜拉索Z18中點的車致振動響應界限跨閾率曲線擬合結果。從圖15中可以看出，經典Rice公式對斜拉索車致振動響應年跨閾次數的擬合效果很好，實際車流荷載作用的斜拉索振動響應年跨閾率曲線是稀疏、一般、密集車流荷載作用的斜拉索振動響應年跨閾率疊加的結果。斜拉索Z18中點的車致位移和車致應力的vopt，mopt，σopt最優擬合結果分別如表3和4所示，由表中數據可知，不同的車流狀態，斜拉索車致振動響應的均值和標準差隨著過橋車流密度的增大而增大。

3.5 斜拉索車致振動響應的極值預測

根據公式（6）預測的斜拉索Z18中點的車致振動響應極值如圖16所示。從圖16中可以看出，斜拉索的軸向、面外、面內振動響應極值隨著重現期的增大而增大；密集車流荷載作用的拉索振動響應極值最大，稀疏車流荷載作用的拉索振動響應極值最小，而綜合考慮各車流占比的實際車流荷載作用的拉索振動響應極值與密集車流荷載作用的拉索振動響應極值接近；雖然密集車流的占比最小，但其控制了斜拉索振動響應極值的大小。鄱陽湖二橋于2019年建成通車，已服役2年，按照目前的過橋車流狀態，斜拉索Z18在剩余設計使用年限18年重現期的軸向、面外、面內振動響應極值分別為59.03，3.276，176.6 mm。

圖17給出了斜拉索Z18在橋梁設計基準期100年內的車致振動響應極值的概率密度函數（PDF）和累積分布函數（CDF）。文獻［28］對車輛荷載效應的重現期定義為設計基準期內具有95%保證率的最大值。從圖17中可以看出，斜拉索軸向、面外、面內車致位移極值的期望分別為62.8，3.5，184.39 mm，95%保證率的位移極值分別為68.6，3.9，198.8 mm。

不同的車流狀態，斜拉索Z18在不同重現期的車致應力極值如圖18所示。從圖18中可以看出，斜拉索的車致應力極值隨著重現期的增大而增大；密集車流荷載作用的拉索應力極值最大，稀疏車流荷載作用的拉索應力極值最小，而實際車流荷載作用的拉索應力極值僅次于密集車流作用的拉索應力極值。按照目前的過橋車流狀態，斜拉索Z18在剩余設計使用年限18年重現期的應力極值為51.69 MPa。

同時，圖19給出了斜拉索Z18在設計基準期100年內的車致應力極值的PDF和CDF。從圖19中可以看出，隨機車輛荷載激勵的斜拉索應力極值的期望為55 MPa，95%保證率的應力極值為60.4 MPa。

4 結 論

（1）在過橋車輛荷載作用下：公路斜拉橋斜拉索的梁端產生了較大的豎向和縱向位移，塔端產生了較大的縱向位移；斜拉索的軸向和面內振動響應取決于索端縱向和豎向位移激勵，受索端橫向位移激勵的影響很小；斜拉索的面外振動響應取決于索端橫向位移激勵，受索端縱向和豎向位移激勵的影響很小；斜拉索的非線性振動響應大于線性振動響應，且斜拉索的面內振動響應最大，軸向振動響應次之，而面外振動響應最小。

（2）經典Rice公式對斜拉索車致振動響應界限跨閾次數的擬合效果很好，可以保證斜拉索車致振動響應極值預測模型的可靠性。斜拉索的車致振動響應極值受過橋車流密度的影響較大，其隨著車流密度的增大而增大；在未來服役時間內，斜拉索的車致振動響應極值隨著重現期的增加而增大。

（3）提出的隨機車載激勵的斜拉索非線性振動響應極值預測方法是在經典Rice公式極值預測理論的基礎上，通過嚴謹的數學推導而得到的；其有效解決了公路斜拉橋斜拉索的車致振動響應極值預測問題，可為新建斜拉橋和在役斜拉橋的斜拉索安全評估、修復加固和剩余壽命預測提供有效的事前決策數據。

（4）有關風、雨、隨機車流聯合激勵的斜拉索振動響應極值預測，有關考慮斜拉索抗力退化時變性及外部激勵荷載非平穩性的斜拉索振動響應極值預測等研究工作有待進一步探索，將更有挑戰性和現實意義。

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Extreme prediction of nonlinear vibration response of stay cable under random vehicle excitation

ZHAO Hui 1 ?CHEN Shui-sheng 2LI Jin-hua 2REN Yong-ming 2

1. College of Architecture and Civil Engineering， Xinyang Normal University， Xinyang 464000， China；

2. School of Civil Engineering and Architecture， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China

Abstract In order to predict the extreme value of nonlinear vibration response of stay cable under random vehicle load. Firstly， Monte-Carlo random sampling method is used to generate random traffic flow load， and the displacement of stay cable beam end and tower end under random traffic flow load is solved. Then， the vehicle induced displacement at the beam end and tower end of the stay cable is taken as the external excitation input of the stay cable， and the nonlinear spatial coupling vibration response of the stay cable is solved by Runge-Kutta numerical method. Finally， based on the extreme value prediction theory of classical rice formula， an extreme value prediction method of nonlinear vibration response of stay cable under random vehicle excitation is proposed. The practical engineering application results show that the vehicle load provides a large vertical and longitudinal displacement excitation for the beam end of the cable， and a large longitudinal displacement excitation for the tower end， which has a great influence on the axial and in-plane vibration response of the cable， and a small influence on the out-of-plane vibration response of the cable. The extremum of vehicle-induced vibration response of stay cable increases with the increase of traffic density and recurrence period. The classical Rice formula has a good fitting effect on the threshold crossing times of vehicle-induced vibration response limit of stay cable. The prediction method of extreme value of nonlinear vibration response of stay cable proposed in this paper is effective， reliable and convenient to be applied in engineering practice.

Keywords extreme value prediction; stay cable; nonlinear vibration; random traffic load; classical Rice formula