采用彈體追蹤導(dǎo)引律的旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

宋金超,趙良玉

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院,北京 100081)

0 引言

隨著信息化和智能化戰(zhàn)爭時(shí)代的來臨,未來戰(zhàn)場環(huán)境日益復(fù)雜,制導(dǎo)武器也朝著智能化、多樣化、低成本化和協(xié)同一體化發(fā)展。旋轉(zhuǎn)彈憑借其提高突防能力、降低制造成本并簡化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等獨(dú)特優(yōu)勢(shì),在制導(dǎo)武器序列中牢牢占據(jù)著不容忽視的一席之地,受到了世界各軍事強(qiáng)國的廣泛關(guān)注和大力發(fā)展[1-3]。與非旋轉(zhuǎn)彈不同,旋轉(zhuǎn)彈在飛行過程中存在著由自旋引起的彈體俯仰和偏航通道耦合,并可能導(dǎo)致彈體出現(xiàn)不收斂的錐形運(yùn)動(dòng),從而發(fā)生射程降低甚至中途掉彈的現(xiàn)象[4-5]。從20世紀(jì)50年代開始,錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一直是旋轉(zhuǎn)彈領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn),國內(nèi)外專家學(xué)者均對(duì)其進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究,并得到了一系列的旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件[6-9]。

固聯(lián)于彈體的全捷聯(lián)導(dǎo)引頭由于生產(chǎn)成本低、結(jié)構(gòu)簡單且可靠性高,成為低成本末制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈用來獲取目標(biāo)信息的優(yōu)先選擇。由于捷聯(lián)導(dǎo)引頭與彈體固聯(lián)并跟隨彈體一起旋轉(zhuǎn),其響應(yīng)延遲和陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差則可能會(huì)影響錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,并因此顯著減小制導(dǎo)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域[10-13]。Park[14]針對(duì)帶有捷聯(lián)導(dǎo)引頭的旋轉(zhuǎn)彈,分析了導(dǎo)引頭視線角約束對(duì)其動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的影響。對(duì)于捷聯(lián)導(dǎo)引頭來說,視線角速度信息不能直接測量,需要通過綜合導(dǎo)引頭與彈載角速率陀螺儀的測量值得到。這兩個(gè)元件動(dòng)力學(xué)模型的差異,將不可避免地在制導(dǎo)控制系統(tǒng)中引起額外的寄生回路,從而對(duì)彈體的系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。對(duì)此,Li等[15]考慮導(dǎo)引頭干擾抑制率引起的寄生回路對(duì)彈體姿態(tài)的影響,推導(dǎo)出相應(yīng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件。Zheng等[16]考慮雷達(dá)天線罩引起的寄生回路影響,對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。同時(shí),捷聯(lián)導(dǎo)引頭和角速率陀螺之間存在的標(biāo)度因數(shù)差異,會(huì)對(duì)旋轉(zhuǎn)彈體錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響,He等[17]建立了標(biāo)度因數(shù)誤差引發(fā)的寄生回路作用下的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性條件。Hu等[18]對(duì)采用比例導(dǎo)引方式的旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,并基于線性化的動(dòng)力學(xué)模型,建立了其動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的充要條件。然而,已有文獻(xiàn)均未對(duì)彈體追蹤導(dǎo)引方式的旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究。

彈體追蹤導(dǎo)引律可以避免采用傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)視線角速度發(fā)散的問題,從而保證導(dǎo)引頭有效探測、追蹤目標(biāo),具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。一些末制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈為保證其低成本、易裝配、便發(fā)射等優(yōu)勢(shì),常采用彈體追蹤導(dǎo)引律來保證打擊精度,如某型采用捷聯(lián)式半主動(dòng)激光導(dǎo)引頭的旋轉(zhuǎn)彈就采用了彈體追蹤導(dǎo)引律[19]。這類旋轉(zhuǎn)彈直接使用姿態(tài)角反饋信息生成控制指令,與采用比例導(dǎo)引律的制導(dǎo)控制系統(tǒng)相比具有較大區(qū)別,有必要對(duì)其可能誘發(fā)的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行深入研究。

本文在考慮捷聯(lián)導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲和角速率陀螺儀標(biāo)度因數(shù)誤差的情況下,對(duì)使用彈體追蹤導(dǎo)引律的旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行研究。首先在非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中,推導(dǎo)了隨彈體旋轉(zhuǎn)的捷聯(lián)導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)模型,并結(jié)合彈體動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)造了復(fù)數(shù)形式的彈體追蹤制導(dǎo)控制系統(tǒng)模型;接著,分別考慮捷聯(lián)導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲和角速率陀螺儀標(biāo)度因數(shù)誤差的影響,通過數(shù)學(xué)仿真得到制導(dǎo)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域,并進(jìn)行算例驗(yàn)證。通過分析發(fā)現(xiàn),導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲和陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差均對(duì)穩(wěn)定區(qū)域有一定影響,且阻尼回路可以顯著提高穩(wěn)定區(qū)域上限,但彈體轉(zhuǎn)速的提高會(huì)減小穩(wěn)定區(qū)域上限。

1 捷聯(lián)導(dǎo)引頭彈體追蹤制導(dǎo)控制系統(tǒng)

1.1 坐標(biāo)系定義及轉(zhuǎn)換

旋轉(zhuǎn)彈一般具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu),可以假設(shè)其在滾轉(zhuǎn)過程中,任意位置均具有相同的空氣動(dòng)力學(xué)特性及慣性質(zhì)量特性。因此,一般在非旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下對(duì)其制導(dǎo)控制系統(tǒng)進(jìn)行建模分析。本文主要圍繞末制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性開展研究,使用的坐標(biāo)系包括非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系。

非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系Oxnynzn：坐標(biāo)原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)彈彈體瞬時(shí)質(zhì)心的位置O;Oxn軸與彈體縱軸重合,指向頭部為正;Oyn軸位于鉛垂面內(nèi),與Oxn軸垂直且指向上方為正;Ozn軸垂直于Oxnyn平面并通過右手定則確定。

旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系Oxbybzb：坐標(biāo)原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)彈瞬時(shí)質(zhì)心的位置O;Oxb軸與彈體縱軸重合,指向頭部為正;Oyb軸位于彈體縱向?qū)ΨQ面內(nèi),與Oxb軸垂直且指向上方為正;Ozb軸垂直于Oxbyb平面并通過右手定則確定。

由于非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系是系統(tǒng)的參考坐標(biāo)系,需要將旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中測量得到的誤差角速度變換到非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中,從而在非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中產(chǎn)生追蹤制導(dǎo)指令,二者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1所示。

圖1 非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換Fig.1 Conversion between non-spinning and spinning missile coordinate systems

(1)

1.2 旋轉(zhuǎn)彈的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

旋轉(zhuǎn)彈在飛行過程中的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程[20]和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別為

(2)

(3)

式中：u、v、w分別為非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系下的導(dǎo)彈速度;p、q、r分別為非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系下的導(dǎo)彈角速度;Fx、Fx、Fz分別為作用在旋轉(zhuǎn)彈上的空氣動(dòng)力;P為推力;m為旋轉(zhuǎn)彈質(zhì)量;g為重力加速度;ψ為旋轉(zhuǎn)彈偏航角姿態(tài)角;?為旋轉(zhuǎn)彈俯仰角姿態(tài)角;Mx、My、Mz為作用在旋轉(zhuǎn)彈上的氣動(dòng)力矩;Ix和It為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖2 攻角側(cè)滑角示意圖Fig.2 Angle of attack and angle of side-slip

導(dǎo)彈速度矢量可表示為

(4)

且有

α=arctan(w/u),β=arcsin(v/V)

(5)

式中：V為導(dǎo)彈速度標(biāo)量。

引入復(fù)變量：復(fù)攻角σ=β+iα,復(fù)姿態(tài)角ξ=ψ+i?,復(fù)舵偏角指令δ=-δz+iδy。

對(duì)于采用較小尺寸舵片的鴨式低速制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈而言,其馬格努斯力和鴨舵產(chǎn)生的升力相對(duì)較小,因此在穩(wěn)定性分析中可以將其忽略。僅考慮線性化后的氣動(dòng)力,并且將攻角和側(cè)滑角視為小量,則施加于彈體的氣動(dòng)力可以表示為

(6)

式中：Q為動(dòng)壓,Q=ρV2/2,ρ為空氣密度;S為參考面積;CD為彈體阻力系數(shù);CLα為彈體升力系數(shù)對(duì)攻角的斜率。

在非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中,作用于導(dǎo)彈的氣動(dòng)力矩為

(7)

式中：l為特征長度;C1和Clp分別為導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩系數(shù)和滾動(dòng)阻尼力矩系數(shù);Cmα為靜態(tài)力矩系數(shù);Cmpα為馬格納斯力矩系數(shù);Cmq為橫向阻尼力矩系數(shù);Cmδ為控制力矩系數(shù)。

(8)

忽略式(5)、式(6)中的高階項(xiàng),導(dǎo)彈的橫向運(yùn)動(dòng)方程可以寫為

(9)

可以簡寫為

(10)

彈體的橫向即俯仰和偏航通道的過載可以表達(dá)為

(11)

1.3 彈體追蹤導(dǎo)引律的彈目視線關(guān)系

以采用軸對(duì)稱彈體結(jié)構(gòu)和鴨式氣動(dòng)布局的末制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈為例,在彈體追蹤導(dǎo)引律的作用下,彈體縱軸在攻擊目標(biāo)過程中始終努力指向目標(biāo)[22]。對(duì)于軸對(duì)稱彈體而言,其在俯仰和偏航方向具有相同的運(yùn)動(dòng)特性,以圖3所示俯仰平面彈目視線(LOS)關(guān)系為例：圖3中,qy為非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中俯仰平面的真實(shí)彈目視線角,εy為彈目視線和彈體縱軸之間的誤差角,xg為基準(zhǔn)線,xs為彈目視線,Vr為彈體相對(duì)于目標(biāo)的速度。。

圖3 俯仰平面彈目視線關(guān)系圖Fig.3 Relationship of missile-to-target LOS in pitch plane

與平臺(tái)導(dǎo)引頭不同,捷聯(lián)導(dǎo)引頭與旋轉(zhuǎn)彈彈體固聯(lián),視線角信息無法直接測量獲得。需要用陀螺儀測量的姿態(tài)角速度減去通過導(dǎo)引頭得到視線與彈體坐標(biāo)系縱軸之間的誤差角速度,從而得到視線角速度。通過圖3中的彈目視線之間關(guān)系可以得到,俯仰平面的視線角可表示為

qy=?-εy

(12)

使用彈體追蹤導(dǎo)引律時(shí),由于存在彈目視線與彈體縱軸的偏差[23],為了使二者重合引入的俯仰平面視線角速度可以表示為

(13)

對(duì)于鴨式布局的彈體結(jié)構(gòu),正的舵偏角將引起正的攻角和正的側(cè)滑角,正的非旋轉(zhuǎn)攻角將產(chǎn)生正的俯仰加速度,正的側(cè)滑角將產(chǎn)生負(fù)的偏航加速度[24]。得到偏航平面的視線角為

qz=ψ-εz

(14)

則偏航平面的視線角速度為

(15)

式中：qz為非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中偏航平面的真實(shí)彈目視線角;εz為彈目視線和彈體縱軸之間的誤差角。

由圖3可知,俯仰平面的彈體追蹤導(dǎo)引律可描述為

?c=qy

(16)

即姿態(tài)角控制指令等于彈目視線角,?c為俯仰平面的控制指令。將式(16)代入式(12)中可知,當(dāng)使用俯仰角?反饋回路進(jìn)行控制時(shí),可以得到

εy=?-?c

(17)

同樣,得到偏航方向彈體追蹤制導(dǎo)律方程為

εz=-ψ-(-ψc)

(18)

式中：ψc為偏航平面的控制指令。

圖4 捷聯(lián)導(dǎo)引頭彈體追蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 APG system of the strapdown seeker

1.4 旋轉(zhuǎn)彈的動(dòng)力學(xué)方程

(19)

(20)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]可以得到捷聯(lián)導(dǎo)引頭在彈體坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程：

(21)

(22)

(23)

(24)

因此,非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中導(dǎo)引頭系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系為

(25)

(26)

(27)

(28)

根據(jù)圖4所示的捷聯(lián)導(dǎo)引頭彈體追蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,可以得到非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系下用于彈體追蹤制導(dǎo)方式的測量視線角速度：

(29)

由于捷聯(lián)導(dǎo)引頭存在響應(yīng)延遲,旋轉(zhuǎn)彈俯仰和偏航通道中測得的視線角速度將會(huì)發(fā)生交叉耦合,耦合后的制導(dǎo)指令為

(30)

1.5 舵機(jī)系統(tǒng)控制指令

舵面偏轉(zhuǎn)指令由制導(dǎo)指令轉(zhuǎn)換得到,如圖4所示。對(duì)具有姿態(tài)角反饋回路的控制系統(tǒng),其舵機(jī)控制指令δcy和δcz[4]可表示為

(31)

將式(30)代入式(31)中,得到非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中的舵偏角指令為

(32)

為便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析,在姿態(tài)控制指令為零時(shí),即姿態(tài)角速度指令為零時(shí)對(duì)彈體錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析,式(32)可以改寫為

(33)

在旋轉(zhuǎn)彈運(yùn)動(dòng)的過程中,恒定指令將使鴨式舵生成諧波響應(yīng)。考慮固有頻率1/Ts、阻尼比μs、指令傳輸延遲τ1,對(duì)舵機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行建模。得到非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中舵機(jī)輸入和輸出之間的關(guān)系[20]為

(34)

(35)

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下舵機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)增益為

(36)

舵機(jī)的總延遲角為

(37)

2 考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定性分析

2.1 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件

(38)

將式(10)、式(33)、式(34)、式(38)整合,可以得到復(fù)數(shù)形式下的旋轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)控制線性化方程：

(39)

式中：ksr=kskr;kdh=kdkh。

基于式(39),可以得到旋轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)的線性化微分方程為

(40)

式(40)的特征方程為

λ2+(m1+in1)λ+(m2+in2)=0

(41)

式中：

(42)

(43)

定義多項(xiàng)式F0=λ2+(m1+in1)λ+(m2+in2)和F1=m1λ2+in2,連分式的展開形式可以寫為

(44)

根據(jù)復(fù)系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性定理[20],式(44)所有根的實(shí)部在復(fù)平面左半邊的充分必要條件是r1>0且r2>0,因此該系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件可以寫為

(45)

2.2 不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲

假設(shè)捷聯(lián)導(dǎo)引頭不存在相位滯后和穩(wěn)態(tài)誤差,也不存在信號(hào)解算延遲,設(shè)導(dǎo)引頭系統(tǒng)增益kd=1,則且λg=0。在不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的情況下,通道之間的耦合作用可以忽略,因此可忽略升力、推力以及旋轉(zhuǎn)彈的位移運(yùn)動(dòng),彈體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可以僅用攻角運(yùn)動(dòng)來描述,即a1=0。對(duì)于低轉(zhuǎn)速制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈而言,其馬格努斯力矩和陀螺力矩項(xiàng)相對(duì)較小,因此在穩(wěn)定性分析中可以將其忽略,即b12=0且b22=0,忽略小量a1b21。在不考慮陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差的情況下,kf=1。因此,可以將式(42)、式(43)簡化寫為

(46)

(47)

得到簡化后的穩(wěn)定條件為

(48)

系統(tǒng)增益ksr的表達(dá)式為

(49)

式中：ks為舵機(jī)系統(tǒng)增益,是個(gè)常數(shù)。

表1 旋轉(zhuǎn)彈參數(shù)表Table 1 Parameters of spinning missile

表2 無延遲角的制導(dǎo)回路增益下限Table 2 Lower limit of the control and guidance loop gain without delay angle

2.3 考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲

捷聯(lián)導(dǎo)引頭的響應(yīng)延遲會(huì)導(dǎo)致偏航、俯仰兩個(gè)通道測得的視線角速度產(chǎn)生耦合,進(jìn)而導(dǎo)致制導(dǎo)指令交叉耦合,從而系統(tǒng)的穩(wěn)定條件發(fā)生變化,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為式(45)。同樣忽略馬格努斯力矩和陀螺力矩項(xiàng),即b12=0且b22=0。同時(shí)考慮捷聯(lián)導(dǎo)引頭的時(shí)間常數(shù)Td相對(duì)較小,則導(dǎo)引頭的動(dòng)態(tài)增益可以假定為kh=1,且認(rèn)為導(dǎo)引頭的延遲角λg為小量。因此有cosλg≈1和sinλg≈λg。導(dǎo)引頭系統(tǒng)增益kd通常取1,忽略小量a1,b21,可以將式(42)、式(43)化簡為

(50)

(51)

該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件仍為式(45),將式(50)、式(51)代入式(45),得到穩(wěn)定條件為

(52)

在旋轉(zhuǎn)彈的設(shè)計(jì)中,通常限制舵機(jī)總延遲角λt≤90°,因此下列討論都建立在此基礎(chǔ)上。由于b3>0,則式(52)中的第1式可以化簡為

(53)

式(52)中第2式為制導(dǎo)回路增益kc關(guān)于阻尼回路增益kω的3次不等式。由于計(jì)算比較復(fù)雜,不便于直觀分析,因此采用數(shù)值方法分析制導(dǎo)回路對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。控制指令增益的下限為式(53),對(duì)制導(dǎo)回路增益kc上限進(jìn)行求解。旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與制導(dǎo)控制系統(tǒng)的制導(dǎo)回路增益kc及阻尼回路增益kω相關(guān),因此穩(wěn)定區(qū)域上限通過對(duì)兩個(gè)回路增益進(jìn)行設(shè)計(jì)得到。同樣基于表1給出的旋轉(zhuǎn)彈參數(shù),使用數(shù)值方法可確定彈體的穩(wěn)定性條件。

考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲,分別令導(dǎo)引頭延遲角為λg=3°和λg=6°,得到在不同彈體轉(zhuǎn)速及阻尼回路增益時(shí),使系統(tǒng)穩(wěn)定的制導(dǎo)回路增益取值上限,分別如表3和表4所示。

表3 λg=3°制導(dǎo)回路增益上限Table 3 Upper limit of the loop gain with λg=3°

表4 λg=6°制導(dǎo)回路增益上限Table 4 Upper limit of the loop gain with λg=6°

對(duì)比分析表2、表3和表4可以得出,當(dāng)不存在導(dǎo)引頭延遲時(shí),使系統(tǒng)穩(wěn)定的kc僅在下限。當(dāng)存在導(dǎo)引頭延遲的情況下,若其他參數(shù)不變,則導(dǎo)引頭延遲對(duì)使系統(tǒng)穩(wěn)定的制導(dǎo)回路增益有消極影響,會(huì)導(dǎo)致原本僅存在下限的系統(tǒng)穩(wěn)定的制導(dǎo)回路增益出現(xiàn)上限。且延遲角越大,系統(tǒng)穩(wěn)定的kc上限越小。當(dāng)延遲角增大一倍時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定的制導(dǎo)回路增益上限減小一半。同時(shí)可以看出,系統(tǒng)穩(wěn)定的控制回路增益上限隨阻尼回路參數(shù)增大而增大,隨轉(zhuǎn)速增大而減小,說明阻尼回路可以提高穩(wěn)定上限,而轉(zhuǎn)速增加會(huì)降低穩(wěn)定上限。

2.4 案例分析

分別選取不同彈體轉(zhuǎn)速和阻尼回路增益,對(duì)2.2節(jié)及2.3節(jié)中得到的制導(dǎo)回路增益穩(wěn)定上限,進(jìn)行算例驗(yàn)證。

首先對(duì)不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的制導(dǎo)控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,選取不同的彈體轉(zhuǎn)速和阻尼回路增益,分別驗(yàn)證系統(tǒng)在不同制導(dǎo)回路增益下的穩(wěn)定性。

圖5(a)給出了彈體轉(zhuǎn)速p=4π rad/s,阻尼回路增益kω=0.05,制導(dǎo)回路增益kc=2時(shí)的彈體復(fù)攻角ξ=β+iα的變化情況,此時(shí)kc滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件,可觀察到該錐形運(yùn)動(dòng)的收斂現(xiàn)象。當(dāng)p=8π rad/s、kω=0.1、kc=200時(shí),如圖5(b)所示,彈體錐形運(yùn)動(dòng)同樣收斂。圖5(c)給出了p=12π rad/s、kω=0.2、kc=1 000時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況。

圖5 不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的收斂錐形運(yùn)動(dòng)Fig.5 Convergent coning motion without considering seeker delay response

然后對(duì)考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的制導(dǎo)控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,選取導(dǎo)引頭延遲角λg=3°,彈體轉(zhuǎn)速p=8π rad/s,阻尼回路增益kω=0.1。圖6給出了kc=400時(shí)的彈體復(fù)攻角ξ=β+iα的變化情況,此時(shí)kc滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件,可觀察到該錐形運(yùn)動(dòng)的收斂現(xiàn)象。當(dāng)kc=474.4時(shí),彈體錐形運(yùn)動(dòng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),此時(shí)復(fù)攻角處于等幅振蕩狀態(tài)(見圖7)。圖8給出了kc=500時(shí)復(fù)攻角的變化情況,此時(shí)制導(dǎo)回路增益kc大于穩(wěn)定上限,錐形運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)發(fā)散。

圖6 λg=3°時(shí)收斂的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.6 Convergent coning motion with λg=3°

圖7 λg=3°時(shí)彈體臨界穩(wěn)定的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.7 Critical stable coning motion with λg=3°

圖8 λg=3°時(shí)彈體發(fā)散的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.8 Divergent coning motion with λg=3°

選取導(dǎo)引頭延遲角λg=6°,彈體轉(zhuǎn)速p=4π rad/s,阻尼回路增益kω=0.05。

圖9給出了kc=100時(shí)的彈體復(fù)攻角ξ=β+iα的變化情況,此時(shí)kc滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件,可觀察到該錐形運(yùn)動(dòng)收斂。當(dāng)kc=161.9時(shí),彈體錐形運(yùn)動(dòng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),此時(shí)復(fù)攻角等幅振蕩(見圖10)。圖11給出了kc=250時(shí)復(fù)攻角的變化情況,此時(shí)制導(dǎo)回路增益大于穩(wěn)定上限,錐形運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)發(fā)散。

圖9 λg=6°時(shí)收斂的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.9 Convergent coning motion with λg=6°

圖10 λg=6°時(shí)彈體臨界穩(wěn)定的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.10 Critical stable coning motion with λg=6°

圖11 λg=6°時(shí)彈體發(fā)散的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.11 Divergent coning motion with λg=6°

根據(jù)仿真圖5～圖11可以看出,在不同的導(dǎo)引頭延遲角、彈體轉(zhuǎn)速及阻尼回路增益下,數(shù)值解得的旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定上限與仿真結(jié)果高度一致,證明了第1節(jié)和第2節(jié)理論分析和數(shù)值解算方法的正確性。

3 考慮陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差的穩(wěn)定性分析

根據(jù)圖4及式(23),當(dāng)陀螺存在標(biāo)度因數(shù)誤差時(shí),誤差系數(shù)kf≠1,分別在不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲和考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的情況下,分析陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定性的影響。

3.1 不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲

在不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的情況下,有kdh=1且γg=0,此時(shí)指令之間不存在耦合,可以忽略升力、推力以及旋轉(zhuǎn)彈的位移運(yùn)動(dòng),彈體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可以僅用攻角運(yùn)動(dòng)來描述,即a1=0。

對(duì)于低速制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈而言,忽略馬格努斯力矩和陀螺力矩,即b12=0且b22=0。可以將式(42)簡化為

(54)

式(43)仍可化簡為式(47)。

系統(tǒng)穩(wěn)定條件與2.2節(jié)中的式(45)相同。得到簡化的穩(wěn)定條件為

(55)

在陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差為kf=1.004及kf=0.996時(shí),使用表1所示的旋轉(zhuǎn)彈參數(shù),在不同的阻尼回路增益及彈體轉(zhuǎn)速下,使用數(shù)值方法確定彈體的穩(wěn)定性條件如表5及表6所示。

表5 kf=1.004無延遲角的制導(dǎo)回路增益上限Table 5 Upper limit of the loop gain at kf=1.004

表6 kf=0.996無延遲角的制導(dǎo)回路增益上限Table 6 Upper limit of the loop gain at kf=0.996

3.2 考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲

對(duì)于末制導(dǎo)旋轉(zhuǎn)彈,在考慮捷聯(lián)導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲的情況下,再綜合考慮陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差,仍然滿足b12=0且b22=0、導(dǎo)引頭的動(dòng)態(tài)增益可以假定為kh=1,cosγg≈1和sinγg≈γg。導(dǎo)引頭系統(tǒng)增益kd

通常取1,忽略小量a1b21,式(42)、式(43)可以化簡為

(56)

(57)

下列討論同樣建立在γt≤90°的基礎(chǔ)上,由于a1-b21>0,則式(55)中的第1式恒成立。使用復(fù)數(shù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法,可獲得解析式的穩(wěn)定性條件,但計(jì)算比較復(fù)雜,不便于直觀分析。采用數(shù)值方法分析制導(dǎo)回路對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響,此時(shí)旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與制導(dǎo)控制系統(tǒng)的制導(dǎo)回路增益kc及阻尼回路增益kω相關(guān),故穩(wěn)定區(qū)域通過對(duì)兩個(gè)回路增益進(jìn)行設(shè)計(jì)得到。基于表1所示的旋轉(zhuǎn)彈參數(shù),使用數(shù)值方法來確定彈體的穩(wěn)定性條件。

分別令導(dǎo)引頭延遲角為λg=3°和λg=6°。使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制制導(dǎo)回路增益下限為kc>0,分別求得陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差為kf=1.004及kf=0.996時(shí),在不同彈體轉(zhuǎn)速及阻尼回路增益下,使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制制導(dǎo)回路增益取值上限如表7～表10所示。

表7 kf=1.004,λg=3°制導(dǎo)回路增益上限Table 7 Upper limit of the loop gain with, kf=1.004,λg=3°

表8 kf=0.996、λg=3°制導(dǎo)回路增益上限Table 8 Upper limit of the loop gain with kf=0.996,λg=3°

表9 kf=1.004、λg=6°制導(dǎo)回路增益上限Table 9 Upper limit of the loop gain with kf=1.004,λg=6°

表10 kf=0.996、λg=6°制導(dǎo)回路增益上限Table 10 Upper limit of the loop gain with kf=0.996,λg=6°

將表7～表10進(jìn)行對(duì)比可知,考慮陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差時(shí),在其他參數(shù)不變的情況下,系統(tǒng)穩(wěn)定的制導(dǎo)回路增益上限隨阻尼回路參數(shù)增大而增大,隨轉(zhuǎn)速增大而減小,說明阻尼回路可以顯著提高穩(wěn)定上限,而轉(zhuǎn)速增加會(huì)降低穩(wěn)定上限。在其他參數(shù)不變的情況下,陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差對(duì)穩(wěn)定區(qū)域上限有較小的影響,且當(dāng)標(biāo)度因數(shù)誤差系數(shù)大于1時(shí)且增大0.4%時(shí),穩(wěn)定上限會(huì)變大0.5%;標(biāo)度因數(shù)誤差系數(shù)小于1且減小0.4%時(shí),穩(wěn)定上限會(huì)變小0.5%。

3.3 案例分析

分別選取不同的彈體轉(zhuǎn)速和阻尼回路增益,對(duì)3.1節(jié)及3.2節(jié)中得到的制導(dǎo)回路增益上限,進(jìn)行算例驗(yàn)證。

首先對(duì)不考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲,僅考慮陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差的制導(dǎo)控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,選取不同的彈體轉(zhuǎn)速和阻尼回路增益,分別驗(yàn)證系統(tǒng)在不同制導(dǎo)回路增益下的穩(wěn)定性。

設(shè)置陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差系數(shù)kf=1.004。圖12(a)給出了p=4π rad/s、kω=0.05、kc=5時(shí)的彈體復(fù)攻角ξ=β+iα的變化情況,此時(shí)kc滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件,可觀察到該錐形運(yùn)動(dòng)的收斂現(xiàn)象。圖12(b)給出了p=8π rad/s、kω=0.10、kc=50時(shí)彈體錐形運(yùn)動(dòng)的收斂情況。圖12(c)給出了p=12π rad/s、kω=0.20、kc=300時(shí)錐形運(yùn)動(dòng)收斂的情況。

圖12 僅考慮陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差的收斂錐形運(yùn)動(dòng)Fig.12 Convergent coning motion considering the gyro scale-factor error

然后,考慮導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲,對(duì)不同延遲角和陀螺標(biāo)度因數(shù)下的旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。選取彈體轉(zhuǎn)速p=8π rad/s,阻尼回路增益kω=0.10,導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲角λg=3°,陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差kf=1.004。圖13給出了kc=450時(shí)的彈體復(fù)攻角ξ=β+iα的變化情況,此時(shí)kc滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件,可觀察到該錐形運(yùn)動(dòng)收斂。

圖13 λg=3°、kf=1.004時(shí)收斂的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.13 Convergent coning motion with λg=3°、kf=1.004

當(dāng)kc=475.6時(shí),彈體錐形運(yùn)動(dòng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),此時(shí)復(fù)攻角等幅振蕩,如圖14所示。圖15給出了kc=490時(shí)復(fù)攻角的變化情況,此時(shí)制導(dǎo)回路增益kc大于穩(wěn)定上限,錐形運(yùn)動(dòng)發(fā)散。

圖14 λg=3°、kf=1.004時(shí)臨界穩(wěn)定的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.14 Critical stable coning motion with λg=3°、kf=1.004

圖15 λg=3°、kf=1.004時(shí)發(fā)散的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.15 Divergent coning motion with λg=3°、kf=1.004

選取導(dǎo)引頭延遲角λg=6°,彈體轉(zhuǎn)速p=8π rad/s,阻尼回路增益kω=0.1,陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差kf=0.996。圖16給出了kc=190時(shí)彈體復(fù)攻角ξ=β+iα的變化情況,此時(shí)kc滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件,可觀察到該錐形運(yùn)動(dòng)收斂。當(dāng)kc=224.9時(shí),彈體錐形運(yùn)動(dòng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),此時(shí)復(fù)攻角等幅振蕩,如圖17所示。圖18給出了kc=260時(shí)復(fù)攻角的變化情況,此時(shí)制導(dǎo)回路增益kc大于穩(wěn)定上限,錐形運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)發(fā)散。

圖16 λg=6°、kf=0.996時(shí)收斂的錐形運(yùn)動(dòng)(kc=190)Fig.16 Convergent coning motion with λg=6°、kf=0.996

圖17 λg=6°、kf=0.996時(shí)臨界穩(wěn)定的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.17 Critical stable coning motion with λg=6°、kf=0.996

圖18 λg=6°、kf=0.996時(shí)彈體發(fā)散的錐形運(yùn)動(dòng)Fig.18 Divergent coning motion with λg=6°、kf=0.996

根據(jù)仿真圖12～圖18可以看出,在不同的陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差、彈體轉(zhuǎn)速及阻尼回路增益下,數(shù)值解得的旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定區(qū)域與仿真結(jié)果高度一致,同樣證明了理論分析和數(shù)值解算方法的正確性。

4 結(jié)論

1) 本文針對(duì)采用捷聯(lián)導(dǎo)引頭和彈體追蹤導(dǎo)引律的旋轉(zhuǎn)彈,推導(dǎo)了捷聯(lián)導(dǎo)引頭在非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)模型,并建立了復(fù)數(shù)形式的彈體追蹤制導(dǎo)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

2) 考慮不同程度的導(dǎo)引頭響應(yīng)延遲,獲得了不同彈體轉(zhuǎn)速及阻尼回路增益下的旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定區(qū)域,發(fā)現(xiàn)延遲角越大,使系統(tǒng)穩(wěn)定的制導(dǎo)回路指令增益kc上限越小。

3) 考慮不同的陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差,獲得了不同彈體轉(zhuǎn)速及阻尼回路增益下的旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性區(qū)域,發(fā)現(xiàn)標(biāo)度因數(shù)誤差系數(shù)大于1時(shí),使系統(tǒng)穩(wěn)定的制導(dǎo)回路指令增益kc上限會(huì)變大;標(biāo)度因數(shù)誤差系數(shù)小于1時(shí),穩(wěn)定上限會(huì)變小。