巧用類比，化繁為簡

付永波

在我們平時的教學中，我們經常要用到類比教學法。類比是根據兩種或兩類對象在某些方面的相似，得出它們在其他方面也有可能相似的結論。它是一種創造性的數學思想方法。類比在掌握數學概念、理解數學本質、探索解題方法等方面都有著不可忽視運用。在多年的初中數學教學中，我對于類比教學非常重視，運用類比教學，可以使學生在已有的知識經驗的基礎上迅速的領回新學內容，提高學習效率。下面我簡要說明一下我將類比教學法在初中數學中的應用體會。

一、類比引入新知識

1.類比引入新概念

對數學概念的正確理解是學好數學的基礎，是培養學生能力的先決條件。課本上的概念有的非常簡練、有的很抽象，這給學生對數學概念的理解帶來了困難，從而造成學生數學能力的差異。因此，搞好概念教學，讓學生正確理解概念就會為他們學習其它數學知識打下堅實的基礎。應用類比法引入新概念，可使學生更好地理解新概念的內涵與外延。數學中的許多概念有類似的地方，在新概念的提出過程中，運用類比的方法，能使學生易于理解和掌握。如：“一元一次方程和一元二次方程”的概念。教師在講授“一元二次方程”這一概念時，同樣可以先復習“一元一次方程”這一概念。然后問，“如果我們將概念中的‘一次換成‘二次會得到什么樣的概念呢？甚至可以類比引入一元高次方程和二元一次方程的概念。

2.類比引出新定理

將類比用于定理的教學，不但可以加深學生對定理的理解和記憶，也可以使學生對所學知識有個系統化的了解。如：在講授相似三角形時，由于“相似”與“全等”有很多類似的地方，便于使用類比法。三角形相似的判定定理可以通過與三角形全等的有關定理類比引出，而相似三角形的性質定理也可以通過與全等三角形的性質定理類比引出。通過類比，以舊引新，使學生對新的概念、新的定理的理解會更深入、記憶也會更加牢固，運用會更靈活。

二、類比聯想

所謂類比聯想，就是在聯想的基礎上對兩個或兩個以上的事物進行比較，找出它們之間的共同點，進而受到新的啟示，產生新的思路，從而產生新的解決問題的方法。

例：已知s²+2s-1=0， t²+2t-1=0（s≠t），求st+2s+2t的值。

思路分析：觀察已知條件和所求代數式的外形，可聯想到一元二次方程的根與系數的關系。類比題設構造一個以s和t為根的一元二次方程x²+2x-1=0，然后根據一元二次方程的根與系數的關系知s+t=-2，st=-1，從而很容易求出所求代數式的值：st+2s+2t=st+2（s+t）=-1+2×（-2）=-5

在解題教學中采用類比教學，可以達到梳理知識、歸納題型、總結解題方法，這樣做既有利于學生記憶和掌握所學知識，又有利于培養學生聯想思維的靈活性。

三、類比推理

所謂類比推理，是通過對兩個研究對象的比較，根據它們某些方面的相同或相類似之處，推出它們在其它方面也可能相同或相類似的一種推理方法。相類比的兩個對象的相同性愈多，則結論的可靠程度就愈大；相類比的兩個對象的共有屬性與推出屬性之間的聯系愈緊密，則結論的可靠程度就愈高。

類比推理的一般步驟：先找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征，然后用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個結論。

如：若線段AB上有一個點，則共有2+1=3條線段，若線段AB上有兩個點，則共有3+2+1=6條線段，若線段AB上有三個點，則共有4+3+2+1=10條線段，……若線段AB上有n個點，則有（n+1）+n+（n-1）+… +1=（n+2）（n+1）/2條線段；類似的若在∠AOB從頂點O引一條射線，則有2+1=3個角，若引兩條射線，則有3+2+1=6個角，若引三條射線，則有4+3+2+1=10個角，……若引n條射線，則有（n+1）+n+（n-1）+… +1=（n+2）（n+1）/2個角。雖然類比推理所得結論的真實性是不確定的，但類比推理作為一種重要的思想方法，就算在嚴格地邏輯推理的數學中也起著重要作用。故在教學中應給予應有的重視。

四、類比歸納類比歸納是對兩種或兩種以上在某些關系上表現為相似的對象進行對比和歸納的一種科學的研究方法。在初中數學教學中運用類比歸納法，引導學生通過對知識的類比和歸納 ，使知識有序化、系統化，從而使學生掌握知識內在的聯系。

如：在學習三角形的外接圓和內切圓時，大多數學生會把外心和內心的概念及性質混淆。針對這一問題，采用類比思想，把三角形的外心和內心的概念及性質歸納為：外心是三角形三邊中垂線的交點，它隨三角形的形狀不同，位置也不同：它在銳角三角形的內部，在直角三角形斜邊的中點處，在鈍角三角形的外部；它是三角形外接圓的圓心；具有到三角形三個頂點的距離相等的性質。內心是三角形內切圓的圓心；它是三角形三個內角平分線的交點；它一定在三角形的內部，不隨三角形形狀的改變而變化位置；它到三角形三邊的距離相等。

從以上幾點可以看出，類比教學法在獲取解題思路，新概念的導入，公式、定理和記憶及證明，新知識的探索研究等方面都有著重要作用。因而在教學過程中充分運用類比法培養學生的思維能力，有不可估量的作用。